重庆市主城区七校联考2023年数学高二下期末预测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．甲、乙两名运动员，在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（）A． B．C． D．2．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数（）A． B． C．0 D．13．已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（）A． B． C． D．4．在一个袋子中装有个除颜色外其他均相同的小球，其中有红球个、白球个、黄球个，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸次，则记下的颜色中有红有黄但没有白的概率为（）A． B． C． D．5．定义在上的函数的导函数在的图象如图所示，则函数在的极大值点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．z是z的共轭复数，若z+z=2,(z-zA．1+i B．-1-i C．-1+i D．1-i7．已知实数成等比数列，则椭圆的离心率为A． B．2 C．或2 D．或8．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为()A．0.12 B．0.42 C．0.46 D．0.889．已知抛物线y2=2x的焦点为F，点P在抛物线上，且|PF|=2，过点P作抛物线准线的垂线交准线于点Q，则|FQ|=（）A．1 B．2 C． D．10．4名同学报名参加两个课外活动小组，每名同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有()A．4种 B．16种 C．64种 D．256种11．已知角的终边经过点，则的值等于（）A． B． C． D．12．下列选项叙述错误的是（）A．命题“若，则”的逆否命题是“若，则”B．若命题，则C．若为真命题，则，均为真命题D．若命题为真命题，则的取值范围为二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若实数满足，则的最小值为__________．14．已知为自然对数的底数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数______.15．在的展开式中，的系数为_____.16．数列{an}满足，若{an}单调递增，则首项a1的范围是_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数，．(1)解不等式；(2)设函数，且在上恒成立，求实数的取值范围.18．（12分）如图，在中，角所对的边分别为，若.(1)求角的大小；(2)若点在边上，且是的平分线，，求的长.19．（12分）已知函数.（1）求；（2）证明：在区间上是增函数.20．（12分）在长方体中，底面是边长为2的正方形，是的中点，是的中点.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的正弦值.21．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求．（2）若，求面积的最大值．22．（10分）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.（1）求的取值范围；（2）试比较与的大小，并说明理由；（3）设的两个极值点为，证明.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

根据茎叶图看出两组数据，先求出两组数据的平均数，再求出两组数据的方差，比较两组数据的方差的大小就可以得到两组数据的标准差的大小．【详解】由茎叶图可看出甲的平均数是，乙的平均数是，两组数据的平均数相等．甲的方差是乙的方差是甲的标准差小于乙的标准差，故选B．【点睛】本题考查两组数据的平均数和方差的意义，是一个基础题，解题时注意平均数是反映数据的平均水平，而标准差反映波动的大小，波动越小数据越稳定．2、A【解析】因为是纯虚数，3、A【解析】

设，，，，代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得，，利用斜率计算公式可得．于是得到，化为，再利用，即可解得，．进而得到椭圆的方程．【详解】解：设，，，，代入椭圆方程得，相减得，．，，．，化为，又，解得，．椭圆的方程为．故选：．【点睛】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．4、C【解析】分析：由已知得取出的3球中有2红1黄或2黄1红，2红1黄的情况有3种，2黄1红的情况也有3种，由此能求出记下的颜色中有红有黄但没有白的概率.详解：从袋中随机摸出一个球，摸到红球、白球、黄球的概率分别为，由已知得取出的3球中有2红1黄或2黄1红，2红1黄的情况有3种，2黄1红的情况也有3种，下的颜色中有红有黄但没有白的概率为.故选：C.点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率计算公式的合理运用.5、B【解析】

由导数与极大值之间的关系求解．【详解】函数在极大值点左增右减，即导数在极大值点左正右负，观察导函数图象，在上有两个有两个零点满足．故选：B.【点睛】本题考查导数与极值的关系．属于基础题．6、D【解析】试题分析：设z=a+bi,z=a-bi，依题意有2a=2,-2b=2，故考点：复数概念及运算．【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.7、A【解析】

由1，m，9构成一个等比数列，得到m=±1．当m=1时，圆锥曲线是椭圆；当m=﹣1时，圆锥曲线是双曲线，(舍）由此即可求出离心率．【详解】∵1，m，9构成一个等比数列，∴m2=1×9，则m=±1．当m=1时，圆锥曲线+y2=1是椭圆，它的离心率是=；当m=﹣1时，圆锥曲线+y2=1是双曲线，故舍去，则离心率为．故选A．【点睛】本题考查圆锥曲线的离心率的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理运用，注意分类讨论思想的灵活运用．8、D【解析】由题意知，甲、乙都不被录取的概率为(1－0.6)(1－0.7)＝0.12.∴至少有一人被录取的概率为1－0.12＝0.88.故选D.考点：相互独立事件的概率.9、B【解析】

