备战2021届高考高三数学（理）一轮复习专题：第七章 不等式、推理与证明 教案

第七章不等式、推理与证明全国卷5年考情图解高考命题规律把握考点推理与证明.高考在本章一般命制1〜2个小题，分值5〜1。分..主要考查一元二次不等式的解法，常与集合相结合，简单的线性规划中线性目标函数的最值、范围问题；或由最值求参数、或考查非线性目标函数最值问题..基本不等式一般不单独考查、有时在解三角形、导数与函数、解析几何等问题中会用到基本不等式求最值(或范围)..对演绎推理、直接证明与间接证明以及数学归纳法的考查，单独命题的可能性不大，但其思想也会渗透到解题之中.ms07基本不等式简单及性规划问题19U9115ni4116in13114H5D113I13DM不等式的性质与解法itninim2Il18D2DIIlIllinisI2MI220142015201620172018年播夕第一节/ 不等关系与一元二次不等式/基础 在批注中理解透(单纯识记无意义,深刻理解提能力).两个实数比较大小的依据(1)。一方>0=。>5.(2)。-b=0Oa=b.(3)〃一bVOOoVb..不等式的性质(1)对称性：a>bObVa；(2)传递性：a>b,h>c^a>c；(3)可加性：a>Z>=a+c>》+c；a>b,c>d=a+c>》+d；(4)可乘性：a>b,c>Q=^ac>bc；a>b>0,c>d>00ac>bd；(5)可乘方性：a>Z»>0=a">8"(〃GN,"21)；⑹可开方性：a>B>0=跖>幅("GN,"22)..一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式4=分一4〃cJ>0J=0J<0二次函数.丫二立+加：+c(a>0)的图象54£一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两相异实数根4,X2(X1<X2)有两相等实数根XI=bX2=F没有实数根一元二次不等式ax2+ftx+c>0(a>0)的解集{X|X<X1或X>X2){*1X#-五}R一元二次不等式ar2+Z>x+e<0m>o)的解集{X|X1<X<X2}00由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法,(1)一元二次40,不等式aj^+bx+cX)对任意实数x恒成立o4acV0.［a<0,(2)一元二次不等式d+bx+cVO对任意实数x恒成立Ih4acV0.［熟记常用结论］.倒数性质的几个必备结论(\)a>b9°8>0(2)aV0V》0Y工.⑶a>方>O,OVcVd=g>彳(4)0<a<x<*或〃VxVbV0o"vqv!..两个通要不等式若a>b>0,m>09贝I)bb^rmbb-m⑴六诉；«>—^-->0).aa+/〃aa-m⑵声言；产［小题查验基础］一、判断题(对的打“J”，错的打“X”)(1)两个实数a,Z>之间，有且只有a>b,a=b,“V〃三种关系中的一种.()(2)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变.()(3)一个非零实数越大，则其倒数就越小.()(4)若不等式a^+bx+cVO的解集为(X”X2)»则必有。>0.()(5)若方程ax2+bx+c=O(aHO)没有实数根，则不等式ax2+Z»x+c>0的解集为R.()答案：⑴J(2)X(3)X(4)V(5)X二、选填题.设4=(x-3)2,B=(x-2)(x-4),则A与8的大小关系为( )A.A>B B.A>BC.A^B D.A<B解析：选B因为4-8=(*2—61+9)—(9-61+8)=1>0,所以A>8.故选B..若aV力V0,则下列不等式不能成立的是()nJA. ->- B.->ra-ba abC. M>\b\ D.a2>b2解析：选A取〃=-2,b=-l,则六〉十不成立..函数人*)=教3*—=的定义域为()A.[0,3] B.(0,3)C.(一8,0]U[3,+~) D.(—8,o)U(3,+~)解析：选A要使函数/lr)=，3x—*2有意义,则3x—x22。，即x2—3x^0,解得0WxW3..若集合4={*|“始一or+1VO}=0,则实数a的取值范围是.解析：当a=0时，满足条件；当aWO时，由题意知a>0且4=a2-4aW0,得0VaW4,所以()Wa44.答案：[0,4].若lVaV3,4<fl<2,则a一回的取值范围是.解析：V-4</?<2,.,.OWWIV%:.-3Va—"IV3.答案：(一3,3)/考点 在细解中明规律(题目千变总有根，梳干理枝究其本)考点一[不等式的性质及应用基础自学过关|I题组练透]TOC\o"1-5"\h\z1,若a>b>Q,cVdVO,则一定有( )aa、b ahA.3>- B，3<-ac acdb .a，C.->~i D.二V二ca ca解析：选B因为cVdVO,所以一c>一d>0,所以.又a>b>0,所以所以*5•故选B-.设a,力GR,则“(a-%)・a2vo”是“aVb”的()A.充分不必要条件 B,必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：选A(a-Z>)-a2<0,则必有。一6<0,即aV8;而aVZ»时，不能推出(。一力)・出<0,如a=0,b=l,所以"(a-b)-a2V0”是“aVb”的充分不必要条件..若。=竽，8=竽，则a一伙填“>”或“V”).解析：易知明》都是正数，~=11^=log«9>,1,所以力>〃.u«jinx答案：<.已知等比数列｛斯｝中，为>0,9>0,前〃项和为S”，则沿誉的大小关系为.解析：当g=l时，~=3,=5,所以&V1.当g>0且qWl时，$3_$5_叫(1-。)_田(1-。)asmq2(l-q)aiq\l—q).(1一年)一(1一<)=/(l-q)=卞-<。’所以&V&.综上可知&V&.03as «5答案：-<-a3as.已知一lVxV4,2VyV3,则x-y的取值范围是,3x+2j的取值范围是解析：•.•一lVxV4,2VyV3,.,.-3<-j<-2,—4<x—j<2.由一lVxV4,2VyV3,得一3V3xV12,4V2yV6,.•.1<3x+2j<18.答案：(一4,2)(1,18)［名师微点1比较大小的方法(1)作差法，其步骤：作差,变形今判断差与0的大小=得出结论.(2)作商法，其步骤：作商。变形今判断商与1的大小=得出结论.(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小.(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论.考点二一元二次不等式的解法［师生共研过关］［典例精析］(1)解不等式：一X 2当一1,即一 2当一1,即一2VaV0时，解得［WxW-l.综上所述，当。=0时，不等式的解集为{xlrW-1};当一2V.V0时，不等式的解集为{x/WxW-1•;当”=一2时，不等式的解集为{一1};当aV-2时，不等式的解集为卜一IWxW^•.［解鹿技法］1.解一元二次不等式的一般步骤(2)已知函数八*)= * 二,、解不等式人外>3；(3)解关于x的不等式ax2—2^2x—ax(a^0).|解|(1)不等式两边同乘以一1,原不等式可化为x，+2x—3W0.方程必+2%—3=0的解为xi=-3,X2=l.而y=x2+2x-3的图象开口向上，可得原不等式一/-2x+320的解集是⑶一3《xWl}.x>0, fx<0,(2)由题意得■ 或，„解得X>1.产/+2x>3 I-x2+2x>3,故原不等式的解集为{x|x>1}.(3)原不等式可化为“+(a-2)x—2,0.①当。=0时，原不等式化为x+lW0,解得xW-l.②当“VO时，原不等式化为(x-j)(x+l)WO.2 2当£>一1,即“V—2时，解得一IWxW^;2当j=-l,即”=一2时，解得工=-1满足题意；I一化卜至示奉惠屋拓为三国场系藏关宇乐而旋灌而区…巨］■舟算前前ii而彳或元 iU二二二二二二二二二二二二二二二二金］」求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方i三"程有没有实根|四写H而F天于—:示于应市市F可由不可支M踵豪】2.解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)对于aj^+Bx+cXKVO)的形式：当4=0时，转化为一次不等式.当“V0时，转化为二次项系数为正的形式.当a>0时，直接求解.(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式/与0的关系.(3)确定无根或一个根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.［过关训练］.不等式0<3一》一2忘4的解集为.解析：原不等式等价于fx2—X—2>0, ［x2—X—2>0,\ 即卜2一*一2<, 卜2一》一6《0,(x-2Xx+l)>0, 'x>2或xV-1,［(x-3X》+2)W0, ［—2Wx近3.故原不等式的解集为3-2WxV—1或2VxW3}.答案：［-2,-1)U(2,3］.求不等式llr2—or>a2(aGR)的解集.解：原不等式可化为1勿2一依一/>0,即(4x+a)(3x—a)>0,令(4x+a)(3x—a)=0,AQE a a解得*1=_不X2=y当a>()时，不等式的解集为(一8,一机伶+8)；当4=0时，不等式的解集为(一8,0)U(0,+8)；当aVO时，不等式的解集为(一8, (一畜+~).考点三一元二次不等式的恒成立问题I全析考法过关I［考法全析］

