高考数学一轮总复习 第七章 立体几何中的向量方法

高考数学一轮总复习第七章立体几何中的向量方法课件第1页，共81页，2023年，2月20日，星期四第七章立体几何与空间向量第7节立体几何中的向量方法第2页，共81页，2023年，2月20日，星期四1．理解直线的方向向量与平面的法向量．2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．3．能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).4．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何中的应用．5．能用向量法解决空间的距离问题．第3页，共81页，2023年，2月20日，星期四[要点梳理]1．用向量证明空间中的平行或垂直(1)直线的方向向量：直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量_____(或共线)的向量，显然一条直线的方向向量有_____个．(2)若直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量，显然一个平面的法向量也有_____个，它们是_____向量．平行无数无数共线第4页，共81页，2023年，2月20日，星期四质疑探究：在求平面法向量时，所列方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何处理？提示：给其中某一变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可以作为平面法向量的坐标．(3)用向量证明空间中的平行关系①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.②设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y使v＝xv1＋yv2.第5页，共81页，2023年，2月20日，星期四③设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.④设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.(4)用向量证明空间中的垂直关系①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.②设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.③设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.第6页，共81页，2023年，2月20日，星期四2．用向量计算空间角和距离空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cosθ＝|cos〈m1，m2〉|.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足sinθ＝|cos〈m1，m2〉|.第7页，共81页，2023年，2月20日，星期四第8页，共81页，2023年，2月20日，星期四b．如图②③，n1，n2分别是二面角α­l­β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或π－cos〈n1，n2〉．c．点面距的求法第9页，共81页，2023年，2月20日，星期四[基础自测]1．(2015·西安模拟)若直线l的方向向量为a＝(1，－1,2)，平面α的法向量为u＝(－2,2，－4)，则(

)A．l∥α

B．l⊥αC．l⊂α D．l与α斜交[解析]

因为直线l的方向向量a＝(1，－1,2)与平面α的法向量u＝(－2,2，－4)共线，则说明了直线与平面垂直．[答案]

B第10页，共81页，2023年，2月20日，星期四2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于(

)A．2 B．－4C．4 D．－2第11页，共81页，2023年，2月20日，星期四3．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO、AM的位置关系是(

)A．平行 B．相交C．异面垂直 D．异面不垂直第12页，共81页，2023年，2月20日，星期四[答案]

C第13页，共81页，2023年，2月20日，星期四4．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________．第14页，共81页，2023年，2月20日，星期四第15页，共81页，2023年，2月20日，星期四5．在四面体P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为________．[解析]

根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P－xyz，则P(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)．过点P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离．第16页，共81页，2023年，2月20日，星期四第17页，共81页，2023年，2月20日，星期四[典例透析]考向一用向量证明垂直或求异面直线所成的角例1

(2015·湖北省八校联考)如图，直三棱柱ABC－A′B′C′的侧棱长为3，AB⊥BC，且AB＝BC＝3，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF.第18页，共81页，2023年，2月20日，星期四(1)求证：无论E在何处，总有B′C⊥C′E；(2)当三棱锥B－EB′F的体积取得最大值时，求异面直线A′F与AC所成角的余弦值．第19页，共81页，2023年，2月20日，星期四思路点拨(1)借助于线面关系证明B′C⊥面ABC′，从而可证B′C⊥C′E.当VB－EB′F为最大值确定E(F)的位置，解三角形求角的余弦值．(2)以B为原点建系，用向量求解．(法一)(1)

证明：由题意知，四边形BB′C′C是正方形，连接AC′，BC′，则B′C⊥BC′.第20页，共81页，2023年，2月20日，星期四又AB⊥BC，BB′⊥AB，∴AB⊥平面BB′C′C.∴B′C⊥AB，∴B′C⊥平面ABC′.又C′E平面ABC′，∴B′C⊥C′E.第21页，共81页，2023年，2月20日，星期四第22页，共81页，2023年，2月20日，星期四第23页，共81页，2023年，2月20日，星期四第24页，共81页，2023年，2月20日，星期四第25页，共81页，2023年，2月20日，星期四第26页，共81页，2023年，2月20日，星期四活学活用1

