上海教育版高中数学二下12.4《椭圆的性质》word教案

12．椭圆的质一、教内分掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握

a,b

几何意义以及

a,b

的相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次通过初步试学生经历知识产生与形成的过程仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体验合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示生渐体会椭圆方程结构和谐美和椭圆曲线的对称美养学生的审美习惯和良好的思维品质二教目设掌握椭圆的对称性，顶点，范围等几何性.能据椭圆的几何性质对椭圆方程进行讨论在基础上会画椭圆的图形会判断直线与椭圆的位置能够解决直线与椭圆相交时的弦长问题点题等.对椭圆几何性质的讨论中意数与形的结合与转化，学会分类讨论数结合等数学想和探究能力的培养养探究新事物的欲望获得成功的体验，树立学好数学的信.三教重及点重点：椭圆的几何性质及初步运用难点：直线与椭圆相交时的弦长问题和中点问题四教流设椭圆的标准方程椭圆的几何性质椭圆的对称性

椭圆的顶点

椭圆的范围运用与深化例题解析、巩固练习直线与椭圆的位置关系

12121121211五教过设一引课“曲线与方程解析几何中最重要最基本的内容其中有两类基本问题是曲线求方程二由方程画曲线前面由椭圆定义推导出椭圆的标准方程属于第一类问题节课将研究第二类问题，由椭圆方程画椭圆图形，为使列表描点更准确，避免盲目性，有必要先对椭圆的范围、对称性、顶点进行讨.二讲新（）对称问题1：观察椭圆标准方程的特，利用方程研究椭圆曲线的对称性？

代

后方程不变，说明椭圆关于

轴对称；y

代

后方程不变，说明椭圆曲线关于

轴对称；

、

y代x，

后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称；问题2：从对称性的本质上入手如何探究曲线的称性？以把换－为，如图在曲线的方程中，把x换成－方程变，相当于点（，）在曲线上，点P点于y轴的对称点（－）也在曲线上，所以曲线关于轴称其它同.相关概念：在标准方程下，坐标轴是对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中.（）顶点问题1：观察椭圆标准方程的特，利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标？在椭圆的标准方程中，令

x

，得

y

，

y

，得

顶点概念：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶.顶点坐标；

(,0),A(a,0)

，

B(0,b

.

和

A,相关概念：线段分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴

,2b

，

2222222222222222222222222222在椭圆的定义中，

2c

表示焦距，这样，椭圆方程中的

，c

就有了明显的几何意.问题2椭圆标准方程的推导程中令么？

a

能使方程简单整齐其几何意义是什

表示半焦距，b表示短半轴长，因此，联结顶和点F，以构造一个直角三角形，在直角三角形内，

2

BF

2

，即

2

.（）范围问题1：结合椭圆标准方程的特，利用方程研究椭圆曲线的范围？即确定两个变量的允许值范围．x2y2

变形为：

xxxb这就得到了椭圆在标准方程下x的范围：

a同理，我们也可以得到的围问题2：思考是否还有其他方法

y方法一把

xa

yb

看成

2

2

三函数的有界性来考虑

x,a的范围；方法二圆标准方程表示两非负数的和为1么这两个数都不大于1所以同理可以得到的范围和y由椭圆方程中x,的围得到椭圆位于直线所围成的矩形里

a

22

，三例解例知椭圆的方程为

x

2y2

.（）求它的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐;

]（）写出与椭圆

xy

有相同焦点的至少两个不同的椭圆方.解：解答见书本P48[说]这是节课重安排的基础性例题，是椭圆的几何性质的简单应.例（）以原点为中心，一个焦点为

(0,

且长轴长是短轴长的

倍的椭圆方程;

，，;，，;（）点2，长轴长是短轴长的的椭圆方.解知a

22

2

椭圆的标准方程为：

x2

y

.[（）

x

y

2

或16[说此利用椭圆标准方程中的椭圆标准方程.

c

的关系来解题，要注意焦点在轴或轴例知直线

0

与椭圆

，在范围取值时，16（）直线与椭圆有两个公共点；（）直线与椭圆有一个公共点；（）直线与椭圆无公共点y解：由y4

可得

(4x24kx200

k25)

；（1）当

k即

5或k4

时，直线

kxy0

与椭圆16

有两个公共点；（2）当

16(16k

2

55即k或4

时，直线

kxy0

与椭圆16

24

1

有一个公共点；（3）当

k

2

544

时，直线

kxy0

与椭圆16

无公共点.[说由直方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接说明两曲线的交点状况，而方

xxm2Mxxm2M解的情况由判别式来决定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系方程与椭圆方程联立，消去或得关于或的元二次方程，则1）直线与椭圆相交

0

（）直线与椭圆相切

（）线与圆相离

，所以判定直线与椭圆的位置关系，运用方程及其判别式是最基本的方.例直线

kxk)

与椭圆

5m

恒有公共点，求实数的值范围解法一：kx由y

可得

(5

2

x

2

kx0

，

mk

2

0

即2m且5.(解法二：直线恒过一定点当m时圆焦点在轴上短半轴长

使直线与椭圆恒有交点则即当

时，椭圆焦点在轴，长半轴长

可保证直线与椭圆恒有交点即

综述：

m且m5解法三：直线恒过一定点

(要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点

(0,1)

在椭圆内部

0125

即

且5[说]法一转化为的成立问题法二是根据两曲线的特征观察所至三则紧抓定点在椭圆内部这一特征：点

M(,)oo

在椭圆内部或在椭圆上则

xyoa

.例圆中心在原点长长为10一个焦点F的标(0,5)

求过此椭圆内的一点1()2

，且被点平的弦所在的直线方.