考法(一)在R上的恒成立问题［例1］若不等式(〃-2)始+2(。-2)x—4V0对一切xER恒成立，则实数a的取值范围是()A.(一8,2] B.[-2,2]C.(-2,2] D.(一8,-2)[解析]当。一2=0,即〃=2时，不等式为一4Vo对一切x£R恒成立.a—2V0,当时，则 一，、J=4(a-2)2+16(a-2)<0,a—2V0,即，， 解得一2VqV2.aV4,；・实数。的取值范围是(-2,2］.I答案IC考法(二)在给定区间上的恒成立问题［例2J设函数1Wu/nx2一1.若对于xG［l,3］, zn+5恒成立，求实数，”的取值范围.［解］要使A*)V-m+5在xW［l,3J上恒成立，即m/一〃以+，”-6Vo在xG［l,3］上恒成立.有以下两种方法：法一：法一：令g(x)=mx1-mx-Vm-G=n^x--6,xe[l,3].当,">0时，g(x)在［1,3］上是增函数,所以g(X)max=g(3),即7机一6V0,所以，所以ov〃?v$当m=0时，-6V0恒成立；当/n<0时，g(x)在［1,3］上是减函数，所以g(X)max=g(D,即，〃一6V0,所以，"V6,所以“1V0.综上所述，实数WJ的取值范围是(一8,专法二：因为X2—》+1=@—。+：>0,又因为mx2-/nx+/n—6<0,所以因为函数)'=1二?+］=7—导飞在［1,3］上的最小值为*所以只需即可.lx-2/+4所以实数，”的取值范围是(一8,考法(三)给定参数范围求X的范围的恒成立问题|例3］若对任意，函数1x)=r2+(，”-4)x+4—2,”的值恒大于零，求x的取值范围.|解|由八工)=炉+(,"—4)9+4-2,”=(x-2)m+x2-4x+4,令g(m)=(x-2)m+x2—4x+4.由题意知在［-1,1］上，g(/n)的值恒大于零，伍(-l)=(x-2)X(-l)+x2-4x+4>0,所以1 ,楂(1)=(*_2)+/_4*+4>0,解得xVl或x>3.故x的取值范围为(一8,1)U(3,+~).［规律探求］看个性考法(一)是一元二次不等式在R上恒成立问题：解决此类问题常利用一元二次不等式在R上恒成立的条件，注意如果不等式a/+3x+c>0恒成立，不要忽略。=()时的情况.考法(二)在给定区间上的恒成立问题求解方法：(1)若八幻>0在集合4中恒成立，即集合4是不等式式工)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围).(2)转化为函数值域问题，即已知函数人x)的值域为1"［,n］,则应r)da恒成立=>/tr)min》a，即，"da；f(x)Wa恒成立=»Hx)maxWa,即nWa.考法(三)给定参数范围求X的范围的恒成立问题求解方法：解决此类问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数.一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.找共性对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于零就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在X轴上方，恒小于零就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在X轴下方.另外，常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值.［过关训练］.若不等式1<0对于任意xG［/n,m+1］都成立，则实数tn的取值范围是

