第05章时间序列模型

1第五章时间序列模型

关于标准回归技术及其预测和检验我们已经在前面的章节讨论过了，本章着重于时间序列模型的估计和定义，这些分析均是基于单方程回归方法，第9章我们还会讨论时间序列的向量自回归模型。这一部分属于动态计量经济学的范畴。通常是运用时间序列的过去值、当期值及滞后扰动项的加权和建立模型，来“解释”时间序列的变化规律。

第一页，共八十六页。2

在时间序列模型的发展过程中，一个重要的特征是对统计均衡关系做某种形式的假设，其中一种非常特殊的假设就是平稳性的假设。通常一个平稳时间序列能够有效地用其均值、方差和自相关函数加以描述。本章首先通过讨论回归方程扰动项通常会存在的序列相关性问题，介绍如何应用时间序列数据的建模方法，修正扰动项序列的自相关性。进一步讨论时间序列的自回归移动平均模型（ARMA模型），并且讨论它们的具体形式、估计及识别方法。第二页，共八十六页。3

由于传统的时间序列模型只能描述平稳时间序列的变化规律，而大多数经济时间序列都是非平稳的，因此，由20世纪80年代初Granger提出的协整概念，引发了非平稳时间序列建模从理论到实践的飞速发展。本章还介绍了非平稳时间序列的单位根检验方法、ARIMA模型的建模方法、协整理论的基本思想及误差修正模型。第三页，共八十六页。4§5.1.1

序列相关及其产生的后果

对于线性回归模型

(5.1.1)

随机扰动项之间不相关，即无序列相关的基本假设为

(5.1.2)

如果扰动项序列ut表现为：

(5.1.3)即对于不同的样本点，随机扰动项之间不再是完全相互独立的，而是存在某种相关性，则认为出现了序列相关性(serialcorrelation)。§5.1

序列相关及其检验

第四页，共八十六页。5

由于通常假设随机扰动项都服从均值为0，同方差的正态分布，则序列相关性也可以表示为：

(5.1.4)特别的，如果仅存在

(5.1.5)称为一阶序列相关，这是一种最为常见的序列相关问题。

第五页，共八十六页。6

如果回归方程的扰动项存在序列相关，那么应用最小二乘法得到的参数估计量的方差将被高估或者低估。因此，检验参数显著性水平的t统计量将不再可信。可以将序列相关可能引起的后果归纳为：②使用OLS公式计算出的标准差不正确；

③回归得到的参数估计量的显著性水平的检验不再可信。

①在线性估计中OLS估计量不再是有效的；第六页，共八十六页。7

EViews提供了检测序列相关和估计方法的工具。但首先必须排除虚假序列相关。虚假序列相关是指模型的序列相关是由于省略了显著的解释变量而引起的。例如，在生产函数模型中，如果省略了资本这个重要的解释变量，资本对产出的影响就被归入随机误差项。由于资本在时间上的连续性，以及对产出影响的连续性，必然导致随机误差项的序列相关。所以在这种情况下，要把显著的变量引入到解释变量中。§5.1.2

序列相关的检验方法

第七页，共八十六页。8

EViews提供了以下3种检测序列相关的方法。

1．D_W统计量检验

Durbin-Watson统计量（简称D_W统计量）用于检验一阶序列相关，还可估算回归模型邻近残差的线性联系。对于扰动项ut建立一阶自回归方程：

(5.1.6)D_W统计量检验的原假设：

=0，备选假设是

0。

第八页，共八十六页。9

如果序列不相关，D.W.值在2附近。如果存在正序列相关，D.W.值将小于2。如果存在负序列相关，D.W.值将在2～4之间。正序列相关最为普遍，根据经验，对于有大于50个观测值和较少解释变量的方程，D.W.值小于1.5的情况，说明残差序列存在强的正一阶序列相关。第九页，共八十六页。10

