高阶线性微分方程的一般理论

高阶线性微分方程的一般理论第1页，共31页，2023年，2月20日，星期四2

§4.1高阶线性微分方程的一般理论

§4.2常系数高阶线性方程的解法§4.3高阶方程的降阶和幂级数解法本章内容/MainContents/CH.4Higher-OrderLinearODE2023/5/10常微分方程-重庆科技学院-李可人第2页，共31页，2023年，2月20日，星期四3理解高阶线性方程解的性质和解的结构熟练掌握常系数高阶线性方程的解法本章要求/Requirements/掌握高阶方程的一般解法CH.4Higher-OrderLinearODE2023/5/10常微分方程-重庆科技学院-李可人第3页，共31页，2023年，2月20日，星期四§4.1高阶线性微分方程的

一般理论

/GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE/第4页，共31页，2023年，2月20日，星期四5理解高阶齐次线性方程解的性质和解的结构理解高阶非齐次线性方程解的性质和解的结构本节要求/Requirements/2023/5/10常微分方程-重庆科技学院-李可人第5页，共31页，2023年，2月20日，星期四6n

阶线性微分方程一般形式：其中是区间上的连续函数。称它为n阶齐次线性微分方程，而方程（4.1）为n阶非齐次线性微分方程。4.1.1引言

/Introducation/

n

阶微分方程一般形式：2023/5/10常微分方程-重庆科技学院-李可人第6页，共31页，2023年，2月20日，星期四7方程（4.1）的解的存在唯一性定理:上，且满足初始条件：定理1及都是区间则对于任一及任意的方程（4.1）存在，定义于区间上的连续函数,唯一解如果2023/5/10常微分方程-重庆科技学院-李可人第7页，共31页，2023年，2月20日，星期四84.1.2齐线性方程解的性质与结构

定理2

（叠加原理）如果则它们的线性组合的解，这里是任意常数。是方程（4.2）也是（4.2）的k个解，例有解2023/5/10常微分方程-重庆科技学院-李可人第8页，共31页，2023年，2月20日，星期四9证明2023/5/10常微分方程-重庆科技学院-李可人第9页，共31页，2023年，2月20日，星期四10问题：时，若能否成为方程（4.2）的通解？不一定不包含解要使为方程（4.2）的通解还需满足一定的条件。?当是齐线性方程的解，如在上例中2023/5/10常微分方程-重庆科技学院-李可人第10页，共31页，2023年，2月20日，星期四11函数线性无关和相关定义在上的函数，如果存在使得恒等式不全为零的常数对所有成立，称这些函数是线性相关的，否则称是线性无关的。如上线性无关上线性相关上线性无关要使得则2023/5/10常微分方程-重庆科技学院-李可人第11页，共31页，2023年，2月20日，星期四12定义在区间上的k个可微k-1次的函数所作成的行列式称为这些函数的伏朗斯基行列式。伏朗斯基行列式2023/5/10常微分方程-重庆科技学院-李可人第12页，共31页，2023年，2月20日，星期四13

定理3在区间上线性相关，上它们的伏朗斯基行列式。则在证明由假设，即知存在一组不全为零的常数（4.6）（4.7）使得依次对t微分此恒等式，得到若函数的齐次线性代数方程组，关于2023/5/10常微分方程-重庆科技学院-李可人第13页，共31页，2023年，2月20日，星期四14它的系数行列式方程存在非零解的充要条件是系数行列式必须为零，即由线性代数理论证毕其逆定理是否成立？例如：即由其构成的伏朗斯基行列式为零，但它们也可能是线性无关的。不一定2023/5/10常微分方程-重庆科技学院-李可人第14页，共31页，2023年，2月20日，星期四15故是线性无关的。2023/5/10常微分方程-重庆科技学院-李可人第15页，共31页，2023年，2月20日，星期四16如果方程(4.2)的解在区间上线性无关，则任何点上都不等于零，即在这个区间的定理4设有某个，使得考虑关于的齐次线性代数方程组证明

