数学建模lecture6插值与拟合

第六章插值与拟合一、实验目的：1、了解插值的基本思想，掌握拉格朗日插值和牛顿插值多项式的求法；

2、会使用几种数据拟合的方法，知道最小二乘拟合原理；3、掌握Matlab中插值和拟合的语句和方法。二、实验原理和方法：

插值方法是数值分析中很古老的一个分支，它有着悠久的历史。等距结点内插公式是有我国隋朝数学家刘焯首先提出的；而不等距结点内插公式是由唐朝数学家张遂提出的。这比西欧学者发表相应结果早一千多年。

插值方法在数值分析的许多分支（如数值积分，数值微分，微分方程数值解，曲线曲面拟合，函数值近似计算等）均有应用。现以近似计算函数值为例来说明插值的方法。1、插值法：2、拉格朗日插值：其中：3、牛顿插值：

在利用拉格朗日插值公式计算时，当插值结点的个数有所变动时（实际生活中为了提高精度，有时需要增加插值结点的个数），拉格朗日基函数就要随之发生变化，从而整个公式的结构也要发生变化，这在计算实践中是极不方便的，为了克服这一缺点，常采用牛顿插值。为此，我们首先要了解什么叫差商。插商具有以下性质：4、曲线拟合：5、曲线拟合的最小二乘法

：三、内容与步骤：1、多项式插值的数值实验：【例１】

已知如下表，求二次牛顿插值多项式，并由此计算的值。0．550.650.800.578150.696750.88811解：建立M文件如下

【例2】

根据下函数表，求四次牛顿插值多项式，并用其计算和的近似值。

1.6151.6341.7021.8281.9212.414502.464592.652713.030353.34066解：建立M文件如下

【例3】

在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。试估计每隔1/10小时的温度值。解：建立M文件如下

以programme3作为文件名保存此M文件后，在命令窗口输入programme3后即可得到结果。【例4】

已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变0.1时的y值。

x035791112131415y01.21.72.02.12.01.81.21.01.6机翼下轮廓线functionprogramme4x0=[035791112131415];y0=[01.21.72.02.12.01.81.21.01.6];x=0:0.1:15;y1=interp1(x0,y0,x);y2=interp1(x0,y0,x,'spline');subplot(2,1,1)plot(x0,y0,'k+',x,y1,'r')gridtitle('piecewiselinear')subplot(2,1,2)plot(x0,y0,'k+',x,y2,'r')gridtitle('spline')以programme4作为文件名保存此M文件后，在命令窗口输入programme2后即可得到结果。解：建立M文件如下

2、线性最小二乘拟合实验

：根据经验来确定f（x）将数据点作图，观察图形选取f（x）++++++++++++++++++++++++++++++f=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2f=a1+a2x+a3x2f=a1+a2/xf=aebxf=ae-bxModelselectionMeasureoftherelativegoodnessoffitofastatisticalmodelAkaikeinformationcriterion(AIC)Bayesianinformationcriterion(BIC)已知热敏电阻数据，求60度时的电阻R。温度20.532.751.073.095.7

电阻7658268739421032【例5】

解：先对数据点作图，可以看出数据点的分布近似为直线，所以选取基函数，其中a和b为待定系数。程序：【例6】

解：先对数据点作图，经观察选取基函数，其中c和k为待定系数。已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据，求血药浓度随时间的变化规律c(t).0.250.511.52346819.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01输出结果：a=3.3987702.0968R=906.0212程序：输出结果：k=0.2347c=19.9709即：3、非线性最小二乘拟合实验

：【例7】

用下面一组数据拟合中的参数a、b、k。

10020030040050060070080090010004.544.995.355.655.906.106.266.396.506.59解法一（用lsqcurvefit函数）

：首先建立函数文件curvefun1.m其中。然后建立M文件如下：以programme7作为文件名保存此M文件后，在命令窗口中输入programme7后即可得到结果：f=0.00430.00510.00560.00590.00610.00620.00620.00630.00630.0063x=0.0063-0.00340.2542解法二（用lsqnonlin函数）

：首先建立函数文件curvefun2.m然后在命令窗口中输入：functionf=curvefun2(x)tp=100:100:1000;cp=1e-03*[4.54,4.99,5.35,5.56,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];f=x(1)*x(2)*exp(-0.02*x(3)*tp)-cp结果显示

f=1.0e-003*(0.2322-0.1243-0.2495-0.2413-0.1668-0.