高中数学多项式理论

高中数学多项式理论第1页，共109页，2023年，2月20日，星期四初等代数研究

第二讲多项式理论一、一元多项式理论与轮换、对称多项式二、根式、指数式、对数式理论三、三角式理论第2页，共109页，2023年，2月20日，星期四一、一元多项式理论与轮换多项式

多项式是代数学中的一个基本概念，也是代数式中的一种，对代数式的研究都要归结于对多项式的研究。多项式的恒等变形是解析式恒等变形的基础，它把数系的通性推广到整式，使运算对象由具体的数抽象为一般字母并把运算法则、运算律抽象成一组形式化符号，形成严密的理论体系，为解代数方程奠定了理论基础。第3页，共109页，2023年，2月20日，星期四（一）解析式的定义和恒等1、定义：用运算符号把数、表示数的字母连接而成的式子叫做解析式。第4页，共109页，2023年，2月20日，星期四说明：1、在研究解析式恒等时，一定要清楚他们在什么范围内讨论。（公共定义域）2、解析式的恒等变形，可能引起定义域的变化。

第5页，共109页，2023年，2月20日，星期四（二）一元多项式理论

1、一元多项式的标准形式

第6页，共109页，2023年，2月20日，星期四

多项式理论是方程理论、函数理论、不等式理论的基础。2、多项式的恒等定理1：数域F上的两个具有相同变数字母的多项式，如果对于变数字母的所有取值，这两个多项式的值都相等，那么称这两个多项式是恒等的。

第7页，共109页，2023年，2月20日，星期四特别地：一个一元n次多项式，如果对于变数字母的任意取值，以标准形式给出的多项式的值恒为0，那么这个多项式的系数都等于0，这个多项式称为0多项式。

定理2：数域F上以标准形式给出的两个多项式恒等的充要条件是这两个多项式的对应项分别具有相同系数的同类项。第8页，共109页，2023年，2月20日，星期四定理3：数域F上以标准形式给出的两个多项式，对于变数x的n+1个不同的值有相同的取值，那么这两个多项式恒等。

定理2、定理3是“待定系数法”的理论依据。第9页，共109页，2023年，2月20日，星期四3、多项式的整除

第10页，共109页，2023年，2月20日，星期四第11页，共109页，2023年，2月20日，星期四因式分解的理论基础是因式定理

4、多项式的因式分解

中学教材规定：“把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式分解”。要求：“因式分解要进行到不能再分解为止。”高等代数中规定因式分解的涵义是：“所谓因式分解是把数域F上的一个多项式化成几个既约多项式乘积的形式。”第12页，共109页，2023年，2月20日，星期四关于因式分解理论，有两个基本问题：（1）怎样判断一个多项式是否可约？（2）如果一个多项式是可约的，如何分解？

对于（1）高等代数作出了回答：在复数域中，一次多项式是既约的，任何次数大于1的多项式都是可约的；在实数域中，次数大于等于3的多项式是可约的；在有理数域中，情况比较复杂，具体问题具体讨论。第13页，共109页，2023年，2月20日，星期四分解因式中的两个有用的结论：第14页，共109页，2023年，2月20日，星期四对称、轮换多项式主要内容：1、对称多项式的定义；2、对称多项式的形式；3、基本对称函数与根与系数的关系；4、轮换多项式的定义与因式分解；5、用基本对称函数表示对称多项式。第15页，共109页，2023年，2月20日，星期四定义分析：1、一个置换实际上是指一个排列；

2、置换的总数共有n!种。第16页，共109页，2023年，2月20日，星期四判断下列多项式是否是对称多项式第17页，共109页，2023年，2月20日，星期四（2）基本对称函数（基本对称多项式）第18页，共109页，2023年，2月20日，星期四广义韦达定理：第19页，共109页，2023年，2月20日，星期四

