全中考数学几何必考点-四边形中的动点问题-压轴题详解总结

中考数学几何必考点-四边形中的动点问题-压轴题详解总结典型例题分析1:定义：若以一条线段为对角线作正方形，则称该正方形为这条线段的〃对角线正方形”.例如，图①中正方形ABCD即为线段BD的〃对角线正方形”.如图②，在MBC中，nABC=90°,AB=3cm,BC=4cm，点P从点C出发，沿折线CA-AB以5cm/s的速度运动，当点P与点B不重合时，作线段PB的〃对角线正方形〃，设点P的运动时间为t(s),线段PB的〃对角线正方形〃的面积为S(cm2).(1)如图③，借助虚线的小正方形网格，画出线段AB的〃对角线正方形”.(2)当线段PB的〃对角线正方形〃有两边同时落在MBC的边上时，求t的值.(3)当点P沿折线CA-AB运动时，求S与t之间的函数关系式.(4)在整个运动过程中，当线段PB的〃对角线正方形〃至少有一个顶点落在/A的平分线上时，直接写出t的值.c【解：(1)线段4s的“对角线正方形”如图所示:图③(2)如图1中，当线段屋的叫角线正方形”有两边同时落在△48C的边上时，设正方形的边长为工，•PE=CEAB-CB,4=等，解得.苦：・PE寺,CE=4--Y=y工尸C=Vpe，EC屋与20Ar=~=

(3)①如图2中,当0<r<l时，作尸E_LB2于H.、：PC=5t,则ac=4r,PH=3t,在.R3HB中，PB—Pffl+BH=(3r)2+(4-4力2=25/2-32r-F16.1 25，异大融2 产-16什8.o②如图3中.当1V/V卷时.C'・'PB=8-53:・S=%由再P-40/+32.or9标上所述9S=，-ytT6t+8arop;(04t标上所述9S=，--7-t2-40t+32amp;(l<t<-|-)2 b(4)①如图4中，当0、石在NH4c的平分线上时,9易知43=3,EC2,“千②当点P运动到点/时,满足条件,此时自15.③如图5中，当点E在NB/5的角平分线上时，作EHLBC于H.图5易知EB平分NN月C,.二点亘是△SBC的内心.也功形EOBH是正方形,OB=EH=EO=BH=AB+EC-ACOB=EH=EO=BH=AB+EC-AC（直角三角形内切圆半径公式）,：,PB=2OB=2,:■月尸=11■»s,综上所述，在整个运动过程中，当线段PB的恒对角线正方形”至少有一个顶点落在NC46的平分线上时,/的值为或或-^3*典型例题分析2:已知四边形ABCD是菱形，AB=4，/ABC=60°,nEAF的两边分别与射线CB,DC相交于点E,F,且nEAF=60°.（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2,当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证:be=cf；(3)如图3,当点E在线段CB的延长线上，且nEAB=15°时，求点F至I」BC的距离.解：(1)结论AE=EF=AF.理由；如图1中,连接且G•二四边膨幺BCD是菱形,NF6。。,：-AB=BC=CD=AD，ZB=ZD=GOQ，，△以BC, 是等边三角形，,ZBAC=ZDAC=6Q°*：BE=EC.，NB<E=NCAE=3。口,AE±BCf:NE4产=60。,・'.ZCAF=ZDAF=30°,：.AFVCD,：.AE=AF(菱形的高相等)，•'.△ZEF是等边三角形，:・AE=EF=AF,(2)证明：如图2中,•；/BAC=/EAF=6G。,/.ZBAE=ZCAE,在AB4E和尸中,fZBAE=ZCAFIBA二AC ,IZB=ZACF:・4BAE等4CAF,:・BE=CF.《3》解：过点力作于点&过点尸作尸归于点用VZ£4S=15°,ZABC=60°,・'.ZAEB=45°,在RT^AGB中，:ZABC=6Q°AB=4,:・BG=2,AG=2M,在.RT—EG中，*//4EG=/EAG=45。,:・AG=GE=2M，:・EB=EG-BG=2M=2.丁区AEB沿AAFC,AE=AF,EB=CF^2^3~2,ZAES=ZAFC=45Q,'INEAF=6叫AE=AF^・•・是等边三角形./.NAEF=N幺FE=60。VZAEB=45Q.ZAEF=60Qf/.ZCEF=ZAEF-ZAEB=15°.在夫丁△WFH中，ZCEF^15°.*.ZEFH=75°,YZAFE=600.AZAFH=ZEFH-ZAFE=15°,VZAFC=45C\ZCFH=ZAFC-^AFH=^\在RT£\CHF中，'/ZCFH=38,CF=243-2卜.\FH=CF*cos30Q=(273-2)券=3-Vs.二点F到BC的距离为3-V1考点分析：四边形综合题.题干分析：(1)结论AE=EF=AF.只要证明AE=AF即可证明^AEF是等边三角形(2)欲证明BE/CF,只要证明^BAE空4CAF即可.(3过点A作AG±BC于点G过点F作FH^EC于点H根据FH=CF・cos30°,因为CF=BE,只要求出BE即可解决问题.解题反思：本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题.典型例题分析3:如图1，在矩形ABCD中，BC>AB,nBAD的平分线AF与BD、BC分别交于点E、F,点O是BD的中点，直线OKIIAF,交AD于点K,交BC于点G.(1)求证：①ADO恒^BOG;②AB+AK=BG;(2)若KD=KG,BC=4-V2.①求KD的长度；②如图2,点P是线段KD上的动点(不与点D、K重合)，PMIIDG交KG于点M,PNIIKG交DG于点N，设PD=m，当SaPMN=，2/4时，求m的值.

