高二数学选修2-1第三章同步检测3-1-4

3.1第4课时空间向量的正交分解及其坐标表示一、选择题1．对于向量A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a＝b，则a＝b或a＝－a·b＝a·c，则b＝c[答案]B[解析]a·b＝0⇒a⊥b，|a|2＝|b|2⇒(a＋b)·(a－b)＝0⇒(a＋b)⊥(a－b)；a·b＝a·c⇒a⊥(b－c)；故A、C、D均错．2．以下四个命题中正确的是A．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量C．△ABC为直角三角形的充要条件是→→D．任何三个不[答案]B[解析]使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其它三个不共面的向量来表a，b，c和实数λ，下列命题中真命题是()22bD．若()AB·AC＝0共线的向量都可构成空间向量的一个基底．．．示，故A不正确；△ABC为直角三角形并不一定是AB→·AC→＝0，可能是BC→·BA→＝0，也可能是CA→·CB→＝0，故空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D不正确，故选C不正确；B.→→→→3．长方体ABCD－ABCD中，若AB＝3i，AD＝2j，AA＝5k，则AC()111111111B.i＋j＋k325A．i＋j＋kC．3i＋2j＋5k[答案]CD．3i＋2j－5k4．给出下列命题{a，b，c}可以a∥b，则BA→，BM→，BN→不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其：①若作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若知向量组中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4[答案]D[解析]根据基底的概念，空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否→→→则就不能构成空间的一个基底．显然②正确，③中由BA、BM、BN共面且过相同点B，故A、B、M、N共面．下面证明①④正确．①假设d与a、b共面，则存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使d＝kc，∵d≠0，∴k≠0，从而c＝λa＋μb，kk∴c与a、b共面∴d与a，b不共面．证④也是正确的．5．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q与条件矛盾．同理可构成空间的另一个基底的是()A．aC．c[答案]CB．bD．无法确定11[解析]∵a＝p＋q，∴a与p、q共面，221212∵b＝p－q，∴b与p、q共面，∵不存在λ、μ，使c＝λp＋μq，∴c与p、q不共面，故{c，p，q}可作为空间的一个基底，故选C.6．给出下列两个命题：①如果向量a，b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a，b的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量OA→，OB→，OC→不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面．其中正确的命题是()A．仅①B．仅②C．①②D．都不正确[答案]B[解析]①对空间任意向量c，都有c与a、b共面，则必有a与b共线，∴①错；②∵OA→、故存在实数λ，μ，使OA→＝λOB→＋μOC→，OB→、OC→不能构成空间的基底，∴OA→、OB→、OC→必共面，∴O、A、B、C四点共面，∴②正确．→i、j、k是空间直角坐标系O－xyz的坐标向量，并且AB＝－i＋j－k，则B点的7．已知为(A．(－1,1，－B．(－i，j，－k)C．(1，－1，－坐标)1)1)D．不确定[答案]D[解析]向量AB→的坐标与B点的坐标不同．8．设O－ABC是四面体，G是△ABC的重心，G是OG上的一点，且OG＝3GG1，11若OG→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，则(x，y，z)为()333444111444A.，，B.，，333222111C.，，D.，，333[答案]A[解析]连AG1交BC于E，则E为BC中点，1212AE→＝(AB＋AC)＝(OB－2OA＋OC)，→→→→→2313→→→→→AG＝AE＝(OB－2OA＋OC)，134→→→→∵OG＝3GG＝3(OG－OG)，∴OG＝OG1，113434→→→→∴OG＝OG＝(OA＋AG)1134132313→→→→＝(OA＋OB－OA＋OC)141414→→→＝OA＋OB＋OC，故选A.9．如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有()A．a与b共线B．a与b同向C．a与b反向D．