结论1：任何对称多项式都可以表示成基本对称函数的形式。

结论2：两个对称多项式的和、差、积、商、乘方（幂）也是对称多项式。第20页，共109页，2023年，2月20日，星期四定义分析：1、轮换：轮流替换；

2、轮换的总数共有

种。第21页，共109页，2023年，2月20日，星期四对称多项式与轮换多项式的关系：对称多项式是轮换多项式，反之不然。

性质：两个轮换多项式的和、差、积、商、幂仍是轮换多项式。第22页，共109页，2023年，2月20日，星期四（4）轮换多项式的因式分解（因式定理）第23页，共109页，2023年，2月20日，星期四轮换多项式因式分解的一般步骤：1）确定要分解的多项式是轮换多项式；

2）利用因式定理确定出部分因式；

3）据多项式的对称性，写出其他有关多项式的形式（待定系数法）

4）利用多项式恒等确定待定系数的数值。第24页，共109页，2023年，2月20日，星期四用基本对称函数表示对称多项式题记：

赞美月亮切勿用贬低星星的做法，不然在赞美太阳时就可能用同样的方法贬低月亮。第25页，共109页，2023年，2月20日，星期四（5）用基本对称函数表示对称多项式第26页，共109页，2023年，2月20日，星期四第27页，共109页，2023年，2月20日，星期四第28页，共109页，2023年，2月20日，星期四第29页，共109页，2023年，2月20日，星期四多元多项式的因式分解

第30页，共109页，2023年，2月20日，星期四第31页，共109页，2023年，2月20日，星期四第32页，共109页，2023年，2月20日，星期四分式与根式分式与根式研究的主要内容：1、分式的恒等2、根式的定义与意义3、复合根式的计算4、根式的恒等变形和化简第33页，共109页，2023年，2月20日，星期四一、有理分式的恒等第34页，共109页，2023年，2月20日，星期四第35页，共109页，2023年，2月20日，星期四二、根式的定义和意义第36页，共109页，2023年，2月20日，星期四第37页，共109页，2023年，2月20日，星期四三、复合根式的计算第38页，共109页，2023年，2月20日，星期四第39页，共109页，2023年，2月20日，星期四第40页，共109页，2023年，2月20日，星期四第41页，共109页，2023年，2月20日，星期四第42页，共109页，2023年，2月20日，星期四四、根式的恒等变形的化简类型1多元代数式型基本思想：观察代数式的结构，转化为基本对称多项式的形式第43页，共109页，2023年，2月20日，星期四类型2一元代数式型根式基本思想：转化为一元代数方程式第44页，共109页，2023年，2月20日，星期四类型3一元代数式型基本思想：降低次数法第45页，共109页，2023年，2月20日，星期四类型4方程型无理根式基本思想：构造对偶式、函数等方法，利用相关性质求解第46页，共109页，2023年，2月20日，星期四第47页，共109页，2023年，2月20日，星期四第48页，共109页，2023年，2月20日，星期四5、代数代换法第49页，共109页，2023年，2月20日，星期四第50页，共109页，2023年，2月20日，星期四6、函数型根式——构造几何模型法第51页，共109页，2023年，2月20日，星期四第52页，共109页，2023年，2月20日，星期四7、三角形代换法第53页，共109页，2023年，2月20日，星期四（三）三角方法的应用第54页，共109页，2023年，2月20日，星期四指数式与对数式如果计算生命的长短不以活着的年龄为标准，而以人的贡献来计算的话，那么对数的发现将人类的寿命延长了两倍。——拉普拉斯题记第55页，共109页，2023年，2月20日，星期四主要内容1、对数的起源和发展；2、指数式与对数式的相互关系；3、指数式与对数式的恒等变形。第56页，共109页，2023年，2月20日，星期四历史背景