Dubin-Waston统计量检验序列相关有三个主要不足：

1．D-W统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵X。

2．回归方程右边如果存在滞后因变量，D-W检验不再有效。

3．仅仅检验是否存在一阶序列相关。其他两种检验序列相关方法：相关图和Q-统计量、Breush-GodfreyLM检验克服了上述不足，应用于大多数场合。

第十页，共八十六页。112.相关图和Q-统计量

1.自相关系数

我们还可以应用所估计回归方程残差序列的自相关系数和偏自相关系数来检验序列相关。时间序列ut滞后k阶的自相关系数由下式估计（5.2.26）其中是序列的样本均值，这是相距k期值的相关系数。称rk为时间序列ut的自相关系数，自相关系数可以部分的刻画一个随机过程的性质。它告诉我们在序列ut的邻近数据之间存在多大程度的相关性。第十一页，共八十六页。12

2．偏自相关系数偏自相关系数是指在给定ut-1，ut-2，…，ut-k-1的条件下，ut与ut-k之间的条件相关性。其相关程度用偏自相关系数k,k度量。在k阶滞后下估计偏自相关系数的计算公式如下（5.2.27）其中：rk是在k阶滞后时的自相关系数估计值。（5.2.28）这是偏自相关系数的一致估计。第十二页，共八十六页。13

要得到k,k的更确切的估计，需要进行回归

t

=

1,2,,T

（5.2.29）因此，滞后k阶的偏自相关系数是当ut

对ut-1，…，ut-k作回归时ut-k的系数。称之为偏相关是因为它度量了k期间距的相关而不考虑k-1期的相关。

第十三页，共八十六页。14

我们还可以应用所估计回归方程残差序列的自相关和偏自相关系数，以及Ljung-BoxQ-统计量来检验序列相关。Q-统计量的表达式为：

(5.1.7)其中：rj是残差序列的

j阶自相关系数，T是观测值的个数，p是设定的滞后阶数。第十四页，共八十六页。15

p阶滞后的Q-统计量的原假设是：序列不存在p阶自相关；备选假设为：序列存在p阶自相关。如果Q-统计量在某一滞后阶数显著不为零，则说明序列存在某种程度上的序列相关。在实际的检验中，通常会计算出不同滞后阶数的Q-统计量、自相关系数和偏自相关系数。如果，各阶Q-统计量都没有超过由设定的显著性水平决定的临界值，则接受原假设，即不存在序列相关，并且此时，各阶的自相关和偏自相关系数都接近于0。第十五页，共八十六页。16

反之，如果，在某一滞后阶数p，Q-统计量超过设定的显著性水平的临界值，则拒绝原假设，说明残差序列存在p阶自相关。由于Q-统计量的P值要根据自由度p来估算，因此，一个较大的样本容量是保证Q-统计量有效的重要因素。

在EViews软件中的操作方法：

在方程工具栏选择View/ResidualTests/correlogram-Q-statistics。EViews将显示残差的自相关和偏自相关函数以及对应于高阶序列相关的Ljung-BoxQ统计量。如果残差不存在序列相关，在各阶滞后的自相关和偏自相关值都接近于零。所有的Q-统计量不显著，并且有大的P值。第十六页，共八十六页。17例5.1:利用相关图检验残差序列的相关性

考虑美国的一个投资方程。美国的GNP和国内私人总投资INV是单位为10亿美元的名义值，价格指数P为GNP的平减指数（1972=100），利息率R为半年期商业票据利息。回归方程所采用的变量都是实际GNP和实际投资；它们是通过将名义变量除以价格指数得到的，分别用小写字母gnp，inv表示。实际利息率的近似值r则是通过贴现率R减去价格指数变化率p得到的。样本区间：1963年～1984年，建立如下线性回归方程：

t

=

1,2,,T

第十七页，共八十六页。18应用最小二乘法得到的估计方程如下：

t=（-1.32）（154.25）

R2=0.80

D.W.=0.94第十八页，共八十六页。19

虚线之间的区域是自相关中正负两倍于估计标准差所夹成的。如果自相关值在这个区域内，则在显著水平为5%的情形下与零没有显著区别。本例1阶的自相关系数和偏自相关系数都超出了虚线，说明存在1阶序列相关。1阶滞后的Q-统计量的P值很小，拒绝原假设，残差序列存在一阶序列相关。

