统考版2022届高考数学一轮复习第七章7.6直接证明与间接证明学案理含解析

高考复习资料PAGE1-/NUMPAGES1第六节直接证明与间接证明【回顾知识点】一、必记3个知识点1．综合法一般地，利用①______________________，经过一系列的②________，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：eq\x(P⇒Q1)→eq\x(Q1⇒Q2)→eq\x(Q2⇒Q3)→…→eq\x(Qn⇒Q)2．分析法一般地，从要③________出发，逐步寻求使它成立的④________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明的方法叫做分析法．用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：eq\x(Q⇐P1)→eq\x(P1⇐P2)→eq\x(P2⇐P3)→…→eq\x(得到一个明显成立的条件)3．反证法一般地，假设⑤____________，经过正确的推理，最后得出⑥________，因此说明⑦________，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．二、必明2个易误点1．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即要证……”“就要证……”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．2．利用反证法证明数学问题时，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．【小题热身锻炼】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)分析法必须是从结论推向已知．()(2)分析法的推理过程要比综合法优越．()(3)综合法的过程是演绎推理．()(4)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是演绎推理．()(5)反证法的实质是否定结论导出矛盾．()二、教材改编2．应用反证法推出矛盾的推导过程中可以把下列哪些作为条件使用()①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②B．②③C．①②③D．①②④3.eq\r(6)－2eq\r(2)与eq\r(5)－eq\r(7)的大小关系是________．三、易错易混4．以下命题中正确的是()A．综合法是执果索因的逆推法B．综合法是由因导果的顺推法C．综合法是因果互推的两头凑法D．综合法就是举反例5．用分析法证明：欲使①A>B，只需②C<D，这里②是①的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件四、走进高考6．[2017·北京卷]能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a＋b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．eq\x(考点一)综合法[自主练透型]1．设a，b，c成等比数列，而x，y分别是a，b和b，c的等差中项，求证：eq\f(a,x)＋eq\f(c,y)＝2.2．设a>0，b>0，a＋b＝1，求证：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)≥8.悟·技法考点二分析法[自主练透型]3．已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.4．[易错题]已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c).悟·技法1.利用分析法证明问题的思路分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．2．分析法证明问题的适用范围当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法.考点三反证法[互动讲练型][例]已知a、b、c、d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a、b、c、d中至少有一个是负数．悟·技法反证法证明问题的一般步骤(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立．(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾．(推导矛盾)(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)[变式练]——(着眼于举一反三)若x>0，y>0，且x＋y>2，求证：eq\f(1＋y,x)与eq\f(1＋x,y)中至少有一个小于2.第六节直接证明与间接证明【回顾知识点】①已知条件和某些数学定义、公理、定理等②推理论证③证明的结论④充分条件⑤原命题不成立⑥矛盾⑦假设错误【小题热身锻炼】1．参考答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√2．题目解析：根据反证法的定义，推导过程中，不能把原结论作为条件使用，其他都可以．参考答案：C3．题目解析：假设eq\r(6)－2eq\r(2)>eq\r(5)－eq\r(7)，由分析法可得，要证eq\r(6)－2eq\r(2)>eq\r(5)－eq\r(7)，只需证eq\r(6)＋eq\r(7)>eq\r(5)＋2eq\r(2)，即证13＋2eq\r(42)>13＋4eq\r(10)，即eq\r(42)>2eq\r(10).因为42>40，所以eq\r(6)－2eq\r(2)>eq\r(5)－eq\r(7)成立．参考答案：eq\r(6)－2eq\r(2)>eq\r(5)－eq\r(7)4．题目解析：综合法就是从已知条件(因)出发，利用已有知识进行证明结论(果)的方法．参考答案：B5．题目解析：∵②⇒①，∴②是①的充分条件．参考答案：A6．题目解析：只要取一组满足条件的整数即可．如－1，－2，－3；－3，－4，－6；－4，－7，－10等．参考答案：－1，－2，－3(参考答案不唯一)课堂考点突破考点一1．证明：由题知c＝eq\f(b2,a)，x＝eq\f(a＋b,2)，y＝eq\f(b＋c,2)，则eq\f(a,x)＋eq\f(c,y)＝eq\f(a,\f(a＋b,2))＋eq\f(c,\f(b＋c,2))＝eq\f(2a,a＋b)＋eq\f(2c,b＋c)＝eq\f(2a,a＋b)＋eq\f(2×\f(b2,a),b＋\f(b2,a))＝eq\f(2a,a＋b)＋eq\f(2b,a＋b)＝2，即eq\f(a,x)＋eq\f(c,y)＝2.2．证明：因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以1＝a＋b≥2eq\r(ab).所以eq\r(ab)≤eq\f(1,2)，所以eq\f(1,ab)≥4.所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＋eq\f(1,ab)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2＋4＝8.所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)≥8.考点二3．证明：要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，只需证2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，∴2a3－b3≥2ab2－a2b.4．证明：要证eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)，即证eq\f(a＋b＋c,a＋b)＋eq\f(a＋b＋c,b＋c)＝3，也就是eq\f(c,a＋b)＋eq\f(a,b＋c)＝1，只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．考点三例证明：假设a、b、c、d都是非负数，因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1.又因为(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1.这与已知ac＋bd>1矛盾，所以a、b、c、d中至少有一个是