解析：由题意，得函数/00=必+,如—1在［,叫机+1］上的最大值小于0,又抛物线人x)=x2+tnx—l开口向上，所以只需m»=/+/-ivo,V(w+l)=(m+l)2+//i(/n+1)-1<0,所以只需(2m2-1<0, 、6即濡中K。，解得*v〃y°.答案:(邛,o).函数/(x)=x2+ax+3.(1)当xGR时，4x)Ma恒成立，求实数a的取值范围；(2)当xG［-2,2］时，_Ax)》a恒成立，求实数a的取值范围；(3)当aG［4,6］时，|x)，0恒成立，求实数x的取值范围.解：(1)二,当xWR时，x2+ax+3-a20恒成立，需4=。2—4(3—a)WO,即标+4/—12W0,解得一6WaW2,实数a的取值范围是［-6,2).(2)对于任意xW［-2,2］,1Ax)，0恒成立.即/+“*+3—a20对任意xG［-2,2］恒成立，令g(x)=x2+ax+3—a.p>o,则有①/WO或②^—2<—2,[g(-2)=7-3a20lg(2)=7+〃20・解①得一6WaW2,解②得“W。，解③得一7《qV-6.综上可知，实数。的取值范围为［-7,2］.(3)令人(0)=网+『+3.当〃£［4,6］时，M4)20恒成立.］力(4)20, fx2+4x+3^0,只%(6)20,即1+6x+320,解得x4一3一玳或X2一3+玳.•••实数x的取值范围是(—8,—3—加］U【-3+而，+°°).［课时跟踪检测1一、题点全面练.已知田£(0,1),。2『0,1),记N=ai+a2-l,则"与N的大小关系是()A.M<N B.M>NC.M=N D.不确定解析：选BA/—'=。1。2一(。1+。2-1)=a\a2-a\一改+l=Si-1)(。2-1),又a2e(0,l),1V0,。2一ivo.•••Si-1)(。2-1)>0,即M-N>o,：.M>N.2.若/〃VO,〃>0且m+〃V0,则下列不等式中成立的是( )A.-n<fnW-m B.-〃V/〃V-/nV〃C.mV—“V—m<Zn D.mV—nVnV—in解析：选D，〃+〃V0=/nV—〃0〃V—m,又由于〃?V0V〃，故mV—〃V〃V—m成立.3.若土<*<0,给出下列不等式：①"工<卷②团+6>0；③。一一九@lna2>In此其中正确的不等式的序号是()A.®@ B.®(DC.@(§) D.@@解析：选C因为|v：V0,故可取a=-l,力=-2.显然|a|+b=l—2=—1<0,所以②错误；因为lna2=in(—l)2=O,Inb2=in(—2)2=ln4>0,所以④错误，综上所述，可排除A、B、D,故选C..已知函数八幻=一好+。*+/>2—3+1(。^11,5GR),对任意实数x都有/U-x)=/U+*)成立，若当xG［-1,1］时，1x)>0恒成立，则力的取值范围是()A.(-1,0) B.(2,+~)C.(-8,-1)U(2,+~) D.不能确定解析：选C由八1-x)=_/U+x)知人x)的图象关于直线x=l对称，即3=1,解得a=2.又因为汽x)的图象开口向下，所以当时，犬x)为增函数，所以八x)mM=y(-1)=-1-2+〃一/»+1=/>2一/»—2,大x)>0恒成立，即62一万一2〉。恒成立，解得分〈-1或力>2..已知aWZ,关于x的一元二次不等式3—6*+。近0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的。的值之和是（）A.13 B.18C.21 D.26解析：选C设|x）=x，-6x+a,其图象为开口向上，对称轴是x=3的抛物线，如图所示.若关于x的一元二次不等式x2-6x+aW0的解集中有且仅有3个整数，火2）W0, 仅2—6X2+aW0,则《 即，网）>0, 112—6X14-a>0,解得5Va《8,又aGZ,ita=6,7,8.则所有符合条件的a的值之和是6+7+8=21..若不等式2立+人一号〈0对一切实数x都成立，则&的取值范围为.O解析：当k=0时，显然成立；3 ,当时，即一元二次不等式2kx2+kx-^<0对一切实数x都成立，则0俨V0,\ （3、 解得一3VAV0.综上，满足不等式2kx2+kx~l<0对一切实[/=&2_4X2«X（-g）V0, 8数x都成立的k的取值范围是（-3,0].答案：（一3期.若不等式2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是.解析：由/=<?+8>0,知方程必+ax—2=0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程必+ax—2=0必有一正根、一负根.于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是人5）>0,解得“>一卷，故a的取值范围为（一学+8）答案：（-¥-+8）.对于实数x,当且仅当〃近工V〃+1（〃£1<耐，[幻=〃，则关于x的不等式4[x]2-36[x]+45<0的解集为.3 15解析：由4[x]2—36[x]+45<0,得5V[x]<爹，又当且仅当"WxV"+l（"GN*）时，[x]

=n,所以［x］=2,3,4,5,6,7,所以所求不等式的解集为［2,8).答案：［2,8).若不等式aF+Sx—2>0的解集是1<x<2}.(1)求实数。的值；(2)求不等式ax2—5x+a2—IX)的解集.解：⑴由题意知aVO,且方程标+5工-2=0的两个根为;，2,代入解得〃=—2.(2)由(1)知不等式为-2--5x+3>0,1即2/+5%-3V0,解得一3VxV］,即不等式ar?—5x+q2—1>。的解集为(一3,号..已知函数,/(x)=x2—2ar—1+a,〃£R,(1)若a=2,试求函数y=^\x>0)的最小值；(2)对于任意的xG［0,2］,不等式八x)Wa成立，试求实数。的取值范围.解：(1)依题意得9=?= x="+提一4・因为工>0,所以x+；22,当且仅当x=；时，即x=l时，等号成立.所以2.所以当x=l时，的最小值为-2.(2)因为f(x)^a=x2-2ax-lf所以要使“Vx£［0,2］,不等式人用《〃成立”，只要“好一2。*一140在［0,2］上恒成立”.卜(0)W0,

U(2)W0,不妨设g(x)=x2^2ax—1,则只要g(x)《O在［0,2］卜(0)W0,

U(2)W0,所以0-0TW0,即.14-4a-1W0,3解得心本则实数a的取值范围为后，+~).二、专项培优练易错专练——不丢怨枉分

U(l,+~).不等式壬7>1U(l,+~)B.(一8, 1)D.&2)解析：选A原不等式等价于汇、一1>0,即学U>°，整理得号〈°，不等式等价于(2x—l)(x—1)VO,解得;VxVl..若:〈太0,则下列结论不正确的是()A.a2<b2 B.ab<b2C.a+bVO D.|a|+|/>|>|a+*|解析：选D由题可知分VaVO,所以A、B、C正确，而|a|+网=-a-6=|a+b|,故D错误..已知x>y>z,且x+y+z=O,下列不等式中成立的是()A.xy>yz B.xz>yzC.xy>xz D.x\y\>z]y\解析：选C因为x>y>z,所以3x>x+y+z=0,3zV«r+y+z=0,所以x>0,zVO,[x>0,由1、 得町Axz.故选C.ly>zf—1Wq+4<1,.若a,。满足二一“一，则a+3/?的取值范围是 .[lWa+2"W3,解析：设a+3fi=x(a+fi)+y(a+2fi)=(x+y)a+(x+2y)fl.x+y=l, fx=-1,则二，解得，[x+2y=3, ly=2.因为一1W—(a+〃)Wl,2W2(a+2/?)W6,两式相加，得lWa+3旅W7.所以a4-3/?的取值范围为[1,7].答案：[1,7].求使不等式3+(<1—6)x+9—3a>0,|a|Wl恒成立的x的取值范围.解：将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x-3)a+/—6x+9>0.

令1/(a)=(x-3)a+x2-6x+9,则一iWaWl.因为<a)>0在|a|Wl时恒成立，所以①若x=3,则八a)=0,不符合题意，应舍去.②若xW3,由一次函数的单调性，可得，风T)>()，可得，风T)>()，卜1)>0,即,X2—7x+12>0,, , 解得xV2或x>4.x2-5x+6>0,则实数x的取值范围为(-8,2)0(4,+~).第二节夕第二节夕二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题/ 基础——在批注中理解透(单纯识记无意义,深刻理解提能力)❶画二元一次不等式(组)表示的平面区域时，一般步臊为：直线定界，虚实分明；特殊点定域，优选原点；阴影表示.注意不等式中有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.特殊点一般选一个，当直线不过原点时，优先选原点.❷如果目标函数存在一个最优解，那么最优解通常在可行域的顶点处取得；如果目标函数存在多个最优解，那么最优解一般在可行域的边界上取得.1.二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax+By+OO直线Ax+砂+C=0某一侧不包括边界直线Ax+3y+C20的所有点组成的平面区域包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分•2.简单的线性规划qP的基本概念名称意义约束条件由变量X,y组成的不等式(组)线性约束条件由变量x,y组成的一次不等式(组)目标函数关于x,y的函数解析式，如z=2x+3y等线性目标函数关于x,y的一次函数解析式可行解满足线性约束条件的解(x,y)可行域所有可行解组成的集合最优解便目标触取提量大值更量小值•的可行解