选择View/Residualtest/Correlogram-Q-statistice会产生如下结果：

第十九页，共八十六页。203.序列相关的LM检验

与D.W.统计量仅检验扰动项是否存在一阶自相关不同，Breush-GodfreyLM检验（Lagrangemultiplier，即拉格朗日乘数检验）也可应用于检验回归方程的残差序列是否存在高阶自相关，而且在方程中存在滞后因变量的情况下，LM检验仍然有效。

LM检验原假设为：直到p阶滞后不存在序列相关，p为预先定义好的整数；备选假设是：存在p阶自相关。检验统计量由如下辅助回归计算。第二十页，共八十六页。21

（1）估计回归方程，并求出残差et(5.1.8)

（2）检验统计量可以基于如下回归得到

(5.1.9)

这是对原始回归因子Xt和直到p阶的滞后残差的回归。LM检验通常给出两个统计量：F统计量和T×R2统计量。F统计量是对式（5.1.9）所有滞后残差联合显著性的一种检验。T×R2统计量是LM检验统计量，是观测值个数T乘以回归方程（5.1.9）的R2。一般情况下，T×R2统计量服从渐进的2(p)

分布。第二十一页，共八十六页。22

在给定的显著性水平下，如果这两个统计量小于设定显著性水平下的临界值，说明序列在设定的显著性水平下不存在序列相关；反之，如果这两个统计量大于设定显著性水平下的临界值，则说明序列存在序列相关性。

在EView软件中的操作方法：

选择View/ResidualTests/SerialcorrelationLMTest，一般地对高阶的，含有ARMA误差项的情况执行Breush-GodfreyLM。在滞后定义对话框，输入要检验序列的最高阶数。第二十二页，共八十六页。23

LM统计量显示，在5%的显著性水平拒绝原假设，回归方程的残差序列存在序列相关性。因此，回归方程的估计结果不再有效，必须采取相应的方式修正残差的自相关性。

例5.1(续)

序列相关LM检验第二十三页，共八十六页。24

例5.2:含滞后因变量的回归方程扰动项序列相关的检验

考虑美国消费CS

和GDP及前期消费之间的关系，数据期间：1947年第1季度～1995年第1季度，数据中已消除了季节要素，建立如下线性回归方程：

t

=

1,2,,T

应用最小二乘法得到的估计方程如下：

t=(1.93)(3.23)(41.24)R2=0.999

D.W.=1.605

第二十四页，共八十六页。25

如果单纯从显著性水平、拟合优度及D.W.值来看，这个模型是一个很理想的模型。但是，由于方程的解释变量存在被解释变量的一阶滞后项，那么

D.W.值就不能作为判断回归方程的残差是否存在序列相关的标准，如果残差序列存在序列相关，那么，显著性水平、拟合优度和F统计量将不再可信。所以，必须采取本节中介绍的其他检验序列相关的方法检验残差序列的自相关性。这里采用LM统计量进行检验(p=2)，得到结果如下：

LM统计量显示，回归方程的残差序列存在明显的序列相关性。第二十五页，共八十六页。26

下面给出残差序列的自相关系数和偏自相关系数，相关图如下：

本例1～3阶的自相关系数都超出了虚线，说明存在3阶序列相关。各阶滞后的Q-统计量的P值都小于1%，说明在1%的显著性水平下，拒绝原假设，残差序列存在序列相关。第二十六页，共八十六页。27§5.1.3扰动项存在序列相关的线性回归方程的修正与估计

