构造等差数列或等比数列公开课

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐构造等差数列或等比数列公开课构造等差数列或等比数列

因为等差数列与等比数列的通项公式明显，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造办法.

，对于随意正整数n，都例1设各项均为正数的数列的前n项和为S

n

有等式：成立，求的通项an.

解：，∴

，∵，∴.

即是以2为公差的等差数列，且.

∴

例2数列中前n项的和，求数列的通项公式.

解：∵

当n≥2时，

令，则，且

是以为公比的等比数列，

∴.

2、构造差式与和式

解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采纳迭加的办法

就可求得这一数列的通项公式.

例3设是首项为1的正项数列，且，（n∈

N*），求数列的通项公式an.

解：由题设得.

∵，，∴.

∴

.

例4数列中，，且，（n∈

N*），求通项公式an.

解：∵

∴（n

∈N*）

3、构造商式与积式

构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种容易办法.

例5数列中，，前n项的和，求.

解：

，

∴

∴

4、构造对数式或倒数式

有些数列若通过取对数，取倒数代数变形办法，可由复杂变为容易，使问题

得以解决.

例6设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项

公式.

解：两边取对数得：，，设

，则

是以2为公比的等比数列，.

，，，

∴

例7已知数列中，，n≥2时，求通项公式.

解：∵，两边取倒数得.

可化为等差数列关系式.

∴

求数列通项公式的十种办法

一、公式法

例1已知数列{}na满足1232n

nnaa+=+?，12a=，求数列{}na的通项公式。

解：1232n

nnaa+=+?两边除以12n+，得

113222nnnnaa++=+，则113222nnnnaa++-=，故数列{}2

n

n

a是以1222

a1

1==为首项，以23

为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22nnan=+-，所以数列{}na的通项公式为31()222

n

nan=-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n

nnaa+=+?转化为

11

3

222

nnnnaa++-=，说明数列{}2nna是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22

nnan=+-，进而求出数列{}na的通项公式。

二、累加法

例2已知数列{}na满足11211nnaana+=++=，，求数列{}na的通项公式。解：由121nnaan+=++得121nnaan+-=+则

11232211

2

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1

2[(1)(2)21](1)1

(1)2(1)1

2

(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnn

nnnn=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}na的通项公式为2

nan=。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121nnaan+=++转化为121nnaan+-=+，进而求出11232211()()()()nnnnaaaaaaaaa+-+

+-+-+，即得数列{}na的通项公式。

例3已知数列{}na满足112313n

nnaaa+=+?+=，，求数列{}na的通项公式。

解：由1231nnnaa+=+?+得1231n

nnaa+-=?+则

11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3

2(3333)(1)3

3(13)2(1)3

13

331331

nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-

所以31.n

nan=+-

评注：本题解题的关键是把递推关系式1231nnnaa+=+?+转化为1231n

nnaa+-=?+，

进而求出11232211()()()()nnnnnaaaaaaaaaa=-+-++-+-+，即得数列{}na的通

项公式。

例4已知数列{}na满足1132313n

nnaaa+=+?+=，，求数列{}na的通项公式。

解：13231nnnaa+=+?+两边除以1

3n+，得

11

121

3333

nnnnnaa+++=++，则

111

21

3333nnnnnaa+++-=+

，故11223

211

223

2111122122()()()(

)33333333

212121213

()()()()3333333332(1)11111()1

333333

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaan=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++

因此11

(13)2(1)211

3133133223

nnnnn

ann=++=+--?，则211

33.322

nnnan=

??+?-评注：本题解题的关键是把递推关系式13231n

nnaa+=+?+转化为

111

21

3333nnnnnaa+++-=+，

进而求出11223

2111122321(

)()()(

)333333

333nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaa+-+-++-+，即得数列3nna??

??

??

的通项公式，最后再求数列{}na的通项公式。三、累乘法

例5已知数列{}na满足112(1)53n

nnanaa+=+?=，，求数列{}na的通项公式。

解：由于112(1)53n

nnanaa+=+?=，，所以0na≠，则

1

2(1)5nnn

ana+=+，故1

32

112

21

12211(1)(2)21

(1)1

2

[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53

32

5

!

nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnnn+-+++--=

???

??=-+-+??+?+??=-?????=???

所以数列{}na的通项公式为(1)1

2

32

5

!.nnnnan--=???

评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n

nnana+=+?转化为

1

2(1)5nnn

ana+=+，进而求出

1

32

112

21

nnnnaaaaaaaaa???

??，即得数列{}na的通项公式。例6（2022年全国I第15题，原题是填空题）已知数列{}na满足

11231123(1)(2)nnaaaaanan-==+++

+-≥，，求{}na的通项公式。解：由于123123(1)(2)nnaaaanan-=++++-≥

①

所以1123123(1)nnnaaaanana+-=+++

+-+

②

用②式－①式得1.nnnaana+-=则1(1)(2)nnanan+=+≥

故

1

1(2)nn

anna+=+≥所以1

3

22212

2

!

[(1)43].2

nnnnnaaanaannaaaaa=

???

?=-???=

③

由123123(1)(2)nnaaaanan-=++++-≥，21222naaa==+取得，则21aa=，又知

11a=，则21a=，代入③得!13452

nnan=????

?=

。所以，{}na的通项公式为!.2

nna=

评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)nnanan+=+≥转化为

1

1(2)nn

anna+=+≥，进而求出

1

3

212

2

nnnnaaaaaaa???

?，从而可得当2nna≥时，的表达式，最后再求出数列{}na的通项公式。四、待定系数法

例7已知数列{}na满足112356n

nnaaa+=+?=，，求数列{}na的通项公式。

解：设1

15

2(5)nnnnaxax+++?=+?

④

将1235nnnaa+=+?代入④式，得12355225nnn

nnaxax++?+?=+?，等式两边消去

2na，得135525nnnxx+?+?=?，两边除以5n，得352,1,xxx+==-则代入④式得1152(5)nnnnaa++-=-

⑤

由1

156510a-=-=≠及⑤式得50n

na-≠，则11525