a与b共面[答案]A[解析]由定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，B，C都是A的一种情况．空D错．10．对于空间的四个向量a，b，c，d最多能构成的基底个数是B．2D．4间中任两个向量都是共面的，故()A．1C．3[答案]D[解析]最多的情况是a，b，c，d中任两个不共线，任三个不共面，从中任选三个都可做一组基底，共4个．二、填空题11．已知e、e、e3是不共面向量，若a＝e＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d121＝e1＋2e2＋3e3，又d＝αa＋βb＋γc，则α、β、γ分别为________．51]－1－22[答案[解析＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3，d＝e＋2e2＋3e3，e1、e2、e3不共面，]d＝αa＋βb＋γc＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α又因为15α＝2β＝－α＋β＋γ＝11∴α＋β－γ＝2，解得.α－β＋γ＝31γ＝－212．已知向量下的坐标为________，在基底31p在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1，－1)，则p在基底{a＋b，a－b，c}{2a，b，－c}下的坐标为________．[答案](，，－1)(1,1,1)22[解析]由条件p＝2a＋b－c.设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，∵a、b、c不共面，3x＝x＋y＝221∴－＝，∴xy1.＝y2z＝－1z＝－131{a＋b，a－b，c}下的坐标为(，，－22即p在基底1)，同理可求p在基底c}下的坐标为(1,1,1)．{2a，b，－O—ABC中，→E为AD的中点，则OE＝________.b＋→→→13．(2010·商丘高二检测)在四面体OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，121414[答案]a＋c14．三棱锥P－ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC→→→→{BA，BC，BP}为基底，则MN的坐标为________．的中点，N为AC中点，以121)[答案](，0，－212121212→→→→→→→→→[解析]MN＝BN－BM＝(BA＋BC)－(BP＋BC)＝BA－BP，1212→即MN＝，0，－.三、解答题→→→15．如图所示，平行六面体OABC－O′A′B′C′，且OA＝a，OC＝b，OO′＝c.(1)用a，b，c表示向量OB→→′，AC′.(2)设G、H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示GH→.→→→→→→[解析](1)OB′＝OB＋BB′＝OA＋OC＋OO′＝a＋b＋c.→→→→→→AC′＝AC＋CC′＝AB＋AO＋AA′＝OC→→→＋OO′－OA＝b＋c－a.→→→→→(2)GH＝GO＋OH＝－OG＋OH1212→→→→＝－(OB＋OC′)＋(OB′＋OO′)12121(c－b)＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c)＝216．如图，正方体ABCD－A′B′C′D′中，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中的x、y、z的值：(1)BD→→→→′＝xAD＋yAB＋zAA′.(2)AE→→→→＝xAD＋yAB＋zAA.→→→→→→→→→[解析](1)∵BD′＝BD＋DD′＝BA＋BC＋DD′＝－AB＋AD＋AA′→→→→又BD′＝xAD＋yAB＋zAA′∴x＝1，y＝－1，z＝1.1→→→→→(2)∵AE＝AA′＋A′E＝AA′＋AC′21→→→＝AA′＋(A′B′＋A′D′)21212→→→＝AD＋AB＋AA′，→→→→又AE＝xAD＋yAB＋zAA′.121y＝，z＝1.2∴x＝，17．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA＝AD＝1.选取恰当的基底求向量MN→→、DC的坐标．[解析]如图所示，因为PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，所以可设DA→→→＝e，AB＝e，AP＝e.123以{e，e，e}为基底．123则∵MN→→→→＝MA＋AP＋PN121→→→(PA＋AD＋DC)→→→→→＝MA＋AP＋PC＝MA＋AP＋2121(－e－e＋e)＝－e＋e＋223312121e，＝－e＋231→→DC＝AB＝e，21212∴MN→＝－，0，，DC→＝(0,1,0)．18．如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BE1323＝BB1，DF＝DD1.(1)证明：A、E、C1、F四点共面；(2)若EF→＝xAB→＋yAD→＋zAA，求x＋y＋z的值．→1→→→→[解析]