线性回归模型扰动项序列相关的存在，会导致模型估计结果的失真。因此，必须对扰动项序列的结构给予正确的描述，以期消除序列相关对模型估计结果带来的不利影响。通常可以用AR(p)模型来描述一个平稳序列的自相关的结构，定义如下：

(5.1.10)(5.1.11)第二十七页，共八十六页。28

其中：ut是无条件扰动项，它是回归方程（5.1.10）的扰动项，参数0，1，

2，，k是回归模型的系数。式（5.1.11）是扰动项ut的

p阶自回归模型，参数1，2，，p是p阶自回归模型的系数，t是无条件扰动项ut自回归模型的误差项，并且是均值为0，方差为常数的白噪声序列，它是因变量真实值和以解释变量及以前预测误差为基础的预测值之差。下面将讨论如何利用AR(p)模型修正扰动项的序列相关，以及用什么方法来估计消除扰动项后方程的未知参数。第二十八页，共八十六页。29

1．修正一阶序列相关

最简单且最常用的序列相关模型是一阶自回归AR(1)模型。为了便于理解，先讨论一元线性回归模型，并且具有一阶序列相关的情形，即p=1的情形：

(5.1.12)(5.1.13)把式（5.1.13）带入式（5.1.12）中得到

(5.1.14)第二十九页，共八十六页。30然而，由式（5.1.12）可得

(5.1.15)再把式（5.1.15）代入式（5.1.14）中，并整理

(5.1.16)令，代入式（5.1.16）中有

(5.1.17)

如果已知

的具体值，可以直接使用OLS方法进行估计。如果

的值未知，通常可以采用Gauss—Newton迭代法求解，同时得到

，

0，

1的估计量。

第三十页，共八十六页。31

2．修正高阶序列相关

通常如果残差序列存在p阶序列相关，误差形式可以由AR(p)过程给出。对于高阶自回归过程，可以采取与一阶序列相关类似的方法，把滞后误差逐项代入，最终得到一个误差项为白噪声序列，参数为非线性的回归方程，并且采用Gauss-Newton迭代法求得非线性回归方程的参数。

例如，仍讨论一元线性回归模型，并且扰动项序列具有3阶序列相关的情形，即p=3的情形：第三十一页，共八十六页。32(5.1.18)(5.1.19)

按照上面处理AR(1)的方法，把扰动项的滞后项代入原方程中去，得到如下表达式：

(5.1.20)

通过一系列的化简后，仍然可以得到参数为非线性，误差项t为白噪声序列的回归方程。运用非线性最小二乘法，可以估计出回归方程的未知参数

0,

1,

1,

2,

3。第三十二页，共八十六页。33

我们可以将上述讨论引申到更一般的情形：对于非线性形式为f(xt,)的非线性模型，xt={1,x1t,x2t,…,xkt}，={0

,1

,…,k}，若扰动项序列存在p阶序列相关，(5.1.21)(5.1.22)

也可用类似方法转换成误差项t为白噪声序列的非线性回归方程，以p=1为例，(5.1.23)使用Gauss-Newton算法来估计参数。第三十三页，共八十六页。34

3.

在Eviews中的操作：打开一个方程估计窗口，输入方程变量，最后输入ar(1)ar(2)ar(3)。针对例5.2定义方程为：第三十四页，共八十六页。35

需要注意的是，输入的ar(1)ar(2)ar(3)分别代表3个滞后项的系数，因此，如果我们认为扰动项仅仅在滞后2阶和滞后4阶存在自相关，其他滞后项不存在自相关，即则估计时应输入：cscgdpcs(-1)ar(2)ar(4)EViews在消除序列相关时给予很大灵活性，可以输入模型中想包括的各个自回归项。例如，如果有季度数据而且想用一个单项来消除季节自回归，可以输入：cscgdpcs(-1)ar(4)。第三十五页，共八十六页。36

