机械臂的雅可比矩阵

5.2雅可比矩阵5.2.1雅可比矩阵的定义存在怎样的关系？两空间之间的线性映射关系—雅可比矩阵（简称雅可比）。它可以看成是从关节空间到操作空间运动速度的传动比，同时也可以用来表示两空间之间力的传递关系。首先来看一个两自由度的平面机械手，如图所示。两自由度平面机械手容易求得将其微分得写成矩阵形式假设关节速度为，手爪速度为。简写成：

dx=Jdθ。式中J就称为机械手的雅可比（Jacobian）矩阵，它由函数x，y的偏微分组成，反映了关节微小位移dθ与手部（手爪）微小运动dx之间的关系。对dx=Jdθ两边同除以dt，得可以更一般的写成。

因此机械手的雅可比矩阵定义为它的操作空间速度与关节空间速度的线性变换。（或v）称为手爪在操作空间中的广义速度，简称操作速度，为关节速度。J若是6×n的偏导数矩阵，它的第i行第j列的元素为：式中，x代表操作空间，q代表关节空间。若令J1，J2分别为上例中雅可比矩阵的第一列矢量和第二列矢量，即可以看出，雅可比矩阵的每一列表示其它关节不动而某一关节以单位速度运动产生的端点速度。由，可以看出，J阵的值随手爪位置的不同而不同，即θ1和θ2的改变会导致J的变化。对于关节空间的某些形位，机械手的雅可比矩阵的秩减少，这些形位称为操作臂（机械手）的奇异形位。上例机械手雅可比矩阵的行列式为：det(J)=l1l2s2当θ2=0°或θ2=180°时，机械手的雅可比行列式为0，矩阵的秩为1，因此处于奇异状态。在奇异形位时，机械手在操作空间的自由度将减少。只要知道机械手的雅可比J是满秩的方阵，相应的关节速度即可求出，即。上例平面2R机械手的逆雅可比于是得到与末端速度相应的关节速度：显然，当θ2趋于0°（或180°）时，机械手接近奇异形位，相应的关节速度将趋于无穷大。5.2.2雅可比矩阵的构造法雅可比矩阵既可以当成是从关节空间向操作空间的速度传递的线性关系，也可以看成是微分运动转换的线性关系，即将手爪的线速度和角速度表示为各关节速度的线性函数：一、矢量积的方法(1)对于移动关节i，则(2)对于转动关节i，则式中，表示手爪坐标原点相对坐标系{i-1}的位置矢量在基坐标系{0}中的表示，即；是坐标系{i-1}的z轴单位矢量（在基坐标系{0}中表示）。二、微分变换法雅可比矩阵的第ｉ列为式中，n,o,a和p是的四个列向量。因此，这种构造法只需要知道各连杆变换就能很容易求出雅可比，而不需要求导和解方程等计算。三、两种方法的转换关系由上述两种方法得出的雅可比存在以下的关系：或5.3机器人的静力学存在怎样的关系？机器人与外界环境相互作用时，在接触的地方要产生力和力矩，统称为末端广义（操作）力矢量。记为称为关节力矢量利用虚功原理，令各关节的虚位移为δqi，末端执行器相应的虚位移为D。根据虚位移原理，各关节所作的虚功之和与末端执行器所作的虚功应该相等，即简写为:又因为,所以得到与之间的关系式中称为机械手的力雅可比。它表示在静态平衡状态下，操作力向关节力映射的线性关系。若J是关节空间向操作空间的映射（微分运动矢量），则把操作空间的广义力矢量映射到关节空间的关节力矢量。关节空间操作空间雅可比J雅可比JT若已知则有{T}{0}{0}{T}{B}{A}{A}{B}JTJ根据前面导出的两坐标系{A}和{B}之间广义速度的坐标变换关系，可以导出{A}和{B}之间广义操作力的坐标变换关系。例：如图所示的平面2R机械手，手爪端点与外界接触，手爪作用于外界环境的力为，若关节无摩擦力存在，求力的等效关节力矩。解：由前面的推导可知所以得例：如图所示的机械手夹扳手拧螺丝，在腕部（{Os}）装有力/力矩传感器，若已测出传感器上的力和力矩，求这时作用在螺钉上的力和力矩。(