2023年高考数学知识点汇编及8大专题考试答题思路

2023年高考数学知识点汇编及8大专题考

试答题思路

集合与常用逻辑用语

一组对象的全体.元素特点：N

子集xeA^>xeBoA^B

关系真子集XG^4=>XG5,3^0GB、x。任力。月

集相等A=B,B=AoA=B

合

交集力n8={x|戈£4,且X£B}

三算并集4U3={x|工£Q

集C"

T

补集CLA={X|XGZ7且工eA]

能够判断真假的语句

与

原命题

常原命题：若p,则q

命题与

用命题四种逆命题：若夕，则。

题与逆

逻命题否命题：若「夕,则

常

辑逆否命题：若，则「夕为逆否

用

用充分条件pnq,p是q的充分条件若命题

逻充要

语必要条件p=>q,q是P的必要条件则?二

TH水1十

充要条件poq,夕，q互为充要条件A-L

用

语或命题p^q,2,U有一为真即为真，p,q均为

逻辑

且命题P^q,2M均为真时才为真，p,q有一

J在S梢JSW有J1

非命题「p和p为一真一假两个互为对立的命题

全称量词V,含全称量词的命题叫全称命题，其否定

里同

存在量词3,含存在量词的命题叫特称命题,其否定

复数

规定：72=-1；实数可以与它进行四则运算，?

虚数单位

立。i4k=1,『上+1=j『无+2=_1/4无+3=_j(k

形如a+bi(d8eR)的数叫做复数，〃叫做，

复数

bwO时叫虚数、〃=0/w0时叫纯虚数。

复数相等a+bi=c+di(a,b,c,deR

共宛复数实部相等，虚部互为相反数。即二二4

复数

加减法(a+6。±(c+di)二(a±c)+(6±

乘法m+6i)(c+di)={ac-bd)+(bc-

境—算A~A~

,7.、/ac+bdbe—de

除法(Q+bz),(C+—),+)r

。〜+d"c"+d

复数二=4+加<一一对应>复平面内的点Z(4,Z0

几何

意义向量OZ的模叫做复数的模，二二4

平面向量

向量既有大小又有月向的量，表小向量的有向线段的长度口微该向量的t

重。向量长度为o,方向彳璋的向星【6与0m港向量共线】

要平行量方向相同或者相反的两个m港向量叫做平行向量，也口哄线向量。

概

向星夹角起点放在一点的两向量所癖角，范围是［o,乃|。Z荒的夹角记为

念

<aj)>=0.bcose叫做3在［方向上的投影。【注意：投影

重工1,工2不照，存在唯T实数对(4〃)，使2+〃工2。至

基本定理

要

正交问基，(A,//)就是向量"的坐风

法

-^表示坐■示(

则

共线条件a/b由工。共线o存在唯一卖数％,3=(七,“)二〃

定

理垂直条件aLbOa»b=0

加法法则3的平行四边形法则、三角形法则a+b=

平运算算律a+b=b+a,(a+b)+c=4+(b+c)与力区去运

面

法则3-g的三角舲去贝Ij

向减法a-b=

运算

量分解MN=ON-OMMN=(

为向量，％>0与一。方向相同，

槐令尢

/I<0与3方向相反，2^|=|2||<7

蛹

各

X~~—*—*—♦—♦•—►

运算

种M〃a)=(%4)a,(A+")a=Aa+/.ia,

算律—♦—•—►—与数乘运

运A(<7+b)=Aa+Ab

算

幡a*b=a-bcos<aj)>a»b

a

主要丁，网

a*a=<阳•同

积运蜩|再吃+乃Vzl

算

a・b=b・a,(a+b)»c=a»c+b»c,与上面频量彳

算律

(瓶)•否=f(4)=A(<7«S)o

不等式与线性规划

(1)a>b,b>c=a>c：两个实委

(2)a>b,c>0=>ac>bcia>b,c<0=>ac<be;a>b<

(3)a>b^>a+c>b+c;a=b<

a<b<

质(4)a>b,c>a+c>b+d；

(5)a>b>0,c>d>Q=>ac>bd;a>b<

(6)a>b>0,〃eN*,n>l=>an>bni^/a>观ab>0

解一元二次不室t实际上就是求出对应的一元二次方程的实数根(如果有实数根;

象确定其大于零或者小于零的区间，在含有字母参数的不等式中还要根据参数曲

等式

以及函数图象的开*向，从而确定橙式的解集.

a+b>2y[ab[a,b>0)；ab<(-^)2(

a,beR

血2

212

(a>0,b>0)“>0),er+b*>nh

2

二元一)矫二元一次不等式Ax+By+C>0的解集是平面直角坐标系中表示Ax+为，+

等式组的平面区域。_兀一次不上组的解集是指各个不等式解集所表不的平面区除2

约束条件对变量的制约条件。如果是的y的一次式，则傩性

目标函数求解的最优问题的表达式。如果是的一次式，则侬1

可彳獭满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解.

