初中数学培优教材

.zPAGE1初中数学培优教材第一讲一元二次方程【学习目标】1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字表达的问题转换成数学语言的能力。2、了解一元二次方程的解或近似解。3、增进对方程解的认识，开展估算意识和能力。【知识要点】1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为〔a、b、c、为常数，〕的形式，这样的方程叫做一元二次方程。〔1〕定义解释：①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并且未知数的最高次数是2。这三个条件必须同时满足，缺一不可。〔2〕〔a、b、c、为常数，〕叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。〔3〕在〔〕中，a，b，c通常表示数。2、一元二次方程的解：当*一*的取值使得这个方程中的的值为0，*的值即是一元二次方程的解。3、一元二次方程解的估算：当*一*的取值使得这个方程中的的值无限接近0时，*的值即可看做一元二次方程的解。【经典例题】例1、以下方程中，是一元二次方程的是①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩例2、〔1〕关于*的方程(m－4)*2+(m+4)*+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程.〔2〕如果方程a*2+5=(*+2)(*－1)是关于*的一元二次方程，则a__________.〔3〕关于*的方程是一元二次方程吗"为什么？例3、把以下方程先化为一般式，再指出以下方程的二次项系数，一次项系数及常数项。〔1〕2*2―*+1=0 (2)－5*2+1=6* (3)(*+1)2=2*(4)例4、〔1〕*校办工厂利润两年由5万元增长到9万元，设每年利润的平均增长率为*，可以列方程得〔〕A.5(1+*)=9B.5(1+*)2=9C.5(1+*)+5(1+*)2=9D.5+5(1+*)+5(1+*)2=9〔2〕*商品本钱价为300元，两次降价后现价为160元，假设每次降价的百分率一样，设为*，则方程为_____________.例5、一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如以下图所示，它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2例6、如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，如果梯子的顶端下滑1m，则梯子的底端滑动多少米"【经典练习】一、选择题1、以下关于*的方程：①1.5*2+1=0；②2.3*2++1=0；③3.4*2=a*(其中a为常数)；④2*2+3*=0；⑤=2*；⑥=2*中，一元二次方程的个数是〔〕A、1B、2C、3D、42、方程*2－2(3*－2)+(*+1)=0的一般形式是A.*2－5*+5=0 B.*2+5*+5=0C.*2+5*－5=0 D.*2+5=03、一元二次方程7*2－2*=0的二次项、一次项、常数项依次是A.7*2,2*,0 B.7*2,－2*，无常数项C.7*2,0,2* D.7*2,－2*,04、假设*=1是方程a*2+b*+c=0的解，则A.a+b+c=1 B.a－b+c=0C.a+b+c=0 D.a－b－c=0二、填空题1、将化为一般形式为__________，此时它的二次项系数是.__________，一次项系数是__________，常数项是__________。2、如果(a+2)*2+4*+3=0是一元二次方程，则a所满足的条件为___________.3、两个数之和为6，乘积等于5，假设设其中一个数为*，可得方程为_____________.4、*高新技术产生生产总值，两年由50万元增加到75万元，假设每年产值的增长率设为*，则方程为___________.5、*化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐月上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设一、二月份平均增长的百分率一样，均为*，可列出方程为_____________.三、解答题1、*商场销售商品收入款：3月份为25万元，5月份为36万元，该商场4、5月份销售商品收入款平均每月增长的百分率是多少？【课后作业】一、填空题1、方程5(*2－*+1)=－3*+2的一般形式是__________，其二次项是__________，一次项是__________，常数项是__________.2、假设关于*的方程是一元二次方程，这时a的取值围是________3、*地开展植树造林活动，两年植树面积由30万亩增加到42万亩，假设设植树面积年平均增长率为*，根据题意列方程_________.二、选择题1、以下方程中，不是一元二次方程的是()A.2*2+7=0B.2*2+2*+1=0C.5*2++4=0D.3*2+(1+*)+1=02、方程*2－2(3*－2)+(*+1)=0的一般形式是()A.*2－5*+5=0 B.*2+5*+5=0C.*2+5*－5=0 D.*2+5=03、一元二次方程的二次项、一次项、常数项依次是()A.7*2,2*,1 B.7*2,－2*，无常数项C.7*2,0,2* D.7*2,－2*,-44、方程*2－=(－)*化为一般形式，它的各项系数之和可能是()A. B.