反证法（4.9）2023/5/10常微分方程-重庆科技学院-李可人第16页，共31页，2023年，2月20日，星期四17其系数行列式，故（4.9）有非零解构造函数根据叠加原理，是方程（4.2）的解，且满足初始条件由解的唯一性知，即因为不全为0，与的假设矛盾。（4.10）另也是方程(4.2)的解，线性无关证毕也满足初始条件（4.10）2023/5/10常微分方程-重庆科技学院-李可人第17页，共31页，2023年，2月20日，星期四18定理5

n

阶齐线性方程(4.2)一定存在n个线性无关的解，线性相关定理4定理3重要结论方程(4.2)的解在区间上线性无关的充分必要条件是且任意n+1个解都线性相关。证明在上连续，取则满足条件存在唯一。2023/5/10常微分方程-重庆科技学院-李可人第18页，共31页，2023年，2月20日，星期四19线性无关。即齐线性方程(4.2)一定存在n个线性无关的解。任取方程(4.2)的n+1个解，2023/5/10常微分方程-重庆科技学院-李可人第19页，共31页，2023年，2月20日，星期四20任意n+1个解都线性相关。2023/5/10常微分方程-重庆科技学院-李可人第20页，共31页，2023年，2月20日，星期四21

定理6（通解结构）其中是任意常数，且通解（4.11）是方程（4.2）的n个线性无关的解，则方程（4.2）的通解可表为（4.11）包括方程（4.2）的所有解。方程(4.2)的一组n个线性无关解称为它的一个基本解组。如果n

阶齐线性方程的所有解构成一个n维线性空间。2023/5/10常微分方程-重庆科技学院-李可人第21页，共31页，2023年，2月20日，星期四22

4.1.3非齐线性方程与常数变易法

性质1

如果是方程（4.1）的解，而（4.2）的解，则性质2

方程（4.1）的任意两个解之差必为方程（4.2）的解。是方程也是方程（4.1）的解。2023/5/10常微分方程-重庆科技学院-李可人第22页，共31页，2023年，2月20日，星期四23是任意常数，且通解（4.14）包括定理7为方程（4.2）的基本解组，是方程（4.1）的某一解，则方程（4.1）的通解为其中（4.14）设方程（4.1）的所有解。证明1)（4.14）一定是方程（4.1）的解，且含有n个独立的任意常数，是通解。2)是方程（4.1）的任一个解，则是方程（4.2）的解证毕2023/5/10常微分方程-重庆科技学院-李可人第23页，共31页，2023年，2月20日，星期四24设为方程（4.2）的基本解组，为（4.2）的通解。（4.15）（4.16）非齐线性方程齐线性方程非齐线性方程通解特解基解组表示关键常数变易法为（4.1）的解。2023/5/10常微分方程-重庆科技学院-李可人第24页，共31页，2023年，2月20日，星期四25令2023/5/10常微分方程-重庆科技学院-李可人第25页，共31页，2023年，2月20日，星期四26（4.16）代入方程（4.1）2023/5/10常微分方程-重庆科技学院-李可人第26页，共31页，2023年，2月20日，星期四27方程组有唯一的解，设为（4.16）2023/5/10常微分方程-重庆科技学院-李可人第27页，共31页，2023年，2月20日，星期四28特解通解非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的结构:通解与自身的一个特解之和。2023/5/10常微分方程-重庆科技学院-李可人第28页，共31页，2023年，2月20日，星期四29例1

求方程基本解组为，的通解，已知它对应齐线性方程的解解得原方程的通解为令2023/5/10常微分方程-重庆科技学院-李可人第29页，共31页，2023年，2月20日，星期四30例2

求方程于域解对应的齐线性方程为上的所有解。得易见有基本解组这里A、B

为任意常数。设为方程的解故得原方程的通解