线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题线性规划问题［熟记常用结论］(1)把直线ax+力=。向上平移时，直线如+刀=2在.\，轴上的截距海渐增大，且6>0时z的值逐渐增大，6Vo时z的值逐渐减小.(2)把直线ax+by=0向下平移时，直线ax+by=z在y轴上的截距海渐减小，且/>><)时z的值逐渐减小，6〈。时z的值逐渐增大.以上规律可简记为：当/>>0时，直线向上平移z变大，向下平移z变小；当力V0时，直线向上平移N变小，向下平移工变大.［小题查验基础］一、判断题(对的打“J”，错的打“X”)(1)不等式Ax+砂+C>0表示的平面区域一定在直线Ax+5y+C=0的上方.( )(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.()(3)在目标函数z=ax+》y(6W0)中，z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距.()答案：⑴X(2)7(3)X二'选填题x—3y+6V0,.不等式组 表示的平面区域是()It-y+220解析：选Cx—3y+6Vo表示直线X-3j+6=0左上方部分，x—y+220表示直线x一y+2=0及其右下方部分.故不等式组表示的平面区域为选项C所示阴影部分.Q0,.不等式组<x+3y24, 所表示的平面区域的面积等于()A.^ B.；C,3 D,4解析：选C不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.‘x+3y=4,3x+j=4‘x+3y=4,3x+j=4可得41』）,C]48[BC1=448[BC1=4-则目标函数z=3x+5j1x+yW5,2x—yW4,一x+yWLy，则目标函数z=3x+5j的最大值为()A.6 B.19C.21 D.45解析：选C作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由2=3%+5)，得)=117设直线为7=一学，平移直线，0,当直线¥=-*•+］过点尸时，z取得最大值.联立-x+v=l,，+尸联立-x+v=l,，+尸5,解得x=2,J=3,即P(2,3),所以Zmax=3X2+5X3=21..若点(m,l)在不等式2x+3y-5>0所表示的平面区域内，则m的取值范围是.解析：\,点在不等式2x+3y-5>0所表示的平面区域内，.*.2m+3—5>0,即m>1.答案：(1,+~).已知点(-3,-1)和点(4,—6)在直线3x—2j—a=0的两侧，则a的取值范围为解析：根据题意知(-9+2—a)・(12+12-a)V0,即(a+7)・(a-24)V0,解得一7VaV24.答案：(-7,24)/ 考点——在细解中明规律(题目千变总有根,梳千理枝究其本)

考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域［师生共研过关］［典例精析］(1)不等式组1‘2x+y—6W0,x+y—3力0,jW2表示的平面区域的面积为()A.45D.无穷大(2)若不等式组12x+y《2,代考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域［师生共研过关］［典例精析］(1)不等式组1‘2x+y—6W0,x+y—3力0,jW2表示的平面区域的面积为()A.45D.无穷大(2)若不等式组12x+y《2,代0,、x+yWa表示的平面区域是一个三角形，则实数a的取值范围是B.(0,1](0,1]UI，+8)［解析I(1)作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，△46c的面积即所求.求出点A,B,C的坐标分别为A(l,2),8(2,2),C(3,0),则△ABC的面积为S=1x(2-l)X2=l.x-y20,⑵不等式组＜2x+y^29 表示的平面区域如图中阴影部分所示.由，y=0,,2x+y=2,得3(1,0).若原不等式组12x+y近2,y20,表示的平面区域是一个三角形，则直线x+y=a中a的取值范围是OVa这1或心；.|答案|(1)B(2)D［解题技法］.求平面区域面积的方法(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高.若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解.若为不规则四边形，可分割成几个规则图形分别求解再求和即可..平面区域的形状问题两种题型及解法1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论.［过关训练］

x+y^O,1.(2019•漳州济)若不等式组，x-y+220,所表示的平面区域被直线/：mx-y+in.2x—y—2W0+1=0分为面积相等的两部分，则机=()A.l B.2C.-2 D.-2解析：选A由题意可画出可行域为△A5C及其内部所表示的平面区域，如图所示.联立可行域边界所在直线方程，可得A(—1,1),需，C(4,6).因为直线+1)+1过定点A(—1,1),直线/将△48C分为面积相等的两部分，所以直线/过边8C的中点£),易得 代入1=(),得故选A.x+y—2W0,2.若不等式组，x+2j-2^0,表示的平面区域为三角形，且其面积等于小则m的值为.解析：如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则一2mV2,即,〃＞一1,所围成的区域为△ABC,Saabc=S^adLSabdc.点4的纵坐标为1+,〃，点5的抓坐标为:(1+m),C,。两点的横坐标分别为2,-2m,所以SAAsc=g(2+2/n)(l+〃。一：(2+2川)・；(1+m)=；(1+/71)2=三,解得,“=-3(舍去)或m=1.答案：1考点二目标函数的最值问题［全析考法过关］［考法全析］考法(一)求线性目标函数的最值W1,［例1］(2018•郑州第一次质■预测)设变量X,>>满足约束条件,x+y-4/0,则目标/一3y+4W0,函数z=2x-y的最小值为.［解析］作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线y=2x,平移该直线，易知当直线经过A(l,3)时，z最小，Zmin=2Xl-3=-l.［答案I-1考法(二)求非线性目标函数的最值x-j+1^0,［例2］若实数x,y满足卜却， 贝吐的取值范围为JW2.［解析］作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示.z=：表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此*的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在，即Zmax不存[x—j+l=O,由、 得8(1,2),口=2,2所以kf)B=q=2,即Zmin=2,所以z的取值范围是[2,4-00).[答案][2,+8)I变式发散1.(变设问)本例条件不变，则目标函数z=/+V的取值范围为.解析：表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方.因此/+炉的最小值为OA2,最大值为OB2.易知4(0,1),所以。*=1,OB2=l2+22=5,所以z的取值范围是[1,5].答案：[1,5].(变设问)本例条件不变，则目标函数？=号的取值范围为.解析:z=£|可以看作点尸(1,1)与平面内任一点(x,y)连线的斜率•易知点P(I,1)与4(0,1)连线的斜率最大，为0.无最小值.所以z的取值范围是(-8,0].答案：(一8,0]考法(三)求参数值或取值范围x-y+4^0,|例3](2019•黄冈模拟)已知X,j满足约束条件■xW2, 且z=x+3y的最小值.x+y+心0,为2,则常数A=.X—j+4^0,I解析II解析I作出不等式组J.x+y+心0

由z=x+3y得y=一$+；,结合图形可知当直线y=—$+,过点A时，;最小，联立(x=2,方程,.,„得A(2,-2—幻，此时Zmm=2+3(-2—6=2,解得《=-2.Ix+f+&=0,I答案］一2［规律探求］看个性考法(一)是求线性目标函数的最值线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以直接解出可行域的顶点，将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值.考法(二)是求非线性目标函数的最值目标函数是非线性彩式的函数时，常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有：(11/炉+产表示点(x,y)与原点(0,0)间的距离，q(x—a)2+(y—〃)2表示点(X,y)与点(a9加间的距离；(2*表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率，;—“表示点(x,y)与点(a,方)连线的斜率.考法(三)是由目标函数的最值求参数解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值.［口诀记忆］线性规划三类题，截距斜率和距离；目标函数看特征，数形结合来解题.