－ C. D.5、假设关于*的方程〔a*+b〕(d－c*)=m(ac≠0)的二次项系数是ac，则常数项为()A.m B.－bd C.bd－m D.－(bd－m)6、假设关于*的方程a(*－1)2=2*2－2是一元二次方程，则a的值是()A.2 B.－2 C.0 D.不等于27、假设*=-1是方程a*2+b*+c=0的解，则()A.a+b+c=1 B.a－b+c=0C.-a+b+c=0 D.a－b－c=0第二讲一元二次方程〔配方法〕【学习目标】1、会用开平方法解形如的方程。2、理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。3、经历列解方程解决实际问题的过程，体会转化的数学思想，增强数学应用意识和能力。【知识要点】1、直接开平方法解一元二次方程：〔1〕把方程化成有一边是含有未知数的完全平方的形式，另一边是非负数的形式，即化成的形式〔2〕直接开平方，解得2、配方法的定义：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。3、用配方法解一元二次方程的步骤：〔1〕利用配方法解一元二次方程时，如果中a不等于1，必须两边同时除以a，使得二次项系数为1.〔2〕移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。〔3〕方程两边同时加上一次项系数一半的平方。〔4〕用直接开平方法求出方程的根。【经典例题】例1、解以下方程：〔1〕*2=4 〔2〕(*+3)2=9例2、配方：填上适当的数，使以下等式成立：〔1〕*2+12*+=(*+6)2〔2〕*2+8*+=(*+)2〔3〕*2―12*+=(*―)2例3、用配方法解方程〔1〕3*2+8*―3=0 〔2〕〔3〕〔4〕例4、请你尝试证明关于*的方程，不管m取何值，该方程都是一元二次方程。例5、一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h〔m〕与时间t〔s〕满足关系：h=15t―5t2，小球何时能到达10m高？【经典练习】一、填空题1、假设*2=225，则*1=__________,*2=__________.2、假设9*2－25=0，则*1=__________,*2=__________.3、填写适当的数使下式成立.①*2+6*+______=(*+3)2②*2－______*+1=(*－1)2③*2+4*+______=(*+______)24、为了利用配方法解方程*2－6*－6=0，我们可移项得___________，方程两边都加上_________，得_____________，化为___________.解此方程得*1=_________，*2=_________.5、将长为5，宽为4的矩形，沿四个边剪去宽为*的4个小矩形，剩余局部的面积为12，则剪去小矩形的宽*为_________.6、如图1，在正方形ABCD中，AB是4cm，△BCE的面积是△DEF面积的4倍，则DE的长为_________.7、如图2，梯形的上底AD=3cm，下底BC=6cm，对角线AC=9cm，设OA=*，则*=_________cm.图1 图2二、选择题1、方程5*2+75=0的根是〔〕A.5B.－5C.±5 D.无实根2、方程3*2－1=0的解是〔〕A.*=± B.*=±3C.*=±D.*=±3、一元二次方程*2－2*－m=0，用配方法解该方程，配方后的方程为〔〕A.(*－1)2=m2+1 B.(*－1)2=m－1C.(*－1)2=1－m D.(*－1)2=m+14、用配方法解方程*2+*=2，应把方程的两边同时〔〕A.加 B.加 C.减 D.减5、*y=9，*－y=－3，则*2+3*y+y2的值为〔〕A.27 B.9 C.54 D.18计算题〔用配方法解以下方程〕〔1〕〔2〕*2+5*－1=0(4)2*2－4*－1=0(5)*2－6*+3=0(6)*2－*+6=0〔7〕〔8〕〔9〕〔10〕四、解答题两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4cm，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少32平方厘米，求大小两个正方形的边长.【课后作业】1、将以下方程两边同时乘以或除以适当的数，然后再写成(*+m)2=n的形式〔1〕2*2+3*－2=0(2)*2+*－2=02、用配方法解以下方程(1)*2+5*－5=0(2)2*2－4*－3=0(3)*2－3*-3=0〔4〕第三讲一元二次方程〔公式法〕【学习目标】1、学会一元二次方程求根公式的推导。2、理解公式法，会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程。3、经历一元二次方程的求根公式的探索过程，体会公式法和配方法的在联系。【知识要点】复习用配方法接一元二次方程的步骤，推导出一元二次方程的求根公式：对于一元二次方程其中，由配方法有。〔1〕当时，得；〔2〕当时，一元二次方程无实数解。2、公式法的定义：利用求根公式接一元二次方程的方法叫做公式法。3、运用求根公式求一元二次方程的根的一般步骤：〔1〕必须把一元二次方程化成一般式，以明确a、b、c的值；〔2〕再计算的值：①当时，方程有实数解，其解为：；②当时，方程无实数解。【经典例题】例1、推导求根公式：〔〕例2、利用公式解方程：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕例3、a，b，c均为实数，且＋｜b＋1｜＋(c＋3)2＝0，解方程例4、你能找到适当的*的值使得多项式A=4*2+2*－1与B=3*2－2相等吗？