16世纪的欧洲，资本主义迅速发展，科学和技术迅猛发展。天文、航海、测绘、造船等行业不断向数学提出新的课题。令人头痛的问题是：星体的轨迹运算、船只的位置确定、大地的形貌测绘、船舶的结构设计等一系列课题中，人们遇到的数据越来越庞杂，所需的计算越来越繁难，耗费了科学家们宝贵的时间和精力。路在何方？第57页，共109页，2023年，2月20日，星期四1、制造各种表格第58页，共109页，2023年，2月20日，星期四1544年，德国的斯提菲（Stifei）在《普通算术》中叙述了“关于整数的这些奇妙性质”写出了两个数列，左边一个是等比数列（叫做原数），右边是一个等差数列（叫做原数的代表人物）2、对数研究的起源和发展：

第59页，共109页，2023年，2月20日，星期四第60页，共109页，2023年，2月20日，星期四第61页，共109页，2023年，2月20日，星期四第62页，共109页，2023年，2月20日，星期四第63页，共109页，2023年，2月20日，星期四恩格斯在《自然辨证法》中高度评价了纳皮尔的对数发现，将它与笛卡儿的解析几何学，牛顿-莱布尼兹的微积分并列为“17世纪最重要的数学方法”。

17世纪最重要的数学方法

第64页，共109页，2023年，2月20日，星期四2、指数式与对数式的关系注明：

1、理解指数式与对数式相互转化的过程；

2、明确各字母的含义。问题：分析两个函数的图形关系（交点个数）第65页，共109页，2023年，2月20日，星期四3、指数式与对数式的恒等变形第66页，共109页，2023年，2月20日，星期四第67页，共109页，2023年，2月20日，星期四三角式题记：形长影短角不同。东升西落照苍穹，昼夜循环潮起伏，春秋更替草欣荣。第68页，共109页，2023年，2月20日，星期四三角式三角式的内容结构：

1、三角函数的定义；

2、三角式的恒等变形；

3、欧拉函数与反三角式第69页，共109页，2023年，2月20日，星期四一、三角函数的定义

（初中课本）

（高中课本）第70页，共109页，2023年，2月20日，星期四在初中数学中，三角函数的概念是以欧氏几何学的相似原理为理论基础定义的。三角式来自于解直角三角形，它揭示了直角三角形中边与角的联系。在高中教材采用坐标法定义三角函数，其优点是便于推广三角函数的概念，从方法上看，把几何问题转化为代数问题来研究可以简化讨论程序。第71页，共109页，2023年，2月20日，星期四新课程标准：用解析几何思想理解三角函数定义（1）强调了单位圆在学习三角函数中的作用。首先，单位圆的作用反映在对任意角的理解，从锐角，直角，钝角，平角，周角，一直到任意角，它们会很清晰地反映在单位圆中。第72页，共109页，2023年，2月20日，星期四（2）一般三角函数的定义是借助于单位圆给出的。在单位圆中，给定一个角x，角的终边与单位圆相交于一点M，这一点M的坐标（a，b）就完全地确定了所有三角函数的值。即sinx=b，cosx=a，tanx=（a不为0），等等。

点M的坐标蕴含着丰富的含义，包括代数的和几何的含义。如，b是一个数，它的符号表示点M所处的位置，当b大于0，点M处于一或三象限，当b小于0，点M处于二或四象限，b等于0，点M处在y轴上；这样，a、b都大于0，则M点位于第一象限，角是第一象限的角。第73页，共109页，2023年，2月20日，星期四数形结合在这里体现得十分清楚，正弦函数的几何意义就是点M纵坐标b的几何意义。它较正弦函数线更直接、更准确，因为，正弦函数线很难体现正负关系。对于正弦、余弦函数作图来说，运用解析几何的坐标思想也要方便一些。对正切函数，需要做一个转化，把点M（a，b）转换为点（1，），这个点的纵坐标就直接、准确的反映了正切的几何意义。而正切函数线很难体现正负关系。（3）三角函数线的使用是历史的原因造成的，在前面介绍了一点历史，早期的三角学是“静态”数学，函数思想、解析几何的思想的产生比“静态”的三角学要晚。在现代的数学教育中，应该强化解析几何的思想，在一些教材中，淡化了三角函数线，强调了解析几何的思想，这将会变成趋势。第74页，共109页，2023年，2月20日，星期四注明：

