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文档简介
2022-2023学年安徽省定远县中高三第四次大联考数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.执行如图的程序框图,若输出的结果,则输入的值为()A. B.C.3或 D.或2.函数的图象大致为A. B. C. D.3.已知复数,其中为虚数单位,则()A. B. C.2 D.4.已知函数且,则实数的取值范围是()A. B. C. D.5.设过抛物线上任意一点(异于原点)的直线与抛物线交于两点,直线与抛物线的另一个交点为,则()A. B. C. D.6.已知数列满足,(),则数列的通项公式()A. B. C. D.7.已知函数与的图象有一个横坐标为的交点,若函数的图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的倍后,得到的函数在有且仅有5个零点,则的取值范围是()A. B.C. D.8.集合的子集的个数是()A.2 B.3 C.4 D.89.已知,,,是球的球面上四个不同的点,若,且平面平面,则球的表面积为()A. B. C. D.10.函数的最大值为,最小正周期为,则有序数对为()A. B. C. D.11.已知定义在上的函数满足,且当时,,则方程的最小实根的值为()A. B. C. D.12.2019年末,武汉出现新型冠状病毒肺炎()疫情,并快速席卷我国其他地区,传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株,所以目前没有特异治疗方法,防控难度很大.武汉市出现疫情最早,感染人员最多,防控压力最大,武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员,强化网格化管理,不落一户、不漏一人.在排查期间,一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”,这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测,若出现阳性,则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为()且相互独立,该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为,当时,最大,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.展开式的第5项的系数为_____.14.如图,在平面四边形中,点,是椭圆短轴的两个端点,点在椭圆上,,记和的面积分别为,,则______.15.双曲线的焦距为__________,渐近线方程为________.16.执行如图所示的伪代码,若输出的y的值为13,则输入的x的值是_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中,众多群众在脸上贴着一颗红心,以此表达对祖国的热爱之情,在数学中,有多种方程都可以表示心型曲线,其中有著名的笛卡尔心型曲线,如图,在直角坐标系中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线,其极坐标方程为(),M为该曲线上的任意一点.(1)当时,求M点的极坐标;(2)将射线OM绕原点O逆时针旋转与该曲线相交于点N,求的最大值.18.(12分)某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试,从中随机抽取了20人的分数.以下茎叶图记录了他们的考试分数(以十位数字为茎,个位数字为叶):若分数不低于95分,则称该员工的成绩为“优秀”.(1)从这20人中任取3人,求恰有1人成绩“优秀”的概率;(2)根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图,并根据频率分布直方图解决下面的问题.组别分组频数频率1234①估计所有员工的平均分数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);②若从所有员工中任选3人,记表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数,求的分布列和数学期望.19.(12分)已知数列是各项均为正数的等比数列,,且,,成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,为数列的前项和,记,证明:.20.(12分)设函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若对恒成立,求的取值范围.21.(12分)已知在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线与直线的直角坐标方程;(2)若曲线与直线交于两点,求的值.22.(10分)已知为坐标原点,单位圆与角终边的交点为,过作平行于轴的直线,设与终边所在直线的交点为,.(1)求函数的最小正周期;(2)求函数在区间上的值域.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
根据逆运算,倒推回求x的值,根据x的范围取舍即可得选项.【详解】因为,所以当,解得
,所以3是输入的x的值;当时,解得,所以是输入的x的值,所以输入的x的值为
或3,故选:D.【点睛】本题考查了程序框图的简单应用,通过结果反求输入的值,属于基础题.2、D【解析】
由题可得函数的定义域为,因为,所以函数为奇函数,排除选项B;又,,所以排除选项A、C,故选D.3、D【解析】
把已知等式变形,然后利用数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的公式计算得答案.【详解】解:,则.故选:D.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题.4、B【解析】
构造函数,判断出的单调性和奇偶性,由此求得不等式的解集.【详解】构造函数,由解得,所以的定义域为,且,所以为奇函数,而,所以在定义域上为增函数,且.由得,即,所以.故选:B【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式,属于中档题.5、C【解析】
画出图形,将三角形面积比转为线段长度比,进而转为坐标的表达式。写出直线方程,再联立方程组,求得交点坐标,最后代入坐标,求得三角形面积比.【详解】作图,设与的夹角为,则中边上的高与中边上的高之比为,,设,则直线,即,与联立,解得,从而得到面积比为.故选:【点睛】解决本题主要在于将面积比转化为线段长的比例关系,进而联立方程组求解,是一道不错的综合题.6、A【解析】