例5、一元二次方程(m－1)*2＋3m2*＋(m2＋3m【经典练习】1、用公式法解方程3*2+4=12*，以下代入公式正确的选项是〔〕A.*1、2=B.*1、2=C.*1、2=D.*1、2=2、方程*2+3*=14的解是〔〕A.*= B.*=C.*= D.*=3、以下各数中，是方程*2－(1+)*+=0的解的有()①1+②1－③1④－A.0个 B.1个 C.2个 D.3个5、假设代数式*2－6*＋5的值等于12，则*的值为()A．1或5 B．7或－1 C．－1或－5 D．－7或16、关于*的方程3*2－2(3m－1)*＋2m＝15有一个根为－2，则m的值等于()A．2 B．－ C．－2 D．7、当*为何值时，代数式2*2＋7*－1与4*＋1的值相等"9、用公式法解以下各方程〔1〕*2+6*+9=7〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕〔9〕〔10〕〔11〕〔12〕【课后作业】1、方程(*－5)2＝6的两个根是()A．*1＝*2＝5＋ B．*1＝*2＝－5＋C．*1＝－5＋，*2＝－5－ D．*1＝5＋，*2＝5－2、利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为__________，确定__________的值，当__________时，把a,b,c的值代入公式，*1，2=____________求得方程的解.3、当*为何值时，代数式2*2＋7*－1与*2－19的值互为相反数"4、用公式法解以下方程：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕第四讲一元二次方程〔分解因式法〕【学习目标】1、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。2、会用分解因式〔提公因式法、公式法〕解*些简单的数字系数的一元二次方程。3、会根据题目的特点灵活的选择各种方法解一元二次方程。【知识要点】1、分解因式法解一元二次方程：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法称为分解因式法。2、分解因式法的理论依据是：假设，则或3、用分解因式法解一元二次方程的一般步骤：①将方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是一元一次方程的解。【典型例题】例1、〔1〕方程的根是__________〔2〕方程的根是__________用分解因式法解以下方程〔2〕〔4〕〔6〕〔7〕〔8〕(*－1)2－4(*－1)－21＝0．例3、2－是方程*2+b*－1=0的一个根，则b=_________，另一个根是_________.例4、a2－5ab+6b2=0，则等于〔〕例5、解关于*的方程：(a2－b2)*2+4ab*＝a2－b2．例6、*为何值时，等式【经典练习】一、填空题.1、用因式分解法解方程9=*2-2*+1(1)移项得；(2)方程左边化为两个数的平方差，右边为0得；(3)将方程左边分解成两个一次因式之积得；(4)分别解这两个一次方程得*1=，*2=。2、〔1〕方程t(t＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2*＋1)2＋3(2*＋1)＝0的解为__________．3、〔1〕用因式分解法解方程5〔*+3〕-2*〔*+3〕=0，可把其化为两个一元一次方程和求解。〔2〕方程*2－16=0，可将方程左边因式分解得方程__________，则有两个一元一次方程____________或____________，分别解得：*1=__________,*2=__________.4、如果方程*2-3*+c=0有一个根为1，则c=，该方程的另一根为，该方程可化为〔*-1〕〔*〕=05、*2－7*y+12y2=0，则*与y的关系是_________.6、小英、小华一起分苹果，小华说："我分得苹果数是你的3倍。〞小英说："如果将我的苹果数平方恰好等于你所得的苹果数。〞则小英、小华分得的苹果个数分别是。二、选择题1、方程3*2=1的解为〔〕A.± B.± C. D.±2、2*(5*－4)=0的解是〔〕A.*1=2，*2= B.*1=0，*2=C.*1=0，*2= D.*1=，*2=3、以下方程中适合用因式分解法解的是〔〕A.*2+*+1=0 B.2*2－3*+5=0C.*2+(1+)*+=0 D.*2+6*+7=04、假设代数式*2+5*+6与－*+1的值相等，则*的值为〔〕A.*1=－1，*2=－5 B.*1=－6，*2=1C.*1=－2，*2=－3 D.*=－15、y=6*2－5*+1，假设y≠0，则*的取值情况是〔〕A.*≠且*≠1 B.*≠C.*≠ D.*≠且*≠6、方程2*(*+3)=5(*+3)的根是〔〕A.*= B.*=－3或*=C.*=－3 D.*=－或*=37、用因式分解法解方程，以下方法中正确的选项是A.(2*－2)(3*－4)=0∴2－2*=0或3*－4=0B.(*+3)(*－1)=1∴*+3=0或*－1=1C.(*－2)(*－3)=2×3∴*－2=2或*－3=3D.*(*+2)=0∴*+2=08、方程a*(*－b)+(b－*)=0的根是A.*1=b,*2=a B.*1=b,*2=C.*1=a,*2= D.*1=a2,*2=b29、假设一元二次方程(m－2)*2+3(m2+15)*+m2－4=0的常数项是0，则m为〔〕A.2 B.±2 C.－2 D.－10三、解以下关于*的方程(1)*2＋12*＝0； 〔2)4*2－1＝0；(3)(*－1)(*＋3)＝12； (4)*2－4*－21＝0；(5)3*2＋2*－1＝0；(6)10*2－*－3＝0；(7)4(3*+1)2-9=0(8)5(2*-1)=(1-2*)(*+3)【课后作业】一、选择题1、方程4*2-3*=0，以下说确的是〔〕A.