M12M12解知3,

点轴

2

a

2

2

50

方为

2x27550

.设过点的直线交椭圆于点

(xy)

、

B(x,y)2

.

M是弦的xyy212

，将

AB

两点的坐标代入椭圆方程，

x150y2250

，两式相减整理得：

y3x321，k.2y222所求的直线方程为

y

1()，02

.[说]此题因为涉及椭圆的弦中点问题，除通法外，可以优先考虑“点差法.但需注意点1斜是否存在？应验直线和椭圆是否相交？即联立直线和椭圆方程，得到关于x或的一二次方程，检验其根的判别式是否大于0？例椭圆

x

y

2

中斜率为的平弦的中点的轨.解：见书本P50[说]此题为涉及圆的弦中点问题，本题也可使用“点差法.例知椭圆

21

的左右焦点分别为F,F，若过（，-2及F的线交椭圆于A,B两点，求⊿ABF的面解法一：由题可知：直线

l

方程为

xy由y21

,可得

y

y

，y()122

2

y1

4109

,

14FFy.29

[解法二：F到线AB的距离

h

45

,

mx(x2x1mx(x2x1由y21

可得

x2x

，又

1x12

1029

,1410S29[说在用弦长公式

.1212

1

y2

（为线斜率）应结合韦达定理解决问题例8已直线

y

交椭圆

ab2

于

P,

两点，

102

，

，求椭圆方程解：为简便运算，设椭圆为

22

，

(0,n)x

，，理得：(m

2

0

（）x2

，xm

，设

(,y)

、

Q(x,y)

，OQ，xy，xxx，21212

.方程（）形为：

2x

nx0.xx21

n2

.

]

10，有2

2

n0

2，得：，3mm2

椭圆的方程为

x3y22或.22[说]应意,Q点设而不求，善于使用韦达定.四巩练练习12.4（）练（）五课小1．椭圆的几何性质

bb标准方程

22ab

（＞＞）

ab2

（＞＞0yyM

F

2

M图形

F

1

O

F

2

x

O

x范围对称性

－≤≤a，－≤≤b关于轴、轴原点对称

F1－≤≤，a≤≤性

顶点（0（a质

焦点两轴焦距

F－，0（，）长轴长2，轴长2b|＝2c，b

F，－c（，）2．直线与椭圆位置关系如何判3．弦长问题和弦中点问题4．有关弦中点问题差法”应用六课作练习册相习题补充作业：1．椭圆

ax

2

2

直线

交于、两点过原点与线段AB中点的直线的斜率为

32

a，求值2.椭

x焦点为F、F，过作直线交椭圆于、两，若的积为20，452求直线方程.3.已椭圆圆的方程

xy上点P，F、F为椭圆的焦点，且PPF，求椭ab4中心在原点焦点坐标为(±5)的椭圆被直线3x-y-2=0截的弦的中点的横坐标

为

12

，求椭圆方程.5.已椭圆

2

（）过椭圆的左焦点引椭圆的割线，求截得的弦的中点P的迹方程；（）求斜率为2的行弦中Q的迹方.6．

为直线

xy

上的点，过

且以椭圆

123

的焦点为焦点作椭圆，问

在何处时所作椭圆的长轴最短？并求出相应椭圆的方.7已椭圆C：

x22(m2

，经过其右焦点F且

a

为方向向量的直线

l交椭圆于A、B两，M为段AB的点，设O为椭圆的中心，射线OM交圆C于N点（）明：

OAOB（）求的．

8．已知A（－，（，、点满足

12

(

（）点D的轨迹方程过点作线交A、为点的椭圆于M、N点，线段的中到y轴的离为

45

，且直线l与点D的迹相切，求该椭圆的方程.9.设A，分别直线

y

25x和y55

x

上的两个动点，并且

AB20

，动点P满足

OPOAOB

．记动点P的迹为C．（）求迹C的方）点D的标为（，16、N是曲线C上的两个动点，且

DM

，求实数

的取值范围．

O10.如图所示，已知A、、是长长为的圆上的三点，点是长轴的

一个端点，过椭圆中心O且

，BC

．（）立适当的坐标系，求椭圆方程；（）果椭圆上有两点、Q，使∠平分线垂直于，证明：存在实数λ，使PQ

．六教设说1、对教材的研究认识：利用已知条件求曲线的方程，利用方程研究曲线的性质和画图是解析几何的两大任务，

利用方程研究椭圆的几何性质可以说是第一次的教学过程往往是利用多媒体课件展示椭圆曲线让生观察猜椭的几何性质，然后再利用椭圆的标准方程进行证明现从感性到理性符学生的认知律等，也可以说是用方程研究椭圆曲线性质的一种思路，但未很好的体现“利用方程研究曲线性质”的本因，本人在教学一开始的问题设置就体现了利用方程研究曲线的意识，在三个性质的研究中一直是方程的结构特征来得到性质，真正培养学生如何利用方程研究曲线性质的能.时，根据椭圆的简单几何性质的课时安排本课不研究椭圆的心率证了学生的研究时间与线方程和圆方程的类比能够使得学生掌握椭圆标准方程的特点，学生在自主探究过程中能够联想得到三角换元，说明该种教学方法还是符合学生的认知规律的，同时体现了教材的本.2、课教学模式的设置：自主探究是传统教学模式的一种补充主探究能够使学生成为研究问题