例5.3用AR(p)模型修正回归方程残差序列的自相关（1）例5.1中检验到美国投资方程的残差序列存在一阶序列相关。这里将采用AR(1)模型来修正投资方程的自相关性：

t

=

1,2,,T

回归估计的结果如下：

t=(1.79)（55.36）

t=(4.45)

R2=0.86D.W.=1.47

第三十六页，共八十六页。37

再对新的残差序列进行LM检验(p=2)，最终得到的检验结果如下：检验结果不能拒绝原假设，即修正后的回归方程的残差序列不存在序列相关性。因此，用AR(1)模型修正后的回归方程的估计结果是有效的。第三十七页，共八十六页。38例5.4用AR(p)模型修正回归方程残差序列的自相关

例5.2中检验到带有滞后因变量的回归方程的残差序列存在明显的序列自相关。而且从相关图看到，可以采用AR(3)模型来修正回归方程的自相关性。

回归估计的结果如下：

第三十八页，共八十六页。39

模型建立如下：

t=(-3.9)(7.29)（13.54）

t=(4.85)(3.07)（3.03）

R2=0.999D.W=1.94

第三十九页，共八十六页。40

再对新的残差序列进行LM检验，最终得到的检验结果如下：

给出纠正后的残差序列的Q-统计量和序列相关图，在直观上认识到消除序列相关后的残差序列是一个随机扰动序列。

第四十页，共八十六页。41含有AR项模型的估计输出

当估计某个含有AR项的模型时，在解释结果时一定要小心。在用通常的方法解释估计系数、系数标准误差和t-统计量时，涉及残差的结果会不同于OLS的估计结果。要理解这些差别，记住一个含有AR项的模型有两种残差：第一种是无条件残差

通过原始变量以及估计参数算出。在用同期信息对yt值进行预测时，这些残差是可以观测出的误差，但要忽略滞后残差中包含的信息。

第四十一页，共八十六页。42

第二种残差是估计的一期向前预测误差。如名所示，这种残差代表预测误差。对于含有AR项的模型，基于残差的回归统计量，如R2(回归标准误差)和D-W值都是以一期向前预测误差为基础的。含有AR项的模型独有的统计量是估计的AR系数。第四十二页，共八十六页。43

对于简单AR(1)模型，是无条件残差ût的序列相关系数。对于平稳AR(1)模型，1在-1（极端负序列相关）和+1（极端正序列相关）之间。一般AR(p)平稳条件是：滞后算子的特征多项式的根全部落在单位圆之外，即根的倒数在单位圆内。

EViews在回归输出的底部给出这些根：InvertedARRoots。如果存在虚根，根的模应该小于1。第四十三页，共八十六页。44

另外：EViews可以估计带有AR误差项的非线性回归模型。

例如：将例5.4中的模型变为如下的非线性模型，估计如下带有附加修正项AR(3)的非线性方程：

用公式法输入：

cs=c(1)+gdp^c(2)+c(3)*cs(-1)+[ar(1)=c(4),ar(2)=c(5),ar(3)=c(6)]第四十四页，共八十六页。45

输出结果显示为：第四十五页，共八十六页。46

3.单整

像前述yt这种非平稳序列，可以通过差分运算，得到平稳性的序列称为单整(integration)序列。定义如下：

定义：如果序列yt，通过d次差分成为一个平稳序列，而这个序列差分d–1次时却不平稳，那么称序列yt为d阶单整序列，记为yt

～I(d)。特别地，如果序列yt本身是平稳的，则为零阶单整序列，记为yt

～I(0)。第四十六页，共八十六页。47

单整阶数是使序列平稳而差分的次数。对于上面的随机游走过程，有一个单位根，所以是I(1)，同样，平稳序列是I(0)。一般而言，表示存量的数据，如以不变价格资产总值、储蓄余额等存量数据经常表现为2阶单整I(2)；以不变价格表示的消费额、收入等流量数据经常表现为1阶单整I(1)；而像利率、收益率等变化率的数据则经常表现为0阶单整I(0)。第四十七页，共八十六页。48