找共性利用线性规划求目标函数最值问题的步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线/;(2)平移——将/平行移动，以确定最优解所对应的点的位置.有时需要进行目标函数/和可行域边界的斜率的大小比较；(3)求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值或根据最值求参数.［过关训练］卜一2y—2W0,则z=3x+2y的最大值为1.(2018•全DB4I)若x,y则z=3x+2y的最大值为X—y+l=0

XJ/fl2r-2=0解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示.3 7.. 3由z=3x+2y,得y=-.作直线和y=一平移直线E当直线)=—%+］过点(2,0)时，z取最大值，Zmax=3X2+2X0=6.答案：6卜22,2.(2019•陕西救学质―检图)已知x,j满足约束条件卜+丁《4, 若目标函数z=3x12x—y-niW0.+y的最大值为1(),则z的最小值为.解析：画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线/:3x+y=0,平移/,从而可知经过C点时二取到最大值，

由‘3x+y=10, fx=3,由‘3x+y=10, fx=3,』=%解得k,.".2X3—1—m=0,»i=5.由图知，平移/经过8点时，z最小，.,.当x=2,y=2X2—5=-1时，z最小，Zmin=3X2-l=5.答案：5考点三线性规划的实际应用［师生共研过关］［典例精析1（2018•祁州模拟）某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序.已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时.生产一把椅子的利润为1500元，生产一张桌子的利润为2000元.该厂每个月木工最多完成8000个工作时、漆工最多完成1300个工作时.根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是 元.［解析］设该厂每个月生产x把椅子，j张桌子，利润为z元，则得约束条件'4x+8yW8000,"2x+yWl300,z=1500x4-2000j.画出不等式组x+2yW2000,2x+yWl300,x，0,xWN,、画出不等式组x+2yW2000,2x+yWl300,x，0,xWN,表示的可行域如图中阴影部分所示，画出直线3x+4yx+2y=2000,得2x+j=l300,x+2y=2000,得2x+j=l300,=0,平移该直线，可知当该直线经过点P时，z取得最大值.由x=200,即P(200,900),所以Zmax=l500X200+2000X900=2100000.故每个月所获得ly=900,的最大利洞为2100000元.［答案］2100000I解题技法］

解线性规划应用题的一般步骤：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出约束条件和目标函数；(3)作出平面区域；(4)判断最优解；(5)根据实际问题作答.［过关训练］1.(2018•河北“五个一名校联通”模拟)某企业生产甲、乙两种产品均需要A,8两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的限量如表所示.如果生产1吨甲、乙产品A.16万元可获利润分别为3万元、A.16万元甲乙原料限量A/吨3212128B.17万元C.18万元 D.19万元解析：选C设该企业每天生产x吨甲产品，j吨乙产品，可获得利润为z万元，则z=3x+4y,且=3x+4y,且x,y满足不等式组，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x+4y=0并平移，可知当直线经过点8(2,3)时，Z取得最大值，Zmax=3X2+4X3=18(万元).故选C.2.某高新技术公司要生产一批新研发的A款产品和B款产品，生产一台A款产品需要甲材料3kg,乙材料1kg,并且需要花费1天时间，生产一台B款产品需要甲材料1kg,乙材料3kg,也需要1天时间，已知生产一台A款产品的利润是1000元，生产一台B款产品的利润是2()0()元，公司目前有甲、乙材料各30()kg,则在不超过120天的情况下，公司生产两款产品的最大利润是 元.解析：设分别生产A款产品和B款产品x,y台，利洞之和为z元，则根据题意可得

"3x+yW300,x+3yW300,. 目标函数为z=l000x+2OOOy.画出可行域如图所示,x+yW120,、xGN,jGNr, 1x+3y=300,由图可知，当直线y=-：+3^经过点M时，z取得最大值.联立, 得L/uuu lx+j=120,M（30,90）.所以当x=30,y=90时，目标函数取得最大值，Zmax=30X1000+90X2000=210000.答案:210000［课时跟踪检眉1一、题点全面练由直线x—y+l=0,x+y—5=0和x—1=0所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示为（）x—y+lW0,A；x—y+lW0,A；x+y—5W0,x-j+1^0,C：x+j—5^0,.x这1解析：选A如图,三角彩区域在直线.+y-5=0的下方，则xX—j+1^0»B.,x+y-5龙0,x-j+1^0,D/x+y—540,.xWl作出对应的平面区域，5pkI /x—y+l=0］、1 «+y-5=0X=1r=l的右侧，则x21;在x—y+l=0的上方，则无一y+lWO;在x+y-5W0.x—y+1W0,故用不等式组表示为，x+y-5W0, 故选A.x+y—l^O,（2018•咖研）设变量x,j满足约束条件，x~2y+2^0, 则z=3x-2y的最大值、2x—y—2W0,为（）A.-2 B.2C.3 D.4解析：选C作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线3-2平移该直线，当直线经过示，作出直线3-2平移该直线，当直线经过C（1,O）时，在J轴上的截距最小，;最大，此时z=3X1—0=3,故选C.%W（）,（2019•黄冈模粼）若A为不等式组，y20, 表示的平面j-xW2区域，则。从一2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为（）A.9vH B.3vH7 7C,2 D,4，x40,解析：选D如图，不等式组表示的平面区域是△AOB,J-xW2由动直线x+y=a（即y=-x+a）在y轴上的载距从一2变化到1,知△ACA）是斜边为3x+j=l,的等腰直角三角形，△OEC是直角边为1的等腰直角三角形，联立. 解得\y-x=2,〈 3所以《一3，D，所以区域的面积Sm*=Saacd—Saoec=Tx3X5—TxIX1=[y=r

7 .不故选D.x+y—IWO,4.(2019T惨模拟)已知点。(2,0),点P(x,y)的坐标满足条件,“一7+120， 则|PQj+1^0,的最小值是()A.； B当C.1 D.a/2(x+y-lWO,x-j+1^0,的y+l20可行域，如图中阴影部分所示.易得点。到直线x+y=l的距离最小，所以|PQ|min=^'=之2•故选B.5.已知”>O,x,y满足约束条件，x+yW3, 若z=2x+y的最小值为1,贝Ua=( )j2a(x-3),解析：选A不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，把目标函数z=2x+y转化为y=-2x+z9解析：选A不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，把目标函数z=2x+y转化为y=-2x+z9它表示的是斜率为一2,截距为z的平行直线系，当截距最小时，z最小.当直线z=2x+y经过点〃时，7最小.由，得[2x+y=l因此一1=4(1一3),解得a=；,故选A.卜一y+220,6.(2019•开始模拟)已知实数X,)，满足约束条件｛x+2y+220,