只有一个根*=B.只有一个根*=0C.有两个根*1=0,*2=D.有两个根*1=0,*2=-2、如果(*-1)(*+2)=0，则以下结论正确的选项是〔〕A.*=1或*=-2B.必须*=1C.*=2或*=-1D.必须*=1且*=-23、假设方程(*-2)(3*+1)=0，则3*+1的值为〔〕A.7B.2C.0D.7或04、方程5*(*＋3)＝3(*＋3)解为()A．*1＝，*2＝3 B．*＝C．*1＝－，*2＝－3 D．*1＝，*2＝－35、方程(y－5)(y＋2)＝1的根为()A．y1＝5，y2＝－2 B．y＝5 C．y＝－2 D．以上答案都不对二、用因式分解法解以下方程：(1)t(2t－1)＝3(2t－1)；(2)y2＋7y＋6＝0；(3)y2－15＝2y(4)(2*－1)(*－1)＝1．第五讲判别式和根与系数的关系【学习目标】使学生会运用根与系数关系解题。对一元二次方程以及其根有更深刻的了解，培养分析问题和解决问题的能力。【知识要点】1、一元二次方程的判别式：〔1〕当时，方程有两个不相等的实数根，。〔2〕当时，方程有两个相等的实数根，。〔3〕当时，方程无实数解。2、一元二次方程根与系数关系的推导：对于一元二次方程其中，设其根为，由求根公式，有，3、常见的形式：〔1〕〔2〕〔3〕【典型例题】例1、当m分别满足什么条件时，方程2*2-(4m+1)*+2m2〔1〕有两个相等实根；〔2〕有两个不相实根；〔3〕无实根；(4)有两个实根.例2、方程的一个根是3，求方程的另一个根及c的值。例3、方程的根是*和*，求以下式子的值：〔1〕+〔2〕例4、关于*的方程3*2-m*-2=0的两根为*1，*2，且，求①m的值；②求*12+*22的值.例5、关于的方程〔1〕有两个不相等的实数根，且关于的方程〔2〕没有实数根，问取什么整数时，方程〔1〕有整数解？【经典练习】一、选择题1、方程的根的情况是〔〕A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根C、没有实数根D、与k的取值有关2、关于*的一元二次方程的两根互为倒数，则k的取值是().A、B、C、D、03、设方程的两根为和，且,则q的值等于().A、B、-2C、D、4、如果方程的两个实根互为相反数，则的值为〔〕A、0B、－1C、1D、±15、≠0，方程的系数满足，则方程的两根之比为〔〕A、0∶1B、1∶1C、1∶2D、2∶3二、填空题1、方程的两个根分别是*和*，则=_____，=_____2、方程的两个根分别是2与3，则，3、方程的两根之差为5，k=4、〔1〕方程*2-12*+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m=〔2〕方程的一个根是另一个根的5倍，则m=；5、以数为根构造一个一元二次方程三、简答题1、讨论方程的根的情况并根据以下条件确定m的值。〔1〕两实数根互为倒数；〔2〕两实数根中有一根为1。2、求证：不管k取什么实数，方程一定有两个下相等的实数根？3、方程的一个根是2，求另一个根及c的值。4、方程2的两个根分别是*和*，求以下式子的值：〔1〕〔*+2〕〔*+2〕〔2〕5、两个数的和等于-6，积等于2，求这两个数.【课后作业】1、如果-5是方程5*2+b*-10=0的一个根，求方程的另一个根及b的值.2、设关于*的方程的两实数根的平方和是11，求k的值。3、设*1,*2是方程2*2+4*-3=0的两个根，利用根与系数关系，求以下各式的值：(1)(*1-1)(*2-1)(2)+第六讲列方程解应用题【学习目标】1、学会分析具体问题中的数量关系，建立数学模型并解决实际问题2、加强学生逻辑推理能力和分析问题的能力培养【知识要点】一元二次方程的解法：①配方法；②公式法；③十字相乘法。列方程解应用题的一般步骤：〔1〕要读懂题目中的关键词以及所涉及的运算；〔2〕用字母*表示未知数，并准确的用含有*的代数式表示题目中涉及的量；〔3〕努力找出相等关系，列出方程并求出其根；〔4〕结合实际情况选择恰当的根。【典型例题】例1、台门中学为美化校园，准备在长32米，宽20米的长方形场地上，修筑假设干条道路，余下局部作草坪，并请全校学生参与图纸设计．现有三位学生各设计了一种方案〔图纸如下所示〕，问三种设计方案中道路的宽分别为多少米？⑴甲方案图纸为图1，设计草坪总面积540平方米．解：设道路宽为米，根据题意，得答：本方案的道路宽为米．⑵乙方案图纸为图2，设计草坪总面积540平方米．解：设道路宽为米，根据题意，得答：本方案的道路宽为米．⑶丙方案图纸为图3，设计草坪总面积570平方米．解：设道路宽为米，根据题意，得例2、*乡产粮大户，1995年粮食产量为50吨，由于加强了经营和科学种田，1997年粮食产量上升到60.5吨．求平均每年增长的百分率．例3、有一件工作，如果甲、乙两队合作6天可以完成；如果单独工作，甲队比乙队少用5天，两队单独工作各需几天完成"例4、*商店将每件进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件，现在采用提高商品售价减少销售量的方法增加利润，如果这种商品每件的销售价提高0.5元其销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？例5、有一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字的和是8。如把十位上的数字和个位上的数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数，就得到1855。