§5.3.2

非平稳序列的单位根检验

检查序列平稳性的标准方法是单位根检验。有6种单位根检验方法：ADF检验、DFGLS检验、PP检验、KPSS检验、ERS检验和NP检验，本节将介绍DF检验、ADF检验。

ADF检验和PP检验方法出现的比较早，在实际应用中较为常见，但是，由于这2种方法均需要对被检验序列作可能包含常数项和趋势变量项的假设，因此，应用起来带有一定的不便；其它几种方法克服了前2种方法带来的不便，在剔除原序列趋势的基础上，构造统计量检验序列是否存在单位根，应用起来较为方便。

第四十八页，共八十六页。49

其中a是常数，

t是线性趋势函数，ut

～i.i.d.N(0,

2)。(5.3.5)(5.3.6)(5.3.7)

1.DF检验

为说明DF检验的使用，先考虑3种形式的回归模型

第四十九页，共八十六页。50

(1)如果-1<

<1，则yt平稳（或趋势平稳）。

(2)如果=1，yt

序列是非平稳序列。(5.3.4)式可写成：显然yt

的差分序列是平稳的。

(3)如果

的绝对值大于1，序列发散，且其差分序列是非平稳的。第五十页，共八十六页。51

因此，判断一个序列是否平稳，可以通过检验

是否严格小于1来实现。也就是说：

原假设H0：

=1，备选假设H1：

<1(5.3.8)(5.3.9)(5.3.10)

从方程两边同时减去yt-1得，其中：

=

-1。第五十一页，共八十六页。52

其中：

=

-1，所以原假设和备选假设可以改写为

可以通过最小二乘法得到的估计值，并对其进行显著性检验的方法，构造检验显著性的t统计量。但是，Dickey-Fuller研究了这个t统计量在原假设下已经不再服从t分布，它依赖于回归的形式(是否引进了常数项和趋势项)和样本长度T

。第五十二页，共八十六页。53Mackinnon进行了大规模的模拟，给出了不同回归模型、不同样本数以及不同显著性水平下的临界值。这样，就可以根据需要，选择适当的显著性水平，通过t统计量来决定能否拒绝原假设。这一检验被称为Dickey-Fuller检验(DF检验)。

上面描述的单位根检验只有当序列为AR(1)时才有效。如果序列存在高阶滞后相关，这就违背了扰动项是独立同分布的假设。在这种情况下，可以使用增广的DF检验方法（augmentedDickey-Fullertest）来检验含有高阶序列相关的序列的单位根。

第五十三页，共八十六页。54

2.ADF检验

考虑yt存在p阶序列相关，用p阶自回归过程来修正，在上式两端减去yt-1，通过添项和减项的方法，可得其中

第五十四页，共八十六页。55ADF检验方法通过在回归方程右边加入因变量yt

的滞后差分项来控制高阶序列相关

(5.3.11)(5.3.12)(5.3.13)第五十五页，共八十六页。56

扩展定义将检验

(5.3.14)

原假设为：至少存在一个单位根；备选假设为：序列不存在单位根。序列yt可能还包含常数项和时间趋势项。判断的估计值是接受原假设或者接受备选假设，进而判断一个高阶自相关序列AR(p)过程是否存在单位根。类似于DF检验，Mackinnon通过模拟也得出在不同回归模型及不同样本容量下检验不同显著性水平的t统计量的临界值。这使我们能够很方便的在设定的显著性水平下判断高阶自相关序列是否存在单位根。第五十六页，共八十六页。57