1、理论基础：欧氏几何中的相似原理；2、研究观点：直角三角形与函数观点；3、采用方法：坐标法几何问题代数攻，数形结合两相通。初高中教材对三角函数定义的联系和区别第75页，共109页，2023年，2月20日，星期四应该说明：中学阶段的三角式虽然建立在几何理论基础之上，但它并不依赖于几何理论，也可以建立在解析理论基础之上。在数学分析中，通过泰勒公式，将三角函数展成幂级数的形式。由此表明，三角式的值不能由有限次代数运算得到，还包括取极限的过程。第76页，共109页，2023年，2月20日，星期四三角函数的解析定义：第77页，共109页，2023年，2月20日，星期四三角函数的常微分方程定义第78页，共109页，2023年，2月20日，星期四三角函数的公理化定义（函数方程）第79页，共109页，2023年，2月20日，星期四二、三角式的恒等变形理论基础：正六边形法则

（1）倒数关系；（2）平方关系；（3）和差公式；（4）和差化积、积化和差；（5）倍角、半角、三倍角、降幂公式；（6）特殊的三角公式第80页，共109页，2023年，2月20日，星期四正六边形法则六边正方顶角处，从上到下弦切割；

中心记上数字1，连结顶点三角形；

向下三角平方和，倒数关系是对角，

顶点任意一函数，等于后面两相除。第81页，共109页，2023年，2月20日，星期四

三角函数共六式，象限符号坐标制，

函数图象单位圆，周期奇偶现增减。

万能公式不一般，化为有理式居先，和差化积须同名，互余角度变名称。

三角函数反函数，实质就是求角度，利用直角三角形，形象直观好换名。《三角函数》解题口诀第82页，共109页，2023年，2月20日，星期四

特殊三角函数值口诀：一二三，三二一，三九二十七。第83页，共109页，2023年，2月20日，星期四特殊三角函数值第84页，共109页，2023年，2月20日，星期四（1）试计算下列三角式的值

（一）计算型第85页，共109页，2023年，2月20日，星期四（2）试计算下列三角式的值第86页，共109页，2023年，2月20日，星期四（3）试计算下列三角式的值第87页，共109页，2023年，2月20日，星期四（4）试计算下列三角式的值第88页，共109页，2023年，2月20日，星期四三角式的恒等变形题记：

在孤独中能沉淀出自我便是战胜；

在孤独中能产生出智慧就是超越。

第89页，共109页，2023年，2月20日，星期四（二）证明型第90页，共109页，2023年，2月20日，星期四第91页，共109页，2023年，2月20日，星期四（三）三角方法的应用第92页，共109页，2023年，2月20日，星期四欧拉公式题记平静的湖面难于练就精悍的水手，安适的环境造就不出时代的伟人。主要内容：1、欧拉公式与用指数式表示三角式2、用对数式表示反三角式。第93页，共109页，2023年，2月20日，星期四第94页，共109页，2023年，2月20日，星期四阿拉哥——欧拉进行复杂的演算不费吹灰之力，就象常人进行呼吸，或如雄鹰翱翔于天空那样轻松自如。被誉为“数学界的莎士比亚”的数学家是

。被誉为“数学英雄”的数学家是

。欧拉临终遗言：“我要死了。”第95页，共109页，2023年，2月20日，星期四欧拉公式

一、欧拉公式的由来方法1（幂级数）第96页，共109页，2023年，2月20日，星期四方法2（构造函数法）二、用欧拉公式（指数式）表示三角式第97页，共109页，2023年，2月20日，星期四一知识回顾1：指数函数的幂级数展开式

（1）2：正余