LrWl,值是 解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中历影部分所示，设“=x-2y,由图知，当"=X-2y经过点A(l,3)时取得最小值，即“min=l—2X3=-5,此时z=Gjc，取得最大值,即Zmax=&-S=32.答案：32x+y25,使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解.已知x,j满足以下约束条件一—y+5W0,使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则。的值为.解析：•••？=%+〃],•”一%+1味为直线y=—在y轴上的截距.要■使目标函数的最优解有无穷多个，则截距最小时的最优解有无数个.'：a>0,把》=一%+。平移，使之与可行域的边界AC重合即可,；.一；=—1,满足要求，.*.0=1.答案：1(y—1^0,.(2019•山西五校联考)不等式组y+220,表示的平面区域为0,直线x=a(a[x+4y-8W0>1)将平面区域。分成面积之比为1：4的两部分，则目标函数z="+_y的最大值为解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，平面区域0为△ABC及其内部，作直线x=a(lVaV4)交BC,AC分别于点E,尸•由题意可知Sa£"=/saa6c,则;(4。)・(一；〃+2-1)=/X；X5X1=：,可得a=2(a=6舍去)，所以目标函数z=ax+y即为z=2x+y,易知z=2x+y在点C(4,l)处取得最大值，则Zma、=9.y=i答案：9.若x,y满足约束条件，x—y，一l,、2x-yW2.⑴求目标函数z=1r—y+；的最值:⑵若目标函数z=ax+2y仅在点(1,())处取得最小值，求a的取值范围.2x—y—2=0解：(1)作出刈束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，易知2x—y—2=05(0,1),C(l,0),[2x-y—2=0,联立」c解得A(3,4).口-y+l=(),平移直线;x—y+；=0,过4(3,4)取最小值-2,过C(l,0)取最大值1.所以z的最大值为1,最小值为-2.(2)直线ax+2y=z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知一1<一^<2,解得一4<o<2.故所求a的取值范围为(一4,2)..电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于60()分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用*,y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：(1)由已知，x,y满足的数学关系式为

"70x+60yW600,5x+5y230,VxW2y,x，0,xGN,、y20,yGN,“7x+6yW60,x+y26,x—2yW0,x20,xGN,、y20,yGN,7x+6y=“7x+6yW60,x+y26,x—2yW0,x20,xGN,、y20,yGN,7x+6y=60、5;4\3»^^-2y=0»^^-2y=0\、12345N8&：60*+25y=0⑵设总收视人次为z万，则目标函数为z=60x+25j.考虑z=60x+25y,将它变形为y£+枭,这是斜率为一名随Z变化的一族平行直线卷为直线在y轴上的截距，当於取得最大值时，z的值最大.又因为x,y满足约束条件，所以由图可知，当直线N=60x+25y经过可行域上的点M时，藏距京最大，即工最大.解方程组，7x+6y=6(),解方程组，得点M的坐标为(6,3).X—2j=0,所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.二、专项培优练（一）易错专练——不丢怨枉分1.设关于X,1.设关于X,y的不等式组12x—j+1>0,x+/n<0,表示的平面区域内存在点P（xo,则），满足j-m>0xo—2jo=2,则m的取值范围是（）解析：选C作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，交点。的坐标为（一〃I,m）9直线x—2y=2的斜率为;，斜截式方程为y==%-1,要使平面区域内存在点P(xo,yo)满足xo—2,0=2,则点C(一〃〃。必在直线x—2y=2的下方，即机V一品―1，解得，〃V—；・机的取值范围是(一8,一。故选C.，+厂220,2.(2019•金华模拟)设7=〃x+p，其中实数x,y满足•》一2y+4训， 若z的最大值为、2x—y—4W0,12,则实数A=.x—2v+4=0,解析:作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由 得4(4,4).同2x—j-4=0理，得8(0,2).①当A＞一；时，目标函数z=Ax+y在x=4,y=4时取最大值，即直线z=«x+y在y轴上的截距;最大，此时，12=4*4-4,故R=2.②当AW—；时，目标函数z=Arx+y在x=0,y=2时取最大值，即直线,=Ax+y在y轴上的截距;最大，此时，12=0X4+2,故及不存在.综上，k=2.答案：2(x-y^O,x-3y+2W0, 与不等式x-2y+,”W0都成立，x+y—6W0则实数m的取值范围是()A.[0,+~) B.(—8,3]C.[1,+~) D.[3,+~)‘X一代0,解析：选B作出不等式组•*-39+2近0, 表示的平面区域如图中阴影部分所示，其.x+y—6W0中A(4,2),5(1,1),C(3,3).设z=x—2y,将直线/:z=x—2y进行平移，当/经过点A时，目标函数z达到最大值,可得Zmax=4—2X2=0,当/经过点C时，目标函数N达到最小值，可得Zmin=3—2X3=一3,因此z=x—2y的取值范围为［―3,0］.,存在实数〃?，使不等式x—2y+mW0成立，即存在实数，"，使x—2y《一”1成立，一胆大于或等于z的最小值，即一34一m,解得小在3,故选B.(二)交汇专练一融会巧迁移x-2y+2^0,4.［与向■交汇］已知P(x,y)为不等式组,x-y-lW0, 所确定的平面区域上的动点，.x+y-120若点M(2,l),0(0,0),则Jz=/•说的最大值为()A.1 B.2C.10 D.11解析：选D作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，(X-2j+2=0,联立| 解得4(4,3).由点M(2,l),0(0,0),得z=0尸一^OM—►=2x+y,(x—j—1=0,则j=—2x+z,显然直线y=-2x+z过A(4,3)时，z最大，此时z=2X4+3=ll.故选D.xW4,.|与概率交汇］关于实数X,j的不等式组，y22, 所表示的平面区域记为M,.x-y+220不等式(x-4)2+u—3)2这1所表示的平面区域记为N,若在M内随机取一点，则该点取自N的概率为()

TOC\o"1-5"\h\zA•m B-8C2 D，l・4 ”2x44,

解析：选A关于实数x,y的不等式组P22, 所表示的平面区域记为M,面积.x-y+220为:X4X4=8,不等式(工一4)2+xW4,u—3FW1所表示的平面区域记为N,且满足不等式组r，2, 其面积为%,.x-y+220,1