但是，在进行ADF检验时，必须注意以下两个实际问题：

（1）必须为回归定义合理的滞后阶数，通常采用AIC准则来确定给定时间序列模型的滞后阶数。在实际应用中，还需要兼顾其他的因素，如系统的稳定性、模型的拟合优度等。

（2）可以选择常数和线性时间趋势，选择哪种形式很重要，因为检验显著性水平的t统计量在原假设下的渐近分布依赖于关于这些项的定义。第五十七页，共八十六页。58

EViews软件中单位根检验操作说明：

双击序列名，打开序列窗口，选择View/unitRootTest，得到下图：

单位根检验窗口第五十八页，共八十六页。59

进行单位根检验必须定义4项：

1．选择检验类型

在Testtype的下拉列表中，选择检验方法。EViews5提供了6种单位根检验的方法：①AugmentedDickey-Fuller(ADF)Test②Dickey-FullerGLSTest③Phillips-Perron(PP)Test④Kwiatkowski,Phillips,SchmidtandShin(KPSS)Test⑤Elliot,Rothenberg,andStockPointOptimal(ERS)Test⑥NgandPerron(NP)Test第五十九页，共八十六页。60

2．选择差分形式在Testforunitrootin中确定序列在水平值、一阶差分、二阶差分下进行单位根检验。可以使用这个选项决定序列中单位根的个数。如果检验水平值未拒绝，而在一阶差分拒绝原假设，序列中含有一个单位根，是一阶单整I(1)；如果一阶差分后的序列仍然未拒绝原假设，则需要选择2阶差分。一般而言，一个序列经过两次差分以后都可以变为一个平稳序列，也就是二阶单整I(2)。第六十页，共八十六页。61

3．定义检验方程中需要包含的选项

在Includeintestequation中定义在检验回归中是否含有常数项、常数和趋势项、或二者都不包含。这一选择很重要，因为检验统计量在原假设下的分布随这3种情况不同而变化。在什么情况下包含常数项或者趋势项，刚才已经作了介绍。第六十一页，共八十六页。62

4．定义序列相关阶数

在Laglenth这个选项中可以选择一些确定消除序列相关所需的滞后阶数的准则。一般而言，EViews默认SIC准则。定义上述选项后，单击OK进行检验。EViews显示检验统计量和估计检验回归。单位根检验后，应检查EViews显示的估计检验回归，尤其是如果对滞后算子结构或序列自相关阶数不确定，可以选择不同的右边变量或滞后阶数来重新检验。第六十二页，共八十六页。63

例5.7

检验居民消费价格指数序列的平稳性

图5.9中国1983年1月～2007年8月的CPI（上年=100）序列第六十三页，共八十六页。64

例5.7用AR(1)模型模拟1983年1月～2007年8月居民消费价格指数一阶差分CPI的变化规律。在用ADF进行单位根检验前，需要设定序列的是否含有常数项或者时间趋势项。我们可以通过画出原序列的图形来判断是否要加入常数项或者时间趋势项。从图5.7的CPI图形可以看出不含有线性趋势项。CPI序列的ADF检验结果(选择既无常数项也无趋势项)如下：第六十四页，共八十六页。65

1983年1月～2007年8月的CPI序列单位根ADF检验结果。可以看出不能拒绝原假设，存在单位根。第六十五页，共八十六页。66

1983年1月～2007年8月的CPI序列单位根DF-GLS检验结果。采用含有常数和趋势项的形式。不能拒绝原假设，CPI序列存在单位根。第六十六页，共八十六页。67

检验结果显示，CPI序列接受原假设，因此，CPI序列是一个非平稳的序列。接着再对一阶差分CPI序列进行单位根检验，ADF检验结果如下：

检验结果显示，一阶差分CPI序列拒绝原假设，接受CPI序列是平稳序列的结论。因此，CPI序列是1阶单整序列，即CPI～I(1)。第六十七页，共八十六页。68

例5.9检验中国GDP序列的平稳性

在图5.9中，我们可以观察到1978年～2006年我国GDP（现价，生产法）具有明显的上升趋势。在ADF检验时选择含有常数项和时间趋势项，由SIC准则确定滞后阶数（p=4）。GDP序列的ADF检验如下