求原来的两位数。例6、甲、乙二人分别从相距20km的A、B两地以一样的速度同时相向而行。相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1km，结果甲到达B地后乙还要30分钟才能到达A地。求乙每小时走多少km"【经典练习】1、要做一个高是8，底面的长比宽多5，体积是528的长方体木箱，问底面的长和宽各是多少？2、*商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额到达了193.6万元，求这两个月的平均增长率.3、A、B两地相距82km，甲骑车由A向B驶去，9分钟后，乙骑自行车由B出发以每小时比甲快2km的速度向A驶去，两人在相距B点40km处相遇。问甲、乙的速度各是多少"4、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，假设每件商品售价a元，则可卖出〔350－10a〕件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店方案要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？5、王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入"少儿银行〞，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给"希望工程〞，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.〔假设不计利息税〕6、甲做90个零件所用的时间和乙做120个零件所用的时间相等，又知每小时甲、乙二人一共做了35个零件，求甲、乙每小时各做多少个零件"【课后作业】1、假设两个连续正整数的平方和为313，求这两个连续正整数。2、一块面积是600m2的长方形土地，它的长比宽多10m3、市按"九五〞国民经济开展规划要求，1997年的社会总产值要比1995年增长21%，求平均每年增长的百分率．〔提示：基数为1995年的社会总产值，可视为1〕4、客机在A地和它西面1260km的B地之间往返，*天，客机从A地出发时，刮着速度为60km/h的西风，回来时，风速减弱为40km/h，结果往返的平均速度，比无风时的航速每小时少17km。无风时，在A与B之间飞一趟要多少时间"第七讲一元二次方程〔综合〕【学习目标】1、复习一元二次方程整章的知识，对该章的容有整体的掌握2、进一步掌握解一元二次方程的各种方法，并会灵活运用3、加强学生逻辑推理能力和分析问题的能力培养【知识要点】1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为〔a、b、c、为常数，〕的形式，这样的方程叫做一元二次方程。2、用配方法解一元二次方程3、用公式法解一元二次方程〔1〕当时，，方程有两个不相等的实数根。〔2〕当时，，方程有两个相等的实数根。〔3〕当时，一元二次方程无实数解。4、用分解因式法解一元二次方程：把方程变形为，则或5、列一元二次方程解实际问题，灵活运用各种方法解一元二次方程【典型例题】例1、将方程－5*2+1=6*化为一般形式为__________.其二次项是__________，一次项系数为__________，常数项为__________.例2、方程，当_________时，方程为一元二次方程；当________时，方程为一元一次方程。例3、一元二次方程*2－2*－m=0，用配方法解该方程，配方后的方程为〔〕A.(*－1)2=m2+1 B.(*－1)2=m－1C.(*－1)2=1－m D.(*－1)2=m+1例4、用恰当的方法解一元二次方程〔1〕3*2－10*+6=0〔2〕3*(2－3*)=－1〔3〕〔4〕(2*+1)2+3(2*+1)+2=0例5、假设，且，试求的值？例6、如右图，*小区规划在长32米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与AD平行，一条与AB平行，其余局部种草，假设使草坪的面积为566米2，问小路应为多宽？例7、*商店经销一种销售本钱为每千克40元的水产品，据市场分析，假设按每千克50元销售一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，商店想在月销售本钱不超过1万元的情况下，使得月销售利润到达8000元，销售单价应定为多少？【经典练习】一、填空题1、将方程－5*2+1=6*化为一般形式为__________.其二次项是__________，一次项系数为__________，常数项为__________.2、如果方程a*2+5=(*+2)(*－1)是关于*的一元二次方程，则a__________.3、填写适当的数使下式成立.①*2+6*+______=(*+3)2②*2－______*+1=(*－1)2③*2+4*+______=(*+______)24、当__________时，一元二次方程有一个根是05、两个数的差是８,积是48,则这两个数是、6、方程*2－16=0，可将方程左边因式分解得方程__________，则有两个一元一次方程____________或____________，分别解得：*1=__________,*2=__________.7、一矩形舞台长am，演员报幕时应站在舞台的黄金分割处，则演员应站在距舞台一端_________m远的地方.二、选择题1、假设关于*的方程a(*－1)2=2*2－2是一元二次方程，则a的值是〔〕A.2 B.－2 C.0 D.