尸所以在M内随机取一点，则该点取自N的概率为W■=合，故选A.oio‘4x+3/210,表示的平面区域为O,过区域。中任意一点.［表示的平面区域为O,过区域。中任意一点产作圆F+V=l的两条切线，切点分别为4,B,则当NAP8的值最大时，cosZAPB=()即尸到圆心的距离最小即可.由图象可知当。尸垂直直线4工+39—10=0即尸到圆心的距离最小即可.由图象可知当。尸垂直直线4工+39—10=0时，|OP|最小，此io|io时|。*=/铲M设NAP8=a,则NAPO=3，即$喈=卷|=2,此时cosa=l-2si吟=1-2X即cosNAP〃=g.故选D./基础 在批注中理解透(单纯识记无意义,深刻理解提能力).基本不等式标W号(1)基本不等式成立的条件：a>0,5>o.⑵等号成立的条件：当且仅当"=尻.几个重要的不等式(l)a2+&2^2aZ>(a,ftGR)；(2)~+^2(a,〃同号)；(3)他/伴抄(a,Z>6R)；b(a,Z>GR)；⑸黑W标W宰W.算术平均数与几何平均数设a>0,*>0,则a,b的算术平均数为斗士，几何平均数为标，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数..利用基本不等式求最值问题已知x>0,j>0,则(1)如果孙是定值p,那么当且仅当x=y时，x+y有最小值是25(简记：积定和最小).(2)如果x+y是定值q,那么当且仅当x=y时，xy有最大值是争简记：和定积最大).注：(1)此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.(2)连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立.［小题查验基础I一、判断题(对的打“J”，错的打“X”)(1)当。,0,520时，―)⑵两个不等式层+展22"与空，病成立的条件是相同的.()(3)x>0且y>0是的充要条件.()(4)函数JU)=cosx+£^~；,xW(O,当的最小值等于4.()答案：⑴J(2)X(3)X(4)X二、选填题1.设x>0,j>0,且x+y=18,则巧的最大值为()A.80 B.77C.81 D.82答案：C.设OVaV儿则下列不等式中正确的是()/aIb IqIbA.a<b<«ab<-3- B.a<y]ab<?<bt—a+b 1— a+bC.a<y[ab<b<—Y~ D洞VaV—j-Vb解析：选B因为OVaV力，所以a-y[ab=y[a(y/a-y[b)<Qf故a<y[ab;b—、,」=力。>0,故6>咛"；由基本不等式知色茄，综上所述，aV屈vg"vb,故选B..函数./lr)=x+：的值域为()A.[-2,2] B.[2,+~)C.(一8,-2]U[2,+~) D.R解析：选C当x>0时，x+1225|=2.当x<0时，-x>0.一*+与2正x)告=2.所以x+；W—2.所以Ax)=x+：的值域为(-8,-2JU[2,+«>)..若实数x,y满足盯=1,则/+2/2的最小值为.答案：2<2.若x>L则x+圈"的最小值为.4 4解析：x+ 7=x-1+7+1^44-1=5.x-1 x-1当且仅当x—即x=3时等号成立.答案：5/考点 在细解中明规律(题目千变总有根，梳千理枝究其本)考点一利用基本不等式求最值［全析考法过关］(-)拼濠法一利用基本不等式求最值I例1］(1)已知OVxVL则x(4—3x)取得最大值时x的值为.(2)已知xV：,则八x)=4x-2+g£的最大值为.(3)函数7=不不(*>1)的最小值为.1 1「3x+(4—3x)14［解析］(1)x(4-3x)=亍(3x)(4-3x)W§［ 彳 当且仅当3x=4~3x,即x2 2=；时，取等号.故所求X的值为?(2)因为*V，所以5—4*>0,则人x)=4x-2+］士=一(5-4*+号，+3近-2+3=1.当且仅当5—4*=马？即x=l时，取等号.故|x)=4x—2+“匕的最大值为1._-+2_(*2-2*+1)+(2*—2)+3⑶/一x-］- x_1(x-l)2+2(x-l)+3x-I=(x-l)+^j+2225+2.当且仅当*一1=±,即*=巾+1时，取等号.I答案1(1)|(2)1(3)2小+2I解题技法］通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(-)常数代换法——利用基本不等式求最值

［例2］已知。>0,*>0,a+b=l9贝的最小值为.［解析］因为。+8=1,所以;+RG+加+”2+《+（）22+2疆|=2+2=4.当且仅当时，取等号.［答案14［变式发散］.（变条件）将条件aa+b=in改为，+2分=3"，贝碍+抽最小值为.1 2解析：因为。+2方=3,所以3〃+?=1.2?2?十

粽+-

=

+-1-〃以.2.a.Zb、.」Ia2b=三十三+五+丁21+2丁33303。 \13b3a=1+4&当且仅当。=也力时，取等号.答案：i+¥.（变设问）保持本例条件不变，则（1+3（1+3的最小值为.解析:（I+9HN+"甯）=（2+?（2+?=5+2《+3》5+4=9.当且仅当a=Z>=：时，取等号.答案：9I解题技法］通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）；（2）把确定的定值（常数）变形为1；（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式;（4）利用基本不等式求解最值.（三）消元法——利用基本不等式求最值［例3］已知x>0,j>0,x+3j+xj=9,则x+3j的最小值为.I解析］法一（换元消元法）：由已知得x+3y=9一町，因为x>0,j>0,所以^+3/226面，当且仅当x=3y,即x=3,y=l时取等号，即(x+3y)2+12(x+3y)一10820.令x+3y=f,则f>()且F+12f-108,0,得f26,即x+3y的最小值为6.法二(代入消元法)：由x+3j+xj=9,_9~3j-1+j*能力 9-3y 9-3y+3y(l+y)所以*+3/-1+尸一i+y_9+3y2_3(l+y)2-6(l+y)+12=l+y= 1+j=3(l+y)+卷一62213(1+y).含-6=12-6=6.即x+3y的最小值为6.I答案］6［解趣技法］通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值.(四)利用两次基本不等式求最值［例4］已知。>分>0,那么凉+而与的最小值为|解析|由a>Z>>0,得。-8>0,..b(a—h)^~~j~~~J-=j.・"+而占22+拉2口1=4,当且仅当/>=a-力且。2=，，即0=6，8=当时取等号.•••/+/-或的最小值为4h(a—b)［答案14［解题技法I两次利用基本不等式求最值的注意点当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性.