：检验结果显示，GDP序列以较大的P值，即100%的概率接受原假设，即存在单位根的结论。第六十八页，共八十六页。69

将GDP序列做1阶差分，然后对ΔGDP进行ADF检验（选择含有常数项和时间趋势项，由SIC准则确定滞后阶数（p=6））如下

：检验结果显示，ΔGDP序列仍接受存在单位根的结论。其他检验方法的结果也接受原假设，ΔGDP序列存在单位根，是非平稳的。

第六十九页，共八十六页。70

再对ΔGDP序列做差分，则Δ2GDP的ADF检验（选择不含常数项和趋势项,由SIC准则确定滞后阶数（p=6））如下：检验结果显示，二阶差分序列Δ2GDP在1%的显著性水平下拒绝原假设，接受不存在单位根的结论，因此可以确定GDP序列是2阶单整序列，即GDP～I(2)。

第七十页，共八十六页。71§5.4协整和误差修正模型

在前面介绍的ARMA模型中要求经济时间序列是平稳的，但是由于实际应用中大多数时间序列是非平稳的，通常采用差分方法消除序列中含有的非平稳趋势，使得序列平稳化后建立模型，这就是上节介绍的ARIMA模型。但是变换后的序列限制了所讨论经济问题的范围，并且有时变换后的序列由于不具有直接的经济意义，使得化为平稳序列后所建立的时间序列模型不便于解释。第七十一页，共八十六页。72

1987年Engle和Granger提出的协整理论及其方法，为非平稳序列的建模提供了另一种途径。虽然一些经济变量的本身是非平稳序列，但是，它们的线性组合却有可能是平稳序列。这种平稳的线性组合被称为协整方程，且可解释为变量之间的长期稳定的均衡关系。

例如，消费和收入都是非平稳时间序列，但是具有协整关系。假如它们不具有，那么长期消费就可能比收入高或低，于是消费者便会非理性地消费或累积储蓄。第七十二页，共八十六页。73

5.4.1协整关系

假定一些经济指标被某经济系统联系在一起，那么从长远看来这些变量应该具有均衡关系，这是建立和检验模型的基本出发点。在短期内，因为季节影响或随机干扰，这些变量有可能偏离均值。如果这种偏离是暂时的，那么随着时间推移将会回到均衡状态；如果这种偏离是持久的，就不能说这些变量之间存在均衡关系。协整(co-integration)可被看作这种均衡关系性质的统计表示。协整概念是一个强有力的概念。因为协整允许我们刻画两个或多个序列之间的平衡或平稳关系。对于每一个序列单独来说可能是非平稳的，这些序列的矩，如均值、方差或协方差随时间而变化，而这些时间序列的线性组合序列却可能有不随时间变化的性质。第七十三页，共八十六页。74

下面给出协整的定义：

k维向量Y

=(y1，y2，…，yk)的分量间被称为d,b阶协整，记为Y

～CI(d，b)，如果满足：

(1)y1，y2，…，yk都是d阶单整的，即yi～I(d)，i=1,2,…,k，要求Y

的每个分量yi

～I(d)；

(2)存在非零向量=(1,2,

…,

k

)，使得Y～I(d-b)，0<b≤d。简称Y

是协整的，向量

又称为协整向量。

第七十四页，共八十六页。75

需要注意的是：

(1)作为对非平稳变量之间关系的描述，协整向量是不惟一的；

(2)协整变量必须具有相同的单整阶数；

(3)最多可能存在k-1个线性无关的协整向量(Y的维数是k)；

(4)协整变量之间具有共同的趋势成分，在数量上成比例。第七十五页，共八十六页。76

5.4.2

协整检验

协整检验从检验的对象上可以分为两种：一种是基于回归系数的协整检验，如Johansen协整检验；另一种是基于回归残差的协整检验，如CRDW检验、DF检验和ADF检验。

本节将主要介绍Engle和Granger（1987）提出的协整检验方