可行域所有可行解组成的集合叫^^亍域

使目标级取得最大值或者最/」他的可行解叫最优解。

简单的

在线性约束条件下甦性目标统的最大值或者最大值的I'E

第一步画出可行域。

不含

第二步根据目信数几何意义确

问题实际背景

第三步求出目标函数的最值

解法

含第一步设朗个变量，建立约束条件和目标整。

实际背景第二步同不含实际背景的解法步噱。

算法、推理与证明

顺序结构依次执行

逻辑

条件结构根据条件是否成立有不同的流向

结构

算法循环结构按照一定条件反复防某些步骤

林

输入语句、输出语句、赋值语句、条件

语句

归纳推理由部分具有某种特征推

合情推理

推理类比推理由一类对象具有的特征推断

演绎推理根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊

磔综合法由已知导向

数学直接证明

与分析法由结论反推

证明

证明间接证明主要是反证法，反设结论、导出矛盾的证明方

数学教学归纳法是以自然数的归纳公理做为它的理论基础的，因

归纳然数有关的命题。分两步：首先证明当n取第一个值n0（

法n=k（左左之%）时结论正确，证明当n=k+1时结起

计数原理与二项式定理

完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有7%种刁

分类加法

同的方法，…，在第〃类方率中有种不f

计数原理

*N—叫++…+7〃??种不同的方法.

完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有叫种彳

分步乘法

法……做第n步有叫种不同的方法.那么完成这件事夬

计数原理

方法.

从n个不同元素中取出7〃。〃<77）个元素，按照一定

排my素中取出77/（777<〃）个元素的一个排列，所有不同排彳

列

排列7〃（7〃<77）个元素的排列数，用符号47表示。

组

排列数771

合4二〃(〃-1)(〃-2)…(〃-7〃+1)=0

公式(77-7/?)!

从〃个不同元素中，任意取出个元素3

项

个元素的组合，所有不同组合的个数，叫《

式定义

元素的组合数，用符号C：表示。

组合

理组合数m-1)…(〃-7〃+1)_47

公式"7〃！"4：

颜C：=。尸（叽〃GM且7〃<〃）；C%=

定理(a+b)n=C^an+C：优-%+-+C：0n-E+…T

二项

通项公式(._i=(其中0«左左eN,，?eN*)

式XE

c；+-…+CV；c：+c；+

理系数和

公式G+C：+C；+…=C：+C：+C：+…2”口

函数、基本初等函数I的图像与性质

iflil令本质：定义域内任r自变量对应物的函数值两函数电只要定

解析式法、表格法、图象法。分段函数是数，其定义域是各段定)

表示方法

域的并集

对定义域内间、玉

函数TEI.Xpx2eI<x2,,

雌单调性/(.V)是增函数。/(xj</(x2),

/(.V)是侬数o/(项)>/(x2)o

表7F对定义域内任意X,/(.r)是偶函数o/(.r)=/(-.r)

奇偶性/(x)是奇理数o/(—x)=一/(x)。偶函数图象关三

y轴对称、奇函数图象关于坐标原点对称》

周期性对定义域内任意x,存在m藩常数T,/(.r+T)=/(.i

指数函数0<67<1(-00,+oc)单减，xvO时y<l,x>0时0<y

肆y=cfa>l(-oo,+oo)单增，x<0时0<y<1,x>0时y

初等对数函数0<a<1在(0,内)单调递减，0<x<l时y>0,x>l时y

函数

y=^axa>l在(0,+oo)单调递增，0<\<1时1，<0,\>1时.”

