第四次课45小时常微分方程初步

微分方程第一节微分方程的基本概念第二节一阶微分方程第三节二阶常系数线性微分方程例常微分方程偏微分方程常微分方程的阶数微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的最高次数，称为微分方程的阶数。一阶二阶一阶微分方程的一般表示形式方程的解、通解、特解、所有解能使微分方程成为恒等式的函数，称为方程的解。如果n阶微分方程的解中含有n个相互独立的任意常数，则称此解为n阶微分方程的通解。一般说来，不含有任意常数的解，称为方程的特解。通常由一定的条件出发，确定方程通解中的任意常数来得到特解。但有些特解不能由通解求出，必须利用其它方法直接由方程解出。{所有解}＝{通解}并{不能包含在通解内的所有特解}。第一节微分方程的概念一.实例例1.曲线过(0,1),且曲线上每个点处的切线斜率等于该点的横坐标,求此曲线方程.设曲线方程为y=y(x),则例2.质量为m的物体自由落下,t=0时,初始位移和初速度分别为求物体的运动规律.则设运动方程为S=S(t),两次积分分别得出:条件代入:二.概念1.微分方程:含有未知函数的导数或微分的方程.未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程.(前例)未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程.本章内容2.阶:未知函数的最高阶导数的阶数.例1是一阶微分方程,例2是二阶微分方程.n阶方程一般形式:必须出现3.解:如果将函数y=y(x)代入方程后恒等,则称其为方程的解.如果解中含有任意常数,且个数与阶数相同通解不含任意常数的解特解必须独立n阶方程通解一般形式:4.定解条件:确定通解中任意常数值的条件.定解条件的个数要和阶数相同,才能确定唯一特解;定解条件中自变量取相同值时,叫做初始条件.5.几何意义:通解积分曲线族特解积分曲线例:验证是的通解对用隐函数求导法得:故是方程的解,且含有一个任意常数.通解第二节一阶微分方程本节介绍一阶微分方程的基本类型和常见类型.一阶微分方程一般形式:我们研究其基本形式:如果可化成:(1)则(1)称为可分离变量的方程.解法:1.分离变量:2.两边积分:3.得出通解:只写一个任意常数一、可分离变量的方程例:任意常数,记为C绝对值号可省略定解条件代入:C=2故特解为:二.一阶线性方程微分方程一般形式:(2)(3)一阶线性齐次方程一阶线性非齐次方程自由项方程(3)是可分离变量方程,其通解为:方程(2)的通解常数变易法设(2)的通解:代入方程(2):则方程(2)的通解:(4)注:1.一阶线性非齐次方程的通解可用常数变易法或公式(4)

计算皆可;.2.公式(4)中不定积分只求一个原函数即可;3.非齐次方程的特解齐次方程的通解非齐次方程解的结构例:例:求方程满足初始条件的特解.将y视为自变量,可以变成关于x的线性方程:由得:故所求特解为:一.二阶线性微分方程解的结构形如:显然,y=0是(2)的解.平凡解讨论非平凡解:定理1.如果是(2)的两个解,则也是(1)的解,其中为任意常数.的二阶微分方程,由于方程中末知函数y及其各阶导数都以一次(线性)形式出现,故称为二阶线性微分方程。

若则称为二阶齐次线性微分方程。若则方程（1）称为二阶非齐次线性微分方程即：第三节二阶常系数线性微分方程例如:是(2)的解,则也是(2)的解.此时不是通解函数的线性相关和线性无关设为定义在I

上的n

个函数,如果存在n个不全为零的常数,使得注意:不一定是通解.定义：则称这些函数线性相关，否则称线性无关。例如:线性相关在任意区间I上:取线性无关要使,必须对于两个函数:如果它们之比为常数,则线性相关;否则,线性无关定理2.如果是(2)的两个线性无关的特解,则

是(2)的通解,为任意常数.例如:是它的特解,线性无关通解一般形式:定理3.如果是(3)的一个特解,是(3)对应的奇次方程(2)的通解,则是(3)的通解.定理4.如果分别是的特解,则是方程的特解.二.二阶常系数线性方程的解法一般形式:p,q为常数分析由方程特点可看出:为同一类型函数,之间相差常数因子.因此假设将代入(1)得:当满足(2)时,是(1)的一个特解.特征方程特征根根据特征根的三种不同情形,方程(1)的通解有三种情形.

二阶常系数齐次线性方程解法1.特征根为相异实根:是(1)的两个线性无关的特解,则(1)的通解为2.特征根为二重根:是(1)的一个特解,