(2015·郑州第一次质检)如图，正方形ADEF和等腰梯形ABCD垂直，已知BC＝2AD＝4，∠ABC＝60°，BF⊥AC.(1)求证：AC⊥平面ABF；(2)求异面直线BE与AC所成的角的余弦值．(1)[证明]因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF平面ADEF，所以AF⊥平面ABCD.故AF⊥AC，又BF⊥AC，AF∩BF＝F，所以AC⊥平面ABF.第27页，共81页，2023年，2月20日，星期四(2)解：由(1)得AF，AB，AC两两垂直，则以A点为坐标原点，第28页，共81页，2023年，2月20日，星期四第29页，共81页，2023年，2月20日，星期四思路点拨立体几何题目一般有两种思路：传统法和向量法．传统法是借助立体几何中的相关定义、定理，通过逻辑推理证明来完成．(1)要证明线面平行，根据判定定理可通过证明线线平行来实现；(2)求二面角要先找到或作出二面角的平面角，再通过解三角形求解．向量法则是通过建立空间直角坐标系，求出相关的坐标，利用向量的计算完成证明或求解．直线一般求其方向向量，平面一般求其法向量．(1)只要说明直线的方向向量与对应平面的法向量垂直即可；(2)二面角的大小即为两个平面的法向量的夹角或其补角．第30页，共81页，2023年，2月20日，星期四图(1)第31页，共81页，2023年，2月20日，星期四第32页，共81页，2023年，2月20日，星期四第33页，共81页，2023年，2月20日，星期四第34页，共81页，2023年，2月20日，星期四图(2)第35页，共81页，2023年，2月20日，星期四第36页，共81页，2023年，2月20日，星期四第37页，共81页，2023年，2月20日，星期四第38页，共81页，2023年，2月20日，星期四第39页，共81页，2023年，2月20日，星期四拓展提高本题法一采用了传统法，在第二问中要作出C－BM－D的平面角，这里采用了棱BM的垂面(面CGH)法，作、证、算于一体．二面角的做法一直是个难点，不如建系用向量方法求简单，如方法二．第40页，共81页，2023年，2月20日，星期四活学活用2

(2014·四川高考)三棱锥A

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BCD及其侧视图、俯视图如图所示．设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.第41页，共81页，2023年，2月20日，星期四(1)证明：P是线段BC的中点；(2)求二面角A

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NP

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M的余弦值．(1)[证明]如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO.由侧视图及俯视图知，△ABD，△BCD为正三角形，所以AO⊥BD，OC⊥BD.因为AO，OC平面AOC，且AO∩OC＝O，所以BD⊥平面AOC.第42页，共81页，2023年，2月20日，星期四第43页，共81页，2023年，2月20日，星期四第44页，共81页，2023年，2月20日，星期四第45页，共81页，2023年，2月20日，星期四第46页，共81页，2023年，2月20日，星期四第47页，共81页，2023年，2月20日，星期四第48页，共81页，2023年，2月20日，星期四第49页，共81页，2023年，2月20日，星期四第50页，共81页，2023年，2月20日，星期四考向三用向量求线面角例3

(2014·福建高考)

在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图所示．(1)求证：AB⊥CD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．思路点拨(1)转化为证明AB⊥平面BCD；(2)利用坐标法．第51页，共81页，2023年，2月20日，星期四(1)[证明]

∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.又CD平面BCD，∴AB⊥CD.(2)

解：过点B在平面BCD内作BE⊥BD.第52页，共81页，2023年，2月20日，星期四第53页，共81页，2023年，2月20日，星期四第54页，共81页，2023年，2月20日，星期四活学活用3

(2015·东北三校模拟)如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝2AD，AD⊥DC，∠BCD＝45°.(1)设PD中点为M，求证：AM∥平面PBC；(2)求PA与平面PBC所成角的正弦值．第55页，共81页，2023年，2月20日，星期四第56页，共81页，2023年，2月20日，星期四第57页，共81页，2023年，2月20日，星期四第58页，共81页，2023年，2月20日，星期四第59页，共81页，2023年，2月20日，星期四第60页，共81页，2023年，2月20日，星期四第61页，共81页，2023年，2月20日，星期四第62页，共81页，2023年，2月20日，星期四第63页，共81页，2023年，2月20日，星期四活学活用4

(2015·天津南开调研)在直三棱柱中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中点．(1)求证：B1C∥平面A1BD；(2)求点B1到平面A1BD的距离．第64页，共81页，2023年，2月20日，星期四第65页，共81页，2023年，2月20日，星期四规范答题7向量法求空间角典例

(本小题满分12分)如图，已知在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于点E，F为A1B1的中点．(1)求异面直线AE与BF所成角的余弦值；(2)求平面BDF与平面AA1B所成二面角(锐角)的余弦值.第66页，共81页，2023年，2月20日，星期四审题视角

(1)研究的几何体为长方体，AB＝2，AA1＝1.(2)所求的是异面直线所成的角和二面角．(3)可考虑用空间向量法求解．[满分展示][解]

(1)以A为坐标原点，以AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图所示)．(2分)第67页，共81页，2023年，2月20日，星期四第68页，共81页，2023年，2月20日，星期四第69页，共81页，2023年，2月20日，星期四第70页，共81页，2023年，2月20日，星期四第71页，共81页，2023年，2月20日，星期四【答题模板】利用向量求空间角的步骤：第一步：建立空间直角坐标系．第二步：确定点的坐标．第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标．第四步：计算向量的夹角(或函数值)．第五步：将向量夹角转化为所求的空间角．第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．第72页，共81页，2023年，2月20日，星期四提醒：(1)利用向量求角是高考的热点，几乎每年必考，主要是突出向量的工具性作用．(2)本题易错点是在建立坐标系时不能明确指出坐标原点和坐标轴，导致建系不规范．(3)将向量的夹角转化成空间角时，要注意根据角的概念和图形特征进行转化，否则易错．第73页，共81页，2023年，2月20日，星期四第74页，共81页，2023年，2月20日，星期四第75页，共81页，2023年，2月20日，星期四第76页，共81页，2023年，2月20日，星期四第77页，共81页，2023年，2月20日，星期四[思维升华]【方法与技巧】1．用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)