I

幕整a>0在在(0,内)单调递增，图象过坐标原点

V=Ta<Q在在(0,f》)单调递减

函数与方程、函数模型及其应用

方程/(X)=0的实数根。方程/(X)=0有实数根o函

函数

数y=/(x)有零点•

零点

存在定理图象在口，句上连续不断，若则y=/

概念把实际问表达的数量变化规律用函数关系刻画出来的方法风

阅读审题分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应供

函数

数学建模弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函资

解题步骤解答模型利用数学方法得出函数模型的数学结果。

解释模型将数学问题的结果转译成实际问题作出答案。

导数及其应用

函数.I'=/（X）在点X=XQ处的导数f'■）=lim""+~"、。）.

与几

何意几何/'（天）为曲线v=/（x）在点®J6）处的切线斜率，切发方程是

义不y-/■>）=/'®Xx-与）.

<7=0(C为常数)；(/)'=n/i(〃eN*)；

(A5

(sinx)f=cos^(cosx)r=-sinx；

亚

(/)'=ex，S)'=aTn“(a>0,且awl);

应Cn|x[)'=i.

Onx)f=~，Gogx)r=-loge(n>0,且a工1).

XflXa

运算[Ax)±g(x)]'=r(,x)±g'(x)；

[/(x)・g(M'=〃x)・g(x)+/(x)・g'(x),［Cf（x）y=cf（x）；

运算

[&[=△^里骁必里(g(x)xO),：'g'（x）

颉1

[g⑹?(x)Lg(x)_一g3

复合函始潟法MJ，=[/(g(x))]'=八g(x))g。).

导

单调性的各个区间为单调递增区间；的区间为单调递减区间.

数/'（x）>0/'（x）<o

研究

及极值/'（7））=0且/'（X）在而附近左负（正）右正（负）的事为极小（大）值点.

函数

其脑力］上的连续函数一定存在最大值却最小值，最大值和区间堵点值和区间内的极大值中的最大

应者，最小值和区间祷点和区间内的极小值中的最〃清.

用

/（x）在区间［a,6］上是连读的，用分点a=Z）<再<…<知<%<…<%=6将区间

口力］等分成"个小区间，在每个小区间［4卜项］上任取一点点（i=l,2,…,〃），

。（讲=螃£„，&）♦

如果（）是［］上的连续函数，并且有f（）（）则

型/xqbFx=/x,

S3J：/（x声=尸（6）一尸（a）•

定积

分[^(x)dr=Arff(x)dx(k为常数)；

；

顺f[/a)土g(x)孜=f/aXx土。(加

=J：〃秘+J：f(x)dx.

区间［a,b］上的连续的曲线丁=/（>）.和直爱x=。工=6（。*b）,y=0所围成的曲边悌形

简单

的面积S=1|/（力也.

邮

三角函数的图像与性质

基定义任意角a的终边与单位圆交于点P(.r,y)时，sin2=y,cosa二

本

同角三角.221sina

问

sin'a+cos'a=1,--------=tanao

国娄庆系cosa

题

诱导公式360°±a,180°±a,-a.90°±a,270°±a,"奇变

值域周期单调区间奇偶性

7V_77T_/

角增-—+2左左,—+2k兀

y=sinx2k72?

函[-M]奇整

角(xeR)7T_,37t_,

数减一+攵一+2K7T

函24,

的_22

数y=cosx

性增[一万+2左乃,2左4]

的

质(xeR)E2k兀偶统

图减[2左%,2左乃+4]

与

象

图y=tanx

与增(一工+左乃,—+k7T

71

象Rk:r奇级

性(K0左乃+一)122)

2

质

上下平移y=/(x)图象平移同得y=f(x)+k图象,k>

平匿换

左右平移y=/(x)图象平移网得y=f(x+cp)图象，(p

图

象

X轴方向y=/(x)图象各，部横坐标变为原来0倍得j，=j

变伸女奂

换y轴方向y=/(x)图象各题坐磔为原来的A倍得j，=/

中心对称v=/(x)图象关于点(。力)对称图象的解析式是y

对称变换

轴又痂y=/(.r)图象关于直线x=a对称图象的解析式是

三角恒等变换与解三角形

和差角公式倍角公式

.r2tana

sin(a±P)sin2a=--------—

sin2a=2sinacosa

=sinacos/?±cosasinP1+taiTa

_l-tanAa

cos2a=cos2a-sin?acosla=---------

cos(a±/3)1+tan"a

舞=2cos2a-l=l-2sin2(

也=cosacosPsinasin13.n1-cos2a

sina=------------

2

/1ftana±tan521+cos2a

tan(a±/3)=-----------------2tanacos"a=-------------

正切1于tanatan0tan2a=--------—

1—tan"a2

a=b=c射影定理：

S3

1B2sindsinBsinC0a=bcosC+ccos8

夕圆。

定理哪a=2J?sin=2RsinBzc=2RsinC(RHg4£®)b=qcosC+ccos4

逊三角形两边和一边对角、三角形两角与一边.c=acosB+bcosN

会a2=b2+”-2bccosA,b2=a2+c2-2accos3：J=/+b2-labcosC0

转.b^+c2-^S+cy—l

初cosA=---------------=-------------------1等.

