2015年福建省高一数学竞赛试题参考答案

PAGEPAGE62015年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月10日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1.集合的子集有（）A．4个B．8个C．16个D．32个【答案】C【解答】由，知，结合，得。∴的子集有个。2．若直线与直线：关于直线对称，则与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A．1B．C．D．【答案】D【解答】在直线：取点，则关于直线的对称点在直线上。又直线与直线的交点在直线。∴过和两点，其方程为。∴与坐标轴交于和两点，与坐标轴围成的三角形的面积为。3．给出下列四个判断：（1）若，为异面直线，则过空间任意一点，总可以找到直线与，都相交。（2）对平面，和直线，若，，则。（3）对平面，和直线，若，，则。（4）对直线，和平面，若，，且过平面内一点，则。其中正确的判断有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解答】（3）、（4）正确；（1）、（2）不正确。对于（1），设，过和的平面为，则当点在平面内，且不在直线上时，找不到直线同时与，都相交。4．如图，已知正方体，为中点，则二面角的正切值为（）A．1B．C．D．第4题第4题图【解答】如图，作于，作于，连结。由为正方体，知，。又。因此，，。∴为面角的平面角。设正方体棱长为，则，。第4题答题图图第4题答题图图5．已知为等腰直角三角形，，，为中点，动点满足条件：，则线段长的最小值为（）A．B．2C．D．4【答案】B【解答】以所在直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系。则、、。设，由，知。∴，即，化简，得。∴。∴时，有最小值2。此时，。6．记，，，，则，，，的大小关系为（）A．B．C．D．（必要时，可以利用函数在上为增函数，在上为减函数）【答案】A【解答】，。设，由在上为增函数，在上为减函数，∴，。。12．若实数，满足条件：，则的最小值为。【答案】【解答】由条件知，，，因此，，。由对称性，不妨设，则。设，代入，消并整理，得。…………①由①的判别式，得或。由知，，。又时，①化为，得，此时，符合。∴的最小值为。因此，的最小值为。三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）13．在中，已知点，，且它的内切圆的方程为，求点的坐标。【答案】易知直线于圆相切，直线、的斜率存在。设直线的方程为，即。由直线与圆相切，知，解得。∴直线的方程为。………8分设直线的方程为，即。由直线与圆相切，知，解得。∴直线的方程为。……12分由，解得。∴点的坐标为。…………16分14．已知（，，），且对任意实数，恒成立。（1）求证：；（2）若当时，不等式对满足条件的，恒成立，求的最小值。【答案】（1）∵对任意实数，恒成立，∴对任意实数，，即恒成立。∴，即。…4分∴，。………8分（2）由以及（1）知，。∴恒成立，等价于恒成立。…………12分设，则。由，知的取值范围为。∴，的最小值为。………16分15．如图，、分别是的中线和高线，、是外接圆的切线，点是与圆的交点。（1）求证：；（2）求证：平分。【答案】（1）由为圆切线，知。∵、是圆的切线，为中点，∴、、三点共线，且。第15题图∴，第15题图∴。………………4分∵，为中点，∴，。∴。于是，。又∵。第15题答题图∴。…………第15题答题图（2）延长交圆于点，连结，，。由，知.∴，。………………12分又为中点，。∴。∴，。∴平分。…16分（2）或解：连结、、、。由，，知。又由切割线定理知，，第15题答题图第15题答题图∴、、、四点共圆。………………12分∴。又于，因此，。∴平分。………16分16．已知正整数，，（）为的三边长，且，求的最小值。其中表示的小数部分，即（表示不超过的最大整数）。【答案】由，知（即，，，被15除的余数相同。）……………4分∴，。由2与15互质知，，………………8分经验算，可知满足的最小正整数。∴，都是4的倍数。………12分设，（，为正整数，且）。∵，，构成三角形三边长，∴，。∴。经验证，5，，可以为三角形的三边长。∴的最小值为27。此时，，，。……………16分17．已知集合。集合是的子集，且在的任意三个元素中，总可以找到两个元素和，使得是的整数倍。求的最大值。（其中表示集合的元素的个数）。【答案】首先集合符合要求。此时，。……………5分设，，满足：在的任意三个元素中，总可以找到两个元素和，使得是的整数倍。取的任意三个相邻元素：，，。依题意是的整数倍，或是的整数倍