利用数列的递推关系式,通过累加法求解即可.【详解】数列满足:,,可得以上各式相加可得:,故选:.【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用,数列累加法以及通项公式的求法,考查计算能力.7、A【解析】
根据题意,,求出,所以,根据三角函数图像平移伸缩,即可求出的取值范围.【详解】已知与的图象有一个横坐标为的交点,则,,,,,若函数图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的倍,则,所以当时,,在有且仅有5个零点,,.故选:A.【点睛】本题考查三角函数图象的性质、三角函数的平移伸缩以及零点个数问题,考查转化思想和计算能力.8、D【解析】
先确定集合中元素的个数,再得子集个数.【详解】由题意,有三个元素,其子集有8个.故选:D.【点睛】本题考查子集的个数问题,含有个元素的集合其子集有个,其中真子集有个.9、A【解析】
由题意画出图形,求出多面体外接球的半径,代入表面积公式得答案.【详解】如图,取BC中点G,连接AG,DG,则,,分别取与的外心E,F,分别过E,F作平面ABC与平面DBC的垂线,相交于O,则O为四面体的球心,由,得正方形OEGF的边长为,则,四面体的外接球的半径,球O的表面积为.故选A.【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法,考查空间想象能力与思维能力,是中档题.10、B【解析】函数(为辅助角)∴函数的最大值为,最小正周期为故选B11、C【解析】
先确定解析式求出的函数值,然后判断出方程的最小实根的范围结合此时的,通过计算即可得到答案.【详解】当时,,所以,故当时,,所以,而,所以,又当时,的极大值为1,所以当时,的极大值为,设方程的最小实根为,,则,即,此时令,得,所以最小实根为411.故选:C.【点睛】本题考查函数与方程的根的最小值问题,涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识,本题有一定的难度及高度,是一道有较好区分度的压轴选这题.12、A【解析】
根据题意分别求出事件A:检测5个人确定为“感染高危户”发生的概率和事件B:检测6个人确定为“感染高危户”发生的概率,即可得出的表达式,再根据基本不等式即可求出.【详解】设事件A:检测5个人确定为“感染高危户”,事件B:检测6个人确定为“感染高危户”,∴,.即设,则∴当且仅当即时取等号,即.故选:A.【点睛】本题主要考查概率的计算,涉及相互独立事件同时发生的概率公式的应用,互斥事件概率加法公式的应用,以及基本不等式的应用,解题关键是对题意的理解和事件的分解,意在考查学生的数学运算能力和数学建模能力,属于较难题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、70【解析】
根据二项式定理的通项公式,可得结果.【详解】由题可知:第5项为故第5项的的系数为故答案为:70.【点睛】本题考查的是二项式定理,属基础题。14、【解析】
依题意易得A、B、C、D四点共圆且圆心在x轴上,然后设出圆心,由圆的方程与椭圆方程联立得到B的横坐标,进一步得到D横坐标,再由计算比值即可.【详解】因为,所以A、B、C、D四点共圆,直径为,又A、C关于x轴对称,所以圆心E在x轴上,设圆心E为,则圆的方程为,联立椭圆方程消y得,解得,故B的横坐标为,又B、D中点是E,所以D的横坐标为,故.故答案为:.【点睛】本题考查椭圆中的四点共圆及三角形面积之比的问题,考查学生基本计算能力及转化与化归思想,本题关键是求出B、D横坐标,是一道有区分度的压轴填空题.15、6【解析】由题得所以焦距,故第一个空填6.由题得渐近线方程为.故第二个空填.16、8【解析】
根据伪代码逆向运算求得结果.【详解】输入,若,则,不合题意若,则,满足题意本题正确结果:【点睛】本题考查算法中的语言,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)点M的极坐标为或(2)【解析】
(1)令,由此求得的值,进而求得点的极坐标.(2)设出两点的极坐标,利用勾股定理求得的表达式,利用三角函数最值的求法,求得的最大值.【详解】(1)设点M在极坐标系中的坐标,由,得,∵∴或,所以点M的极坐标为或(2)由题意可设,.由,得,.故时,的最大值为.【点睛】本小题主要考查极坐标的求法,考查极坐标下两点间距离的计算以及距离最值的求法,属于中档题.18、(1);(2)①82,②分布列见解析,【解析】
(1)从20人中任取3人共有种结果,恰有1人成绩“优秀”共有种结果,利用古典概型的概率计算公式计算即可;(2)①平均数的估计值为各小矩形的组中值与其面积乘积的和;②要注意服从的是二项分布,不是超几何分布,利用二项分布的分布列及期望公式求解即可.【详解】(1)设从20人中任取3人恰有1人成绩“优秀”为事件,则,所以,恰有1人“优秀”的概率为.(2)组别分组频数频率120.01260.03380.04440.02①,估计所有员工的平均分为82②的可能取值为0、1、2、3,随机选取1人是“优秀”的概率为,∴;;;;∴的分布列为0123∵,∴数学期望.【点睛】本题考查古典概型的概率计算以及二项分布期望的问题,涉及到频率分布直方图、平均数的估计值等知识,是一道容易题.19、(Ⅰ),;(Ⅱ)见解析【解析】
(Ⅰ)由,且成等差数列,可求得q,从而可得本题答案;(Ⅱ)化简求得,然后求得,再用裂项相消法求,即可得到本题答案.【详解】(Ⅰ)因为数列是各项均为正数的等比数列,,可设公比为q,,又成等差数列,所以,即,解得或(舍去),则,;(Ⅱ)证明:,,,则,因为,所以即.【点睛】本题主要考查等差等比数列的综合应用,以及用裂项相消法求和并证明不等式,考查学生的运算求解能力和推理证明能力.20、(1)或;(2)或.【解析】试题分析:(1)根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组,分别求解集,最后求并集(2)根据绝对值三角不等式得最小值,再解含绝对值不等式可得的取值范围.试题解析:(1)等价于或或,解得:或.故不等式的解集为或.(2)因为:所以,由题意得:,解得或.点睛:含绝对值不等式的解法有两个基本方法,一是运用零点分区间讨论,二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想,法二是运用数形结合思想,将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用,这是命题的新动向.21、(1)曲线的直角坐标方程为;直线的直角坐标方程为(2)【解析】
(1)由公式可化极坐标方程为直角坐标方程,消参法可化参数方程为普通方程;(2)联立两曲线方程,解方程组得两交点坐标,从而得两点
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