不等于22、假设*=1是方程a*2+b*+c=0的解，则〔〕A.a+b+c=1 B.a－b+c=0C.a+b+c=0 D.a－b－c=03、2*2－2*+1的值〔〕A恒大于0B恒小于0C恒等于0D可能大于0,也可能小于04、*y=9，*－y=－3，则*2+3*y+y2的值为〔〕A.27 B.9 C.54 D.185、方程5*2+75=0的根是()A.5 B.－5C.±5 D.无实根6、假设一元二次方程无实数根，则k的最小整数值是〔〕A.-1 B.2C.3 D.4三、用恰当的方法解一元二次方程(1)*2+5*－1=0(2)2*2－4*－1=0(3)3(y－1)2=27(4)3(y－1)2=27(5)(6)四、解应用题1、*省为解决农村饮水问题，省财政投资20亿元给各市改水工程予以一定比例补助。2008年，A市在省补助根底上投入600万元，方案以后两年以一样增长率投资，到2010年，该市投资1176万元。〔1〕求A市投资"改水工程〞的年平均增长率；〔2〕2008到2010年A市共投资多少万元？2、*项工程需要在规定日期完成。如果由甲去做，恰好能够如期完成；如果由乙去做，要超过规定日期3天才能完成。现由甲、乙合做2天，剩下的工程由乙去做，恰好在规定日期完成。求规定的日期。【课后作业】1、如果方程a*2+5=(*+2)(*－1)是关于*的一元二次方程，则a__________。2、方程3*2－8=7*化为一般形式是________，a=__________,b=__________,c=__________,方程的根*1=__________,*2=_________。3、如果*=1是方程2*2－3m*+1=0的一个根，则m=，另一个根为。4、假设关于*的方程有两个实数根，则k的取值围是_________。5、有一长40厘米、宽30厘米的桌面，桌面正中间铺有一块垫布，垫布的面积是桌面的面积的，而桌面四边露出局部宽度一样，如果设四周宽度为*厘米，则所列一元二次方程是_________。6、用适当的方法解方程〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕7、如图，在△ABC中，∠B=90°点P从点A开场，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开场，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2.第八讲一元二次方程检测一、填空题1、方程(*–1)(2*+1)=2化成一般形式是，它的二次项系数是.2、关于*的方程是(m2–1)*2+(m–1)*–2=0，则当m时，方程为一元二次方程；当m时，方程为一元一次方程.3、方程的根是.4、当=时，方程有一根是0.5、方程*2+2*+m=0有两个相等实数根，则m=。6、关于*的方程2*2+(m2–9)*+m+1=0，当m=时，两根互为倒数；当m=时，两根互为相反数.7、关于*的方程2*2－3*+m=0，当时，方程有两个正数根；当m时，方程有一个正根，一个负根；当m时，方程有一个根为0。8、一个两位数，它的数值等于它的个位上的数字的平方的3倍，它的十位上的数字比个位上的数字大2，假设设个位数字为，列出求这个两位数的方程_______________________。9、方程的两根平方和是5，则=.10、*林场第一年造林200亩，第一年到第三年共造林728亩，假设设每年增长率为*，则应列出的方程是________________________。二、选择题1、以下方程中，无论取何值，总是关于*的一元二次方程的是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2、假设与互为倒数，则实数为〔〕〔A〕±〔B〕±1〔C〕±〔D〕±3、方程的根的情况是〔〕〔A〕方程有两个不相等的实数根〔B〕方程有两个相等的实数根〔C〕方程没有实数根〔D〕方程的根的情况与的取值有关4、方程，则以下说中，正确的选项是〔〕〔A〕方程两根和是1〔B〕方程两根积是2〔C〕方程两根和是－1〔D〕方程两根积是两根和的2倍5、假设一元二次方程2*〔k*－4〕－*2＋6＝0无实数根，则k的最小整数值是〔〕〔A〕－1〔B〕2〔C〕3〔D〕46、如果关于*的一元二次方程的两个解分别是，则这个一元二次方程是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕7、假设c为实数，方程*2－3*＋c＝0的一个根的相反数是方程*2＋3*－3＝0的一个根，则方程*2－3*＋c＝0的根是〔〕〔A〕1，2〔B〕－1，－2〔C〕0，3〔D〕0，－38、一工厂方案2007年的本钱比2005年的本钱降低15%，如果每一年比上一年降低的百分率为*，则求平均每一年比上一年降低的百分率的方程是()〔A〕(1-*)2=15%〔B〕(1+*)2=1+15%〔C〕(1-*)2=1+15%〔D〕(1-*)2=1-15%三、解以下方程：〔1〕〔2〕4*2–8*+1=0〔用配方法〕(3)3*2–4*–1=0(4)25(*+3)2－16(*+2)2=0(5)(2*+1)2+3(2*+1)+2=0(6)*2－*－*+=0四、解答题1、求证：不管k取什么实数，方程*2-(k+6)*+4(k-3)=0一定有两个不相等的实数根.2、假设方程*2＋m*－15＝0的两根之差的绝对值是8，求ｍ的值.3、等腰三角形底边长为8，腰长是方程的一个根，求这个三角形的腰。一元二次方程有一个根为零，求的值。5、a、b、c为三角形三边长，且方程b(*2-1)-2a*+c(*2+1)=0有两个相等的实数根.