吉林省长春市高三质量检测（四模）数学（理）试题

2022届吉林省长春市高三质量检测（四模）数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则集合（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出集合A，B，再利用交集的运算即可求出．【详解】化简，，所以．故选：B．2．若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（

）A．-3 B．-1 C．1 D．3【答案】A【分析】利用复数的除法，将复数表示为一般形式，然后利用复数的实部与虚部相等求出实数的值.【详解】解：因为复数的实部与虚部相等，所以，解得故实数a的值为.故选：A3．下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由偶函数的定义以及指对幂函数的单调性判断即可.【详解】对于A，令，，故A错误；对于B，令，，则为偶函数，当时，，则在上单调递减，故B正确；对于C，，，故C错误；对于D，当时，，在上单调递增，故D错误；故选：B4．已知长方形的长与宽分别为3和2，则分别以长与宽所在直线为旋转轴的圆柱体的体积之比为（

）A．3：2 B．2：3 C．9：4 D．4：9【答案】B【分析】分别求出两圆柱的体积，即可得到比例关系；【详解】解：若以长为轴，则圆柱的高，底面半径，此时圆柱的体积，若以宽为轴，则圆柱的高，底面半径，此时圆柱的体积，所以；故选：B5．纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值．现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却约5分钟后，物体的温度是30℃，若根据对数尺可以查询出，则空气温度约是（

）A．5℃ B．10℃ C．15℃ D．20℃【答案】B【分析】由题意可知，再根据对数的运算性质计算可得；【详解】解：由题意可知，整理得，，所以，，解得．空气温度是．故选：B．6．设表示直线，表示平面，使“”成立的充分条件是（

）A．， B．，C．， D．，，，【答案】C【分析】根据面面垂直、线面垂直、线面平行的判定与性质依次判断各个选项即可.【详解】对于A，当，时，可能、或与相交，充分性不成立，A错误；对于B，当，时，可能或与相交，充分性不成立，B错误；对于C，若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面，充分性成立，C正确；对于D，若，则，，，无法得到，充分性不成立，D错误.故选：C.7．已知随机变量，下列表达式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据二项分布的性质，结合数学期望和方差的性质进行逐一判断即可.【详解】因为，所以，因此，，因此选项B、D不正确，选项C正确，又因为，所以选项A不正确，故选：C8．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a（单位：t），用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费，如果当地政府希望使80%以上的居民每月的用水量不超出该标准，为了科学合理确定出a的数值，政府采用抽样调查的方式，绘制出100位居民全年的月均用水量（单位：t）频率分布直方图如图，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况，可推断标准a大约为（

）【答案】B【分析】由直方图易知：，由题意列出方程，由此就可以求出月均用水量的最低标准.【详解】前5组的频率之和为前6组的频率之和为，由，解得故选：B9．对于函数，下列结论正确的是（

）A．图象关于点对称 B．在区间上单调递增C．与函数相等 D．在区间的最大值为2【答案】D【分析】由余弦函数的对称性判断A，根据余弦函数的单调性判断B，根据诱导公式判断C，利用余弦函数的值域判断D.【详解】对于A：因为，所以，故函数不关于对称，故A错误；对于B：因为，，又在上不单调，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：因为，所以，所以，所以，故D正确.故选：D10．已知数列满足，，则数列的前2022项积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】找出数列的规律，是周期为4的数列，然后求和即可.【详解】由题意，，，，，，，，∴是周期为4的循环数列，在一个周期内的积为：

