标准答案 北京大学2022年春季学期线性代数作业

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一、挑选题（每题2分，共36分）

1.（教材§1.1）行列式（B）。

A.6

B.5

C.10

D.7

2.（教材§1.1）行列式（A）。

A.B.C.0D.

3.（教材§1.2）行列式（D）。

A.40

B.-40

C.10

D.-10

4.（教材§1.3）下列对行列式做的变换中，（A）会转变行列式的值。

A.将行列式的某一行乘以3

B.对行列式取转置

C.将行列式的某一行加到另外一行

D.将行列式的某一行乘以3后加到另外一行

5.（教材§1.3）行列式（2/9）。

(提醒：参考教材P32例1.3.3)

A.2/9

B.2/3

C.2/9

D.3/4

6.（教材§1.4）若线性方程组有唯一解，那么（B）。

A.2/3

B.1

C.-2/3

D.1/3

7.（教材§2.2）矩阵

2110

2311

3441

1132

??

??

??

??

??

-

??

的秩是（D）。

A.1

B.2

C.3

D.4

8.（教材§2.2）若线性方程组无解，则a的值为（C）。

A.-1

B.-2

C.-3

D.0

9.（教材§3.1）已知向量，，

，则向量（B）。

A.

B.C.D.

10.（教材§3.3）已知向量组线性相关，下面说法正确的是（C）。

A.假如，则必有;

B.

矩阵的秩等于向量的个数；

C.元齐次线性方程组有非零解；

D.向量组A中任何一个向量都不能由其余的个向量线性表示。

11.（教材§3.3）下列向量组中，线性无关的是（C）。

A.

B.

C.

D.

12.（教材§3.3）下列向量组中，线性相关的是（D）。

A.

B.

C.

D.

13.（教材§4.1）已知矩阵，矩阵和矩阵均为n阶矩阵，为实数，则下列结

论不正确的是（C）。

A.B.

C.D.

14.（教材§4.1）已知矩阵，矩阵，则（A）。

A.B.

C.D.

15.（教材§4.1）已知矩阵，为矩阵，矩阵为矩阵，为实数，

则下列关于矩阵转置的结论，不正确的是（D）。

A.B.

C.D.

16.（教材§4.2）已知矩阵，则（A）。

A.B.

C.D.

17.（教材§4.3）下列矩阵中，（B）不是初等矩阵。

A.B.C.D.

18.（教材§5.1）矩阵的特征值是（C）。

A.

B.

C.D.

二、填空题（每题2分，共24分）

19.（教材§1.1）行列式的值是abe。

20.（教材§1.4）假如齐次线性方程组有非零解，那么的值为1

±。

21.（教材§2.2）线性方程组的增广矩阵是：45-1-612-1-301-20

??

??

??

??

??_______，系数矩阵的秩等于3

22(公式).（教材§2.3）齐次线性方程组

1234

1234

123

1234

320

20

320

3230

xxxx

xxxx

xxx

xxxx

+-+=

?

?+-+=

?

?

-+=

?

?-++=

?

没有（填“有”

或“没有”）非零解。

23.（教材§4.1）设，，则_

358683??????

_____

24．（教材§3.3）设向量与向量线性相关，则=425.（教材§3.3）向量组是线性无关（填“相关”或“无关”）的。

26.（教材§4.1）已知矩阵，矩阵，那么

9。

27.（教材§5.2）设矩阵

，写出全部的特征值：1和-8

28.（教材§4.1）已知上三角矩阵，求

1202201??

???

?。29.（教材§4.2）已知矩阵，那么

-12-101-11-22??

????????

。30.（教材§5.1）以下关于相像矩阵的说法，正确的有1，3，4（多选）。①若，则；②若，则；③若，则

；④若，则

。

二、解答题（每题8分，共40分）31.（教材§4.1）已知矩阵

，，求（1）;（2

）

。解：（1）

T1252135AB=-13132=65114-1013??????

????????????

????????????

（2）

1

25

2A=8A=8-131=81114

?

32.（教材§4.1）已知矩阵，，求。

解：

()2

1-28-49-6A+B=+=9-2-66349-69-663-78A+B==343439-2????????????

??????

????????????

??????

33.（教材§1.3）计算行列式

。

解：

1+13+13310

141310

01-41

=(-1)3413(-1)11411

4

1-3

682682

0-682

3245616

-??-+??=?-=

34.（教材§3.4

）求向量组

的一个极大无关组

和秩数。解：

设12345A=(,,,,)ααααα，对矩阵A举行初等行变换

115221

15

2221334011370A=31

4570

219111411210903321815169130431

19311522115220223700113700219111007310332181000000

4

31

19300000--???????????

?????

=???

?????????????

--????????==??--????--????

????

??

????????

可见125,,ααα是一个极大无关组

352171322αααα=+-45213711αααα=--+

12345(,,,,)()3rrAααααα==

35.（教材§5.2）求矩阵的特征值和特征向量。

解：

32211()1

21(2)113(2)

1

1

2(1)(4)

fAEλ

λλλλλλ

λλ-=-=-=-++-?--=

令()0fλ=

得：1234,1λλλ===

当14λ=时，对应的特征向量为第二线性方程组()A-40Ex=的解得12