试判断此三角形形状，说明理由.6、*人承包在一定时间生产*种产品960件，开场工作后每个月比原方案多生产40件，结果提前4个月完成，假设每月生产数量都一样，际上工作了多少个月"7、*科技公司研制成功一种产品，决定向银行贷款200万元资金用于生产这种产品，贷款的合同上约定两年到期时，一次性还本付息，利息为本金的8﹪。该产品投放市场后，由于产销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本息外，还盈余72万余。假设该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数一样，试求这个百分数。第九讲直角三角形与勾股定理【学习目标】1、掌握直角三角形全等的判定定理，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。2、了解勾股定理及其逆定理的证明方法。3、进一步掌握推理证明的方法，拓开展演绎推理能力，培养思维能力。【知识要点】1、直角三角形HL全等判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。2、勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。3、勾股定理的应用：直角三角形的任意两边的边长利用勾股定理可求第三边的边长，即假设a，b，c是RtABC的三边，其中c为斜边，则，，4、勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。【典型例题】例1、在Rt△ABC中，∠C=90°，且DE⊥AB，CD=ED，求证：AD是∠BAC的角平分线。例2、折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕〔对角线〕BD，再折叠AD边与对角线BD重合，得折痕DG，如图3所示，假设AB=2，BC=1，求AG的长.例3、如图，BA⊥DA于A，AD=12，DC=9，CA=15，求证：BA∥DC。例4、如图，∠ACB=∠ADB=90°，AC=AD，E是AB上的一点。求证：CE=DE。例5、如图1，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，O是BD与CE的交点，求证：BO=CO.例6、旗杆AB高17米，在离旗杆顶端B处1米的地方系一条绳索，绳索长20米，将绳索拉直，绳索的另一端恰好到地面上的C处，求：A,C间的距离。【经典练习】一、填空题1、Rt△ABC中，∠C=90°，如图〔1〕，假设b=5，c=13，则a=__________；假设a=8，b=6，则c=__________.2、等边△ABC，AD为它的高线，如图〔2〕所示，假设它的边长为2，则它的周长为__________，AD=__________，BD∶AD∶AB=__________∶__________∶__________. 〔1〕 〔2〕 〔3〕3、如图〔3〕，正方形ABCD，AC为它的一条对角线，假设AB=2，则AC=__________；假设AC=2，则AB=__________；AC∶AB=__________∶__________.4、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则a∶b∶c=_________.5、假设△ABC中，a=b=5，c=5，则△ABC为_________三角形.6、如图〔4〕，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE=DF，AB=DC，则△___________≌△________〔HL〕.7、：如图〔5〕，BE，CF为△ABC的高，且BE=CF，BE，CF交于点H，假设BC=10，FC=8，则EC=________.8、：如图〔6〕，AB=CD，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，且DE=BF，∠D=60°，则∠A=_________°.〔4〕 〔5〕 〔6〕二、选择题1、假设三角形的三边分别为a,b,c，则下面四种情况中，构成直角三角形的是〔〕A.a=2,b=3,c=4 B.a=12,b=5,c=13C.a=4,b=5,c=6 D.a=7,b=18,c=172、以下条件不可以判定两个直角三角形全等的是〔〕A.两条直角边对应相等 B.有两条边对应相等C.一条边和一锐角对应相等 D.一条边和一个角对应相等3、O是∠BAC一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是〔〕A.HL B.AASC.SSS D.ASA4、在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，如以下图，则以下各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是第3题第4题第4题A.AB=A′B′=5，BC=B′C′=3 B.AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°C.AC=A′C′=5，BC=B′C′=3 D.AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°三、证明：1、∠ABC=∠ADC=90°，E是AC上一点，AB=AD，求证：EB=ED.2、：如以下图，△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=.