高数方向导数与梯度

高数方向导数与梯度第1页，共34页，2023年，2月20日，星期四

讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题．一、方向导数的定义设函数在点的某一领域内有定义，自点引射线.设轴正向到射线的转角为，并设为上的另一点且（如图）第2页，共34页，2023年，2月20日，星期四是否存在？考虑当沿着趋于时，第3页，共34页，2023年，2月20日，星期四函数的增量f(x+⊿x，y+⊿y)－f(x，y)与P、P′两点间的距离即设函数z=f(x，y)在点P(x，y)的某一邻域U(P)内有定义，自点P引射线l。设x轴正向到射线l的转角为,并设P′(x+⊿x，y+⊿y)为l上的另一点（如图）且P′∈U(P)。我们考虑xOy⊿y⊿xPP′ρl1.方向导数的定义第4页，共34页，2023年，2月20日，星期四当P′沿着l趋于P时，如果这个比的极限存在，则称这极限为函数f(x，y)在点P沿方向l的方向导数第5页，共34页，2023年，2月20日，星期四（1）从定义可知，当函数f(x，y)在点P(x，y)的偏导数fx

、fy存在时，函数f(x，y)在点P沿着x轴正向e1={１，０},y轴正向e2=｛０，１｝的方向导数存在,且其值依次为fx

，fy.２.方向导数与偏导数之间的关系第6页，共34页，2023年，2月20日，星期四函数f(x，y)在点P沿x轴负向e1′={－１，０),y轴负向e2′=｛０，－１｝的方向导数也存在,且其值依次为－fx

，－fy。第7页，共34页，2023年，2月20日，星期四例如但fx(０，０)

、fy(０，０)不存在。在点(０，０)处（2）即使沿的方向导数都存在，也不能保证存在

第8页，共34页，2023年，2月20日，星期四证明:由于函数可微，则增量可表示为两边同除以，得到3.方向导数的计算方法定理7.6.1

若在点处可微，则函数在该点沿任一方向的方向导数都存在，且第9页，共34页，2023年，2月20日，星期四故有方向导数注：若方向（看成向量）的方向角为则第10页，共34页，2023年，2月20日，星期四对于二元函数为,)的方向导数为特别:•当l与x轴同向•当l与x轴反向向角第11页，共34页，2023年，2月20日，星期四例1.求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数。解：这里方向即向量的方向与同向的单位向量为因函数可微分，且故所求方向导数为第12页，共34页，2023年，2月20日，星期四4、三元函数的方向导数定义:若函数则称为函数在点P处沿方向l

的方向导数.在点处沿方向l

(方向角为)存在下列极限:记作第13页，共34页，2023年，2月20日，星期四定理:则函数在该点沿任意方向

l

的方向导数存在,证明:由函数且有在点P可微,得故第14页，共34页，2023年，2月20日，星期四例2.

求函数

在点P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.解:向量l的方向余弦为第15页，共34页，2023年，2月20日，星期四例3.

求函数在点P(2,3)沿曲线朝x增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为它在点P的切向量为第16页，共34页，2023年，2月20日，星期四例4.

设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:

方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数第17页，共34页，2023年，2月20日，星期四二、梯度方向导数公式令向量这说明方向：f变化率最大的方向模:

f的最大变化率之值方向导数取最大值：第18页，共34页，2023年，2月20日，星期四1.梯度的定义（定义7.6.2）即同样可定义二元函数称为函数f(P)在点P处的梯度记作(gradient),在点处的梯度说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2.梯度的几何意义第19页，共34页，2023年，2月20日，星期四函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),称为函数f的等值线.则L*上点P处的法向量为同样,对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时,其上点P处的法向量为指向函数增大的方向.第20页，共34页，2023年，2月20日，星期四3.梯度的基本运算公式为了计算方便，引入符号称为Hamilton算子，即第21页，共34页，2023年，2月20日，星期四例5.设，求（１）在处增加最快的方向以及沿着这个方向的方向导数；（２）在处减少最快的方向以及沿着这个方向的方向导数；（３）在处的变化率为零的方向。解：在处沿的方向增加最快所求方向可取为（１）第22页，共34页，2023年，2月20日，星期四方向导数为在处沿的方向减少最快（２）所求方向可取为方向导数为（３）在处沿垂直于的方向变化率为零，这方向是第23页，共34页，2023年，2月20日，星期四例6.证:试证处矢径r的模,第24页，共34页，2023年，2月20日，星期四三、物理意义函数(物理量的分布)数量场(数性函数)场向量场(矢性函数)可微函数梯度场(势)如:温度场,电位场等如:力场,速度场等(向量场)注意:任意一个向量场不一定是梯度场.第25页，共34页，2023年，2月20日，星期四例7.试求数量场所产生的梯度场，其中常数为原点与点间的距离。解：同理从而第26页，共34页，2023年，2月20日，星期四例8.已知位于坐标原点的点电荷q

在任意点试证证:利用例6的结果这说明场强:处所产生的电位为垂直于等位面,且指向电位减少的方向.第27页，共34页，2023年，2月20日，星期四内容小结1.方向导数•三元函数在点沿方向l(方向角的方向导数为•二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为第28页，共34页，2023年，2月20日，星期四2.梯度•三元函数在点处的梯度为•二元函数在点处的梯度为3.关系方向导数存在偏导数存在••可微梯度在方向l上的投影.第29页，共34页，2023年，2月20日，星期四思考与练习1.设函数(1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向

的夹角

.第30页，共34页，2023年，2月20日，星期四曲线1.(1)在点解答提示:函数沿l的方向导数M(1,1,1)处切线的方向向量第31页，共34页，2023年，2月20日，星期四第32页，共34页，2023年，2月20日，星期四备用