《平面的基本性质》第2课时示范课教学设计【高中数学教案】

《平面的基本性质》教学设计第2课时◆◆ 教学目标了解平面的基本事实与推论，能用图形、文字、符号三种语言描述三个推论，理解三个三个推论的地位与作用；会用平面的基本事实正面点共线、线共点、点线共面三个典型问题，熟悉符号语言、文字语言、图形语言之间的转换◆ ◆ 教学重难点◆ 教学重点：掌握平面的基本事实及推论．教学难点：能用图形、文字、符号三种语言描述平面的基本事实，并能解决空间线面的位置关系问题．◆ ◆ 课前准备PPT课件．◆◆ 教学过程一、问题导入问题1：平面的基本事实有哪些？作用是什么？基本事实1：经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面.作用：①确定平面的依据；②判定点、线共面基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.作用：①判定直线是否在平面内；②判断一个面是否是平面基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线作用：①判定两个平面相交的依据；②判定点在直线上本节课进一步学习平面的基本事实的推论.（板书：平面的基本事实的推论）【新知探究】问题2：经过一条直线与直线外一点，确定平面吗？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．追问：你确定平面的依据还有哪些？（让学生自由发挥，分组讨论，一起判断，教师点评.）预设的答案：推论1：文字表示：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面.符号表示：A∉l⇒存在唯一的平面α，使A∈α，且l⊂α图形表示：注：(1)这是由基本事实1与基本事实2得到的．如图，在直线上取两点，因为，所以3点不共线.由基本事实1可知，确定一个平面，记为，由基本事实2以及可知.(2)推论1可以简单地说成：直线和直线外一点确定一个平面.推论2：文字表示：经过两条相交直线，有且只有一个平面.符号表示：l∩m＝A⇒存在唯一的平面α，使l⊂α，且m⊂α图形表示：推论3：文字表示：经过两条平行直线，有且只有一个平面符号表示：l∥m⇒存在唯一的平面α，使l⊂α，且m⊂α图形表示：注：（1）推论2与推论3可以分别简单地说成“两条相交直线确定一个平面”，“两条平行直线确定一个平面”．（2）推论2可以说明，三角形是平面图形，因此初中有关三角形全等，相似，以及前面我们学习的解三角形等结论，在空间中也是成立的．（3）推论3可以说明平行四边形，梯形也是平面图形，初中有关平行四边形、梯形的判定与性质等结论，在空间中也成立.设计意图：通过观察分析归纳出平面基本事实的推论，发展学生数学抽象和直观想象的核心素养．【巩固练习】例1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：∵MN∩EF＝Q．∴Q∈直线MN，Q∈直线EF.又∵M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD．AB⊂平面ABCD．∴M，N∈平面ABCD，∴MN⊂平面ABCD．∴Q∈平面ABCD．同理，可得EF⊂平面ADD1A1．∴Q∈平面ADD1A1.又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD．∴Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．设计意图：通过典例分析，提高学生对平面基本事实的理解，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养．例2.证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：已知：如图所示．，，.求证：直线在同一平面内.证明：方法一（纳入法），∴和确定一个平面.，.又，.同理可证.又，，，∴直线在同一平面内.方法二（同一法），确定一个平面.，确定一个平面.，，.，，.同理可证，，，.∴不共线的三个点既在平面内，又在平面然内.∴平面和重合，即直线在同一平面内.设计意图：通过典例分析，提高学生对平面基本事实的理解，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养．例3.已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：证明法一：如图所示．由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B．∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l．∴l⊂α.即过a，b，l有且只有一个平面．法二：∵a∥b，∴过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，则过a与l有且只有一个平面β.∴a⊂α，a⊂β，B∈α，B∈β．又∵B∉a，∴平面α与β重合．即过a，b，l有且只有一个平面．设计意图：通过典例分析，提高学生对平面基本事实的理解，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养．【课堂小结】问题：（1）平面的基本事实的推论有哪些？（2）证明点、线共面问题的常用方法有哪些？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：1．推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(图①)．推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)．2．证明点线共面的方法：先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确平面的基本事实的推论的有关知识．发展学生的逻辑推理、数学建模和直观想象的核心素养．布置作业：【目标检测】1.A、B、C表示不同的点，n，l表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下列推理表述不正确的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈β，B∈α⇒α∩β＝直线ABC．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α与β重合D．l⊄α，A∈l⇒A∉α设计意图：平面的基本事实的推论的运用2.下列说法不正确的是()A．三角形是平面图形B．一条直线和一个点可以确定一个平面C．平行四边形是平面图形D．初中学习的梯形的判断与性质等结论，在空间中仍然成立设计意图：平面的基本事实的推论的运用3.如图，E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的AB、BC、CD、DA边上的点，且直线EH与直线FG交于点O.求证：B、D、O三点共线．设计意图：平面的基本事实的推论的运用4.如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．设计意图：平面的基本事实的推论的运用5.如图所示，已知四面体A－BCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝2.求证：直线EG，FH，AC相交于同一点．设计意图：平面的基本事实的推论的运用参考答案：1.DA是基本事实2，故A正确；B是基本事实3，故B正确；C是基本事实1，故C正确；当l⊄α，A∈l时，也有可能A∈α，如l∩α＝A，故D不正确．2.BA正确，利用推论2可以说明三角形是平面图形；B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面；C正确，利用推论3可以说明平行四边形是平面图形；D正确，因为梯形是平面图形．3.∵E∈AB，H∈AD．∴E∈平面ABD，H∈平面ABD．∴EH⊂平面ABD．∵EH∩FG＝O．∴O∈平面ABD．同理O∈平面BCD，即O∈平面ABD∩平面BCD．∴O∈BD，即B、D、O三点共线．4.因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，因为AB∩α＝E，所以E∈平面AC，E∈α，由基本事实3可知，E必在平面AC与平面α的交线上．同理F，G，H都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．5.∵E，F分别是AB，AD的中点，∴EF∥BD且EF＝eq\f(1,2)BD．又∵eq\f(B