不妨设点P在x轴的上方，设P（x1，y1），根据抛物线的性质可得x1=，即可求出点P的坐标，则可求出点Q的坐标，根据两点间的距离公式可求出．【详解】不妨设点P在x轴的上方，设P（x1，y1），∵|PF|=2，∴x1+=2，∴x1=∴y1=，∴Q（-，），∵F（，0），∴|FQ|==2，故选B．【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，抛物线的性质，两点间的距离公式，属于基础题．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用,尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化.10、B【解析】根据题意，每个同学可以在两个课外活动小组中任选1个，即有2种选法，则4名同学一共有种选法；故选B.11、A【解析】

由三角函数的定义可求出的值.【详解】由三角函数的定义可得，故选A.【点睛】本题考查三角函数的定义，解题的关键在于三角函数的定义进行计算，考查计算能力，属于基础题.12、C【解析】分析：根据四种命题的关系进行判断A、B，根据或命题的真值表进行判断C，由全称命题为真的条件求D中参数的值．详解：命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，A正确；若命题，则，B正确；若为真命题，则，只要有一个为真，C错误；若命题为真命题，则，，D正确．故选C．点睛：判断命题真假只能对每一个命题进行判断，直到选出需要的结论为止．命题考查四种命题的关系，考查含逻辑连接词的命题的真假以及全称命题为真时求参数的取值范围，掌握相应的概念是解题基础．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】实数满足，可得，分别令，转化为两个函数与的点之间的距离的最小值，，设与直线平行且与曲线相切的切点为，则，解得，可得切点，切点到直线的距离.的最小值为，故答案为.【方法点睛】本题主要考查及数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题巧妙地将最值问题转化为两点间的距离，再根据几何性质转化为点到直线的距离公式求解.14、【解析】

由，求导，再根据点处的切线与直线平行，有求解.【详解】因为，所以，因为点处的切线与直线平行，所以，解得.故答案为：【点睛】本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15、【解析】

本题考查二项式定理.二项展开式的第项为.则的第项为，令，可得的系数为16、（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【解析】

先表示出，结合{an}单调递增可求首项a1的范围.【详解】因为，所以，解得或，则有或由于，所以或解得或，故答案为：.【点睛】本题主要考查数列的单调性，数列的单调性一般通过相邻两项差的符号来确定，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】试题分析：本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明以及解法等内容.(1)利用数轴分段法求解；（2）借助数形结合思想，画出两个函数的图像，通过图像的上下位置的比较，探求在上恒成立时实数的取值范围.试题解析：(1)由条件知，由，解得.(5分)(2)由得，由函数的图像可知的取值范围是.(10分)考点：（1）绝对值不等式；（2）不等式证明以及解法；（3）函数的图像.18、(1)；(2).【解析】试题分析：（1）利用正弦定理将边化角，根据三角恒等变换即可得出，从而得出的大小；（2）利用余弦定理求出，根据是的平分线，可得，故而可求得结果.试题解析：(1)在中，∵,∴由正弦定理得，∵，∴，∵，∴.(2)在中，由余弦定理得，即,解得,或（负值，舍去）∵是的平分线，，∴,∴.19、（1）；（2）证明见解析【解析】

（1）根据复合函数的求导法则，对直接求导即可；（2）根据，，，可以判断，从而证明在上单调递增．【详解】（1），；（2）证明：由（1）知，，当且仅当时取等号，，，当且仅当时，当时，，在区间上是增函数．【点睛】本题考查复合函数的求导法则和基本不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．20、（1）见解析（2）【解析】

（1）由于长方体中，因此只要证，这由中位线定理可得，从而可得线面平行；（2）以为轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面和平面的法向量，由法向量的夹角与二面角相等或互补可得．【详解】（1）证明：连接，∵分别为的中点，∴∵长方体中，，，∴四边形是平行四边形，∴，∴∵平面，平面，∴平面（2）解：在长方体中，分别以为轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，∴，，，设平面的一个法向量，则，取，则同样可求出平面的一个法向量∴∴二面角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查用空间向量法求二面角．本题属于基础题型．21、（1）；（2）．【解析】

（1）根据正弦定理得到，再由余弦定理得到，根据特殊角的三角函数值得到结果；（2）根据余弦定理可知：，根据重要不等式和a=4得到，即，再由面积，最终得到结果.【详解】（1）根据正弦定理可知：，整理得，由余弦定理的推论得，，．（2）根据余弦定理可知：，且，，即.面积，当且仅当时等号成立．故面积的最大值为．【点睛】1．解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题;2．注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等;3．正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.22、(1)；（2）；理由见解析；（3）证明见解析【解析】

（1）根据函数在定义域内有两个不同极值点可知方程有两个不等正根，将问题转化为与在上有两个不同交点；利用过一点曲线的切线的求解方法可求出过原点与相切的直线的斜率，从而可得，解不等式求得结果；（2）令，求导后可知在上单调递减，从而可得，化简可得；（3）易知是方程的两根，令，可整理得到，从而将所证不等式化为，采用换元的方式可知只需证，恒成立；构造函数，，利用导数可知在上单调递增，可得，进而证得结论.【详解】（1）由题意得：定义域为；在上有两个不同极值点等