定理2bc2bc

疑两边及一角（一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程）.三边.

角

百

恒S=^-ah.=-bhh=-chr=-6risinC=­icsin^l=idrrsinB.

面积应

等222222

俎导出

变S=他£（及夕底园半径）；S=L（a+b+c>・（，•内切园半径）.

俎

换4J?2

把要求解的量归入到可解三角形中.在实际问题中，往往涉及到多个三角形，具要根据已知逐

与三二〒想

次把求解目标归入到一个可解三角形中.

解

仰

视关在水平关以上时，在视线所在的垂直平面内，视浅与水平线所成的角.

角角

俯

形视浅在水平关以下时，在视线所在的垂直平面内，视浅与水平婚斤成的角.

实际角

靖方

常用术语方向角一股是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到

向

目标的方向线所成的角（一般是锐角，如北偏西30。）.

角

方

位某点的指北方向维，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角.

角

等差数列、等比数列

按照一定的次例既U的一列数.分有夯、无夯、增值、递减、摆动.常数数列等.

通项公式数列｛q｝中的项用示，a„=/（〃）

数列5,〃=L

an一

㈤｝Sn-S^,n>2.

前〃项和S„=a1+a2+--+a„

累加法4+1=/+/(〃)型

简单

累乘法4+1=%/(〃)型解决递推数列问题的基

的递

数本思想是"转化"，即转

转化法K-Pan+qPi(pHO,Lg,O)=晨:一:+q

丹化为两类基本数列--等

列解PP

差数列、等比数列求解.

法丽a“+i=ca”+d(c00*LdH0)=anA+2=c{an+2).

等

系数法比较至数得出义,转化为等比数列.

差

满足4+1—4="（常数），d>0递堵、d<0递减.d=0常变散列.

数

列等差通项册+/=%+Gg=m+〃=p+q。

数列%=-1"二。卅+(〃一冲d

等应%+册=2ap=m+〃=2p不为0)

比&｝

前77项i+「”r）

数SM，S浏一SM，S加-Sw,…为等差数歹u.

列

满足。〃+i：a〃=g（gwO的常数），单猬性由q的正负，q的定围确定.

aa==力+〃=p+q，

通项一—一九-1_一^?"爬mn

等比%=a1q=aq

也aman=a；=?w+〃=2p(公比不为1)

缈！1

同｝%Q7")_%-a电

前77项-aj公比襁于一1时，

s-]_q]_q

SQM-SQM-s加,…film滋列.

叫q=L

注：表格中九%pg均为正谈

数列求和及其数列的简单应用

常q(i-g")_q-a应]

用?

等b凄列S”='1—q1—qt15S!ll+2+2，H=2-1.

求j%q=L

和

目粽5+3、…+»竽（—i+产）.

数公

平方和

列式

目标

求F+23d----F/=(1+2H----F=

立方和_2」，

和

及如an=2+2”,。"=3".常用裂项方法：域白姆=；（：_,]»；

数

如〃〃

京a”=2+2",4=(-1)"+2.

为1-if1.11

用111

的裂项法如4=---------=—―------•n2—12(〃-1w+l)

求7伞+1)n〃+1

筒11.1V

和错位

单如/=(2/-1>2"。4n2-l212〃-12n+l)'

方相减去

应〃+l_11

法

用的序n，

如d+C：+…+AC：+…+C：.网”一»2”(〃一1)2"Tn-2

翻瞄

等当5列基本特征是均匀增力戚者减少.

数

列等比数列基本特征是揄S增长，常见的是增产毒问题、存款复利问须.

模

一个简单基本特征是指数增长的同时又均匀减少,如年收入增长枣为20%,每年年底要拿澧。（常数）

型

递推数列作为下年度的开销，即数列｛4｝满足。“+1=L2a“一a.

注：表中〃，片均为正整改

空间几何体与三视图

空间点、直线、平面位置关系

a.

(z

=>1

&J3

,B

Aea

eI,

,B

Ael