解：(1)①丁在矩形MBCD中,AD//BCAZKDO=ZGBO.ZDKO=ZBGO•・•点。是的中点：.DO=BO:■△□Qg4BOQQAAS)②,:四边形且BCD是矩形r.ZB.W=ZASC=90%AD//BC乂T/F平分NA4Z)'NBAF=/B口=45口\AB=BFVOK//AF,AKJ/FG二四边形幺尸钮是¥行四边膨\AK=FG^BG=BF^FGBG=AB^-AK<2)①由⑴得,四边形/产GK是平行四边形：.AK=FG,AF=KG乂'：ADOK/LBOG,11KD=KG：.AF=KG=KD=BG设43=6!flljAF=KG=KD=BG=42a:・AK=A-近-心,FG=BG-BF=^2a-a.二4-V-2- 片-a解得a=42：.KD=42a=Z②过点G作GJ，瓦0于点/由(2)①可知初二N尸=2，GI=AB=、叵1・Shig=2x2xE=«2♦：PD=m，PK=2-m^PM/ZDG,PN//KG，四边形RWGN是平行四边形，丛DKGs£\PKMs4DPN坠也吼(一尸「.'△DKG 2 ,即旌分行(-2)2"正(2)2•爬2-m(2)2•爬同理S△尸K3尸返":S△门想4返-4■S晋行口近落尸旧&『2$上总1府=2工4X='S干斤口边形对侬尸§二口£0-2印F支-5ym返0 2”，A2x-=V2 ^)工•也~(2)2-V2即m2-2m十1=0.解得???i=?j72=l退:•当网产所4时，取的值为1考点分析：四边形综合题；全等三角形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质.题干分析：(1)①先根据AAS判定30恒^BOG，②再根据等腰三角形ABF和平行四边形AFKG的性质，得出结论BG=AB+AK;(2)①先根据等量代换得出AF=KG=KD=BG,再设人8=2,根据AK=FG歹I」出关于a的方程，求得a的值，进而计算KD的长；②先过点G作GI^KD,求得SaDKG的值，再根据四边形PMGN是平行四边形，以及△DKGdPKMdDPN，求得SaDPN和SaPKM的表达式，