，，前2022项之积为505个周期之积

，即；故选：A.11．已知点和是双曲线C：的两个焦点，过点作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为H，且，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】不妨取双曲线的一条渐近线为，利用点到直线的距离公式求出，再求出的方程，联立求出的坐标，即可得到，再根据，即可求出离心率；【详解】解：依题意不妨取双曲线的一条渐近线为，，，所以到直线的距离，又的斜率为，所以的方程为，由，解得，即，所以，因为，所以，即，即，所以离心率；故选：B12．己知函数，，若恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】对不等式≥进行变形，参变分离出a，构造函数，求h(x)的导数，利用导数研究h(x)的单调性，求出h(x)的最小值即可求出a的取值范围．【详解】，令，则，令，，∵，∴p(x)在(0，+)上单调递增，∵，∴当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；∴，∴≥恒成立，则．故选：A二、填空题13．若公差不为0的等差数列满足，，，成等比数列，则______．【答案】1【分析】根据题意：为，的等比中项，可得，结合题意利用等差数列的定义代入求解．【详解】∵，，成等比数列，∴又∵，则，即解得：或（舍去）则故答案为：1．14．______．【答案】【分析】求得被积函数的原函数，根据微积分基本定理即可求得答案.【详解】,故答案为：15．在ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上，且满足等于_____.【答案】【分析】由题意得，再求出线段PA长度即可.【详解】解：因为M是BC的中点，，所以，.故答案为：.16．现有四棱锥（如图），底面ABCD是矩形，平面ABCD.，，点E，F分别在棱AB，BCPEFD的周长最小时，异面直线PE与DF所成角的余弦值为___________.【答案】【分析】根据两点间线段最短，结合平行线的性质、异面直线所成角的定义、空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】将沿旋转到平面内，如下图所示，设点关于对称的点为，线段与的交点为，此时空间四边形PEFD的周长最小，因为，所以，同理可得：，因为底面ABCD是矩形，所以，又因为平面ABCD，平面ABCD，所以，所以可以建立如下图所示的空间直角坐标系，，，异面直线PE与DF所成角的余弦值为：，故答案为：【点睛】关键点睛：利用两点间线段最短是解题的关键.三、解答题17．在中，角A､B､C所对的边分别是a､b､c，的面积为S，且.(1)求角A；(2)若，，求的面积.【答案】(1)；(2)．【分析】(1)根据已知条件，结合三角形面积公式和余弦定理即可求出tanA，从而求出A；(2)根据余弦定理求出c边，根据三角形面积公式即可求解．【详解】(1)由，可得，则，即，则，∵，∴；(2)在中，由余弦定理得，，即，可得或(舍)，则．18．已知直三棱柱中中，为正三角形，E为AB的中点，二面角的大小为.(1)求证：平面；(2)求直线BC与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明过程见解析；(2).【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式，结合线面角的定义进行求解即可.【详解】(1)连接交于，连接，显然是的中点，因为E为AB的中点，所以，而平面，平面，所以平面；(2)设的中点为，连接交于，因为为正三角形，所以也是正三角形，所以有，因为三棱柱是直三棱柱，所以平面平面，而平面平面，所以平面，因为三棱柱是直三棱柱，所以侧面是矩形，因此平面，于是建立如图所示的空间直角坐标系，设，所以，设平面的法向量为，，所以有，因为平面，所以设平面的法向量为，因为二面角的大小为，所以有（负值舍去），则，设直线BC与平面所成角的正弦值为，所以.x(单位：公斤)，粮食亩产量为y(单位：百公斤)．参考数据：6501515表中，(1)根据散点图判断，与，哪一个适宜作为粮食亩产量y关于每亩化肥施用量x的回归方程(给出判断即可，不必说明理由)；(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；并预测每亩化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量y的值；()(3)通过文献可知，当化肥施用量达到一定程度，粮食产量的增长将趋于停滞，所以需提升化肥的有效利用率，经统计得，化肥有效利用率，那么这种化肥的有效利用率超过56%的概率为多少？附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；②若随机变量，则有，.【答案】(1)；(2)；8.1百公斤；(3)．【分析】（1）根据散点图可知y与x的关系不是线性关系，故应该选择非线性模型.（2）两边同时取自然对数，令，可得，则z和t成线性相关，利用最小二乘估计公式计算出d和lnc即可得y与x的回归方程，将x=27代入即可预测每亩化肥施用量为27公斤时粮食亩产量y的值.（3）根据正态分布的对称性可得．【详解】(1)根据散点图可知y与x的关系不是线性的关系，则更适宜．(2)∵，∴，令，，则，，，∴，，，∴，当时，(百公斤).(3)根据Z服从正态分布可知，，∴这种化肥的有效利用率超过的概率为．20．已知函数，.(1)证明：；(2)若数列满足，，证明：，.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)先证明f(x)>0，化简不等式，构造函数，，证明g(x)<0即可；再证明，化简不等式，构造函数，证明h(x)>0即可；(2)利用(1)中结论可得，从而可得，利用累乘法即可得，再根据即可得到结论．【详解】(1)先证，即证，令，，即证g(x)<0，∵，在上单调递减，．再证，即证，即证，令，即证h(x)>0，∵，在上单调递增，；(2)由(1)得，则，∴，即，∴，当n=1时，，故，．【点睛】本题第一问关键是化简要证明的不等式，构造函数，利用导数判断函数单调性并求最小值即可得结论；第二问关键是利用第一问的结论，结合数列的累乘法求出，从而得出结论.21．已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线被所截得的弦长为.(1)求抛物线的方程；(2)已知点为抛物线上的任意一点，以为圆心的圆过点，且与直线相交于两点，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）设直线方程，与抛物线方程联立，利用抛物线焦点弦长公式可构造方程求得，由此可得抛物线方程；（2）设，圆的半径为，利用面积公式，借助可求得，结合抛物线定义可知，由此可得，进而得到所求范围.【详解】(1)由抛物线方程得：，可设过点且倾斜角为的直线为：，由得：，由抛物线焦点弦长公式可得：，解得：，抛物线的方程为：.(2)由（1）知：，准线方程为：；设，圆的半径为，则，，，又，；由抛物线定义可知：，即，，即的取值范围为.【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，本题第二问求解的基本思路是能够将所求距离之积转化为关于圆的半径的函数的形式，通过抛物线定义确定的取值范围后，即可得到所求距离之积的取值范围.22．如图，在极坐标系Ox中，方程表示的曲线是一条优美的心脏线．在以极轴Ox所在直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程为（t为参数，且）．(1)求曲线的极坐标方程；(2)当时，与交于点A，将射线OA绕极点按顺时针方向旋转，交于点B，求的值．【答案】(1)（）(2)【分析】（1）首先将曲线消去参数得到普通方程，再根据得到曲线的极坐标方程；（2）令、分别求出、，再根据数量积的定义计算可得；【详解】(1)解：因为曲线的参数方程为（为参数，且）所以（），又，所以，即（），即曲线的极坐标方