概率论与数理统计试题及答案

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.则P(B)A

U.

2.三人自立的破译一个密码，他们能译出密码的概率分离为1/5、1/4、1/3，此密码能被译出的概率是=.

3.设随机变量2

(,)

Xμσ

N

:，X

Ye

=，则Y的分布密度函数为.

4.设随机变量2

(,)

Xμσ

N

:，且二次方程240

yyX

++=无实根的概率等于，则μ=.

5.设()16,()25

DXDY

==，0.3

XY

ρ=，则()

DXY

+=.

6.掷硬币n次，正面浮现次数的数学期望为.

7.某型号螺丝钉的分量是互相自立同分布的随机变量，其期望是1两，标准差是两.则100个该型号螺丝钉分量不超过斤的概率近似为（答案用标准正态分布函数表示）.

8.设

12

,,

XXX

L是来自总体(0,1)

XN

:的容易随机样本，统计量

12

()~()

CXXtn

+，则常数C=,自由度n=.

二（共50分）

1.（10分）设袋中有m只正品硬币，n只次品硬币(次品硬币的两面均有国徽)，从

袋中任取一只硬币，将它投掷r次，已知每次都得到国徽.问这只硬币是正品的概率

是多少？

2.（10分）设顾客在某银行窗口等待服务的时光（以分计）X听从指数分布，其概

率密度函数为

某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开.他一个月到银行5次.以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求{1}

PY≥.

3.（10分）设二维随机变量(,)

XY在边长为a的正方形内听从匀称分布，该正方形的对角线为坐标轴，求：

(1)求随机变量X,Y的边缘概率密度；

(2)求条件概率密度

|

(|)

XY

fxy.

4.（10分）某型号电子管寿命（以小时计）近似地听从2

(160,20)

N分布，随机的选取四只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率（答案用标准正态分布函数表示）.

5.（10分）某车间生产的圆盘其直径在区间(,)

ab听从匀称分布,试求圆盘面积的数

学期望.

三.（10分）设

12

,,

n

XXX

L是取自双参数指数分布总体的一组样本，密度函数为其中,0

μθ>是未知参数，

12

,,,

n

xxx

L是一组样本值，求：

（1）,μθ的矩法估量；

（2）

的极大似然估量.

四.（8分）假设?θ是θ的无偏估量，且有?()0Dθ>试证2?θ2?()

θ=不是2θ的无偏估量.

五.（8分）设112,,,nXXXL是来自总体211~(,)XNμσ的一组样本，

212,,,nYYYL是来自总体222~(,)YNμσ的

一组样本，两组样本自立.其样本方差分离为2212,SS，且设221212,,,μμσσ均为未知.欲检验假设

22022:Hσσ=，22112:Hσσ(2)Φ

1.解：记A:取得正品硬币；B：投掷r次，每次都得到国徽；

取{,}AA作为样本空间的划分.

2.解：某一次在窗口等待时光超过10分钟的概率记为P，

注重到顾客每月到银行五次也就是举行了五重的贝努利实验，每次实验得不到服务的概率为2e-.所以2~(5,)YBe-，即

3.解：(1)||22||21/(||)||()(,)0

axaxXadyaxxafxfxydya+∞--∞?=≤?==?????其它由对称性

(2)当||ya0,故lnL是μ的递增函数，故1?min{,}nxxμ=L由ln0Lθ

?=?得1?min{,,}nxxxθ=-L，所以极大似然估量量为1?min{,}nXXμ

=L，1?min{,,}nXXXθ=-L

四：证实：由方差的计算公式有：2?()Eθ2?[()]Eθ==?()Dθ+2

?[()]Eθ，再由?θ

是θ的无偏估量可得：易见当?()0Dθ>时，2?θ2?()θ=不是2

θ的无偏估量.五：构造检验统计量2122

SFS=，当0H为真时，211222

~(1,1)SFFnnS=--,当0H不真而1H为真时，由2222111122222222

/./SSFSSσσσσ==，即一个12(1,1)Fnn--的统计量乘以一个小于1的数，2122SFS=有偏小的趋势.所以当2122

SFS=偏小时我们否决0H而接受1H，否决域的形式是:2122