［过关训练］1.(2019•加州也哥)若实数x满足了>一4,贝!|函数4x)=x+备的最小值为解析：Vx>-4,.*.x+4>0,9 .9 /~' 9~•VAx)=x+^^=x+4+^^-422a/(x+4)・^j^-4=2,9当且仅当x+4=丫+4,即x=—1时取等号.9故函数/(x)=x+rj的最小值为2.答案：22.若正数X,y满足炉+6盯一1=0,则x+2y的最小值是.解析：因为正数x,y满足好+6孙一1=0,TOC\o"1-5"\h\z.., 1-X2所以y=，r・x>0, '由即也一好 解得°Vx<l.\lx12a/2A/T3x=3，\lx12a/2A/T3x=3，““ ., .1—x-2x,1j所以x+2y=x+-^-=§+£》2当且仅当金=1,即x=乎，尸吟时取等号.故x+2y的最小值为平.答案：平考点二利用基本不等式解决实际问题［师生共研过关］［典例精析］某厂家拟定在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量比万件与年促销费用，”佃，0)万元满足*=3-/(A为常数).如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件.已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2019年该产品的利润j万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？I解I(1)由题意知，当机=0时，x=l(万件)，2所以1=3一女=A=2,所以％=3一蔡不p每件产品的销售价格为1.5X8甘方元),”. ” 8+16x所以2019年的利洞j=1.5xX---—8-16x—相^j+(m+l)+29(栏0).16 1—(2)因为机力0时，/百+“〃+1)，2次=8,所以yW-8+29=21,当且仅当〃j]]=加+1=/n=3(万元)时,，max=21(万元).故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利洞最大为21万元.I解题技法]利用基本不等式解决实际问题的3个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.[过关训练1.若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是it?.解析：设一边长为xm,则另一边长可表示为(10—x)m,+1。-由题知OVxVIO,则面积S=x(10-x)W(^--2 T=25,当且仅当x=10-x,即x=5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5m时面积取到最大值25m2.答案：25.(2019•等息楔拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶的过程中每小时耗油量y(L)与速度|^(x2-130x4-4900),xG[50,80),x(km/h)(500W120)的关系可近似表示为尸彳[12-含，xG[80,120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？(2)已知A,8两地相距120km,假定该型号汽车匀速从A地驶向8地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？解：⑴当xG[50,80)时，7=表(/-130*+4900)=^[(x-65)2+675]»当x=65时，yi y有最小值，为元X675=9,当xG［80,120］时，函数y=12—前单调递减，故当x=120时，y有最小值，为10,因为9V10,所以该型号汽车的速度为65km/h时，每小时耗油量最低.(2)设总耗油量为/,由题意可知/=y•号，当xG［50,80)时，/=y•亨130)啖\xX等-130)=16,当且仅当*=生譬，即x=70时，/取得最小值，最小值为16.当xG［80,120］时，/=y•亨=^^一2为减函数，故当x=120时，/取得最小值，最小值为10,因为10V16,所以当速度为120km/h时，总耗油量最少.考点三基本不等式的综合应用［师生共研过关］［典例精析］(1)已知直线ax+Z>y+c-1=0(8>0,c>0)经过圆C：d+产―2厂5=0的圆心，贝色+：的最小值是()A.9 B.8 C.4 D.2(2)设等差数列｛%｝的公差是d,其前〃项和是S”若m=d=l,则炉的最小值是Un［解析］⑴把圆炉+炉-27-5=0化成标准方程为x2+(j-l)2=6,所以Bl心为C(0,l).因为直线ax+力y+c—1=0经过圆心C,所以aX0+6Xl+c-l=0,即5+c=l.又5>0,c>0,因端+!=(〃+，©+?甘+"5》2事%5=9.TOC\o"1-5"\h\z当且仅当力=2c,且力+c=l,2 1 41即b=3,c=?时，］+［取得最小值9.\o"CurrentDocument"⑵由题意a〃=ai+(〃-l)d=〃，S〃= ),tu“"S"+8 2十”所以丁=一»一=/〃+¥+1)货yp^+1)=1.当且仅当n=4时取等号.所以差区的最小值是*Un L［答案I(1)A

［解题技法］利用基本不等式解题的策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解.(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围.［过关训练］1.已知函数./U)=x+f+2的值域为(一8,o］U［4,+oo),则。的值是()▲1 Q2C.1 D.2解析：选C由题意可得〃>0,①当x>0时，Hx)=x+f+222W+2,当且仅当x=/时取等号；②当x<0时，f(x)=x+~+2^-2\［a+29当且仅当x=一班时取等号，［2-2^=0,所以<「 解得〃=1,故选C.12也+2=4,1 82.已知向量”=(叫1)"=(4一〃,2),m>0,〃>0,若。〃儿则而+［的最小值为.解析：•：a〃b,2m=。,即2阳+〃=4.；〃?>0,〃>。，+2M8-3+

l-.m

•*•8-3+

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•*•9最小值是;.答案：I［课时跟踪检踪］一、题点全面练1.已知府)=.-?+1,则於)在|｝，31上的最小值为()A1

D.0C.-1D.0Y*— 1 I解析：选Df（x）= ~ =x+~—2>2—2=0,当且仅当T，即*=1时取等号.又1士，3]>所以大x）在1,31上的最小值是0.（2018•哈尔滨二模）若2'+少=1,则x+y的取值范围是（ ）A.[0,2] B.[-2,0]C.[-2,+~） D.（-8,-2]解析：选D由1=2*+2>22叵），变形为2/>这不即x+yW-2,当且仅当x=y时取等号.则x+y的取值范围是（一8,-2].3.若实数a,b满足则ah的最小值为（）A.a/2 B.2C.2^2 D.4[2解析：选C因为标，所以。>0,*>0,所以必2（当且仅当b=2a时取等号），所以M的最小值为2®4.已知。>0,*>0,若不等式3+22尚恒成立，则m的最大值为（）A.9 B.12C.18 D.24解析：选B由卜拉尚，得mW（a+3b）0+5/+彳+6.又吃+京+622班+6=12,（当且仅当普=今即a=3耐等号成立），：.m的最大值为12.Q5.正数%〃满足若不等式。+82—工2+4%+18一次对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是（A.[3,+8) B.(-8,3]C.(一8,6] D.[6,+8)9解析：选D因为。>0,b>0,~+^=l,所以。+方=(a+》)G+率)=10+g+当210+2班=16,当且仅当,=当，即。=4,方=12/ uI* UI*时，等号成立.由题意，得16^—x2+4x+18—m,即x2-4x-2^-m对任意实数x恒成立，令风行=炉一4x—2=(x—2产-6,所以/U)的最小值为一6,所以一6，一机，即机26..(2019•奔岛模拟)已知x>0,j>0,(1g2)x+(lg8)y=lg2,贝吐+卷的最小值是.解析：因为(Ig2)x+(lg8)y=lg2,所以*+3y=l,则"如©+分工+3/)=2+乎+324,当且仅当*=已即x=；, 时取等号，故:+2的最小值为4.答案：4.若正数x,y满足4x2+9j2+3xy=30,则xy的最大值为.解析：30=4x2+9j2+3xj^2^/36x2j2+3xj,即30215盯，所以町<2,当且仅当4/=9y2,即X=巾，y=平时等号成立.故盯的最大值为2.答案：2.规定："®”表示一种运算，即a9b=y[^b+a+b(a,b为正实数).若1®A=3,则k的值为 ,此时函数八用=竿的最小值为 .yjx解析：由题意得的4=灰+1+〃=3,即〃+#—2=0,解得出=1或5=—2(舍去)，所以A=l,故A的值为1.l®xy[x+x+lf.1又—x)=q__ =14-*\/x4-^=,^14-2=3,当且仅当m=古，即X=1时取等号，故函数人》)的最小值为3.答案：13.已知1>0,j>0,且2x+8y-xy=0,求：(1)町的最小值；(2)x+j的最小值.82解：(1)由2x+8j—xj=O,得；+,=1.又£>0,j>0,则1=3+声2用端,得孙》64，Q2当且仅当-=7即x=16且7=4时，等号成立.“y所以xy的最小值为64.82(2)由2x+8y一盯=0,得提+1=1,则x+y=(3+5(x+y)=10+”+名》10+2a/—.^=18.yx \]yx当且仅当§=乎，即x=12且y=6时等号成立，y**所以x+y的最小值为18.io.(1)当x