〔1〕求DC的长；〔2〕求AD的长；〔3〕求AB的长；〔4〕求证：△ABC是直角三角形.3、为修铁路需凿通隧道AC，测得∠A=50°，∠B=40°，AB=5km,BC=4km，假设每天凿隧道0.3km，问几天才能把隧道凿通？4、如图，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，BD=CD，AB=AC，求证：EB=FC。【课后作业】1、Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，假设∠A=60°，AB=4cm，则CD=_________.2、Rt△ABC中，∠C=90°，假设a=5，c=13，则b=_________.3、直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边上的高为_________.4、在Rt△ABC中，∠C=90°，假设a∶b=1∶2，且c=5，则ab=_________.5、Rt△ABC中∠C=90°，CD是高，BC=3，AC=4，则BD=_________.6、假设直角三角形的三条边长分别是6，8，a则〔1〕当6,8均为直角边时，a=__________；〔2〕当8为斜边，6为直角边时，a=__________.7、，如以下图，等边三角形ABC，AD为BC边上的高线，假设AB=2，求△ABC的面积.第十讲垂直平分线【学习目标】1、掌握线段垂直平分线的定理和逆定理。2、能应用线段的垂直平分线的定理和逆定理进展作图和证明。3、进一步掌握推理证明的方法，拓开展演绎推理能力，培养思维能力。【知识要点】线段垂直平分线的性质定理的证明以及应用。定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。定理解释：具备MN垂直平分AB，P是MN上任意一点这样的条件，就可得出线段垂直平分线的性质定理的逆定理定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。定理解释：具备P是线段AB〔上〕外一点，且这样的条件，就可得出结论：P在AB的垂直平分线上。用尺规作线段的垂直平分线一般作法为：〔1〕分别以线段AB的两个端点A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，；两弧交于点M、N；〔2〕作直线MN，作直线MN就是AB的垂直平分线。三角形三边的垂直平分线定理及应用定理：三角形三条边的垂直平分线交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等。【典型例题】例1、如图，在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线。1〕则BD=。2〕假设∠B=40°，则∠BAC=°，∠DAB=°，∠DAC=°，∠CDA=°。3〕假设AC=4，BC=5，则DA+DC=，△ACD的周长为。例2、：如图(1)，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=5，BC边的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E。求△ABE的周长。例3、ABNM公路边要建一个家乐福超市，使它到A、B两居民点的距离相等，如何确定家乐福超市的位置？ABNMB例4、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于点D，如果BD=8cm，求AC的长。BDDCACA例5、如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABC的周长为12cm，△ABD的周长为9cm，求AC的长度。例6、在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长是13cm，求△ABC的周长。【经典练习】一、填空题1、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，DE为AB的中垂线，则∠1=°，∠C=°，∠3=°，∠2=°；假设△ABC的周长为16cm，BC=4cm，则AC=，△BCE的周长为。2、三角形三边的垂直平分线交于一点，且这点到三个顶点的距离_________.3、线段AB外两点P、Q，且PA=PB，QA=QB，则直线PQ与线段AB的关系是_________.4、底边AB=a的等腰三角形有_________个，符合条件的顶点C在线段AB的_________上.5、直线l上一点Q满足QA=QB，则Q点是直线l与_________的交点.6、在△ABC中，AB=AC=6cm，AB的垂直平分线与AC相交于E点，△BCE周长为10cm，则BC=___cm.7、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，AB的垂直平分线与AC相交于E点，连结BE，假设∠CBE∶∠EBA=1∶4，则∠A=______度，∠ABC=_________度.二、选择题1、以下命题中正确的命题有〔〕①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2、以下作图语句正确的选项是〔〕A.过点P作线段AB的中垂线B.在线段AB的延长线上取一点C，使AB=BCC.过直线a，直线b外一点P作直线MN使MN∥a∥bD.过点P作直线AB的垂线3、△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线交直线BC于D，假设∠BAD－∠DAC=22.5°，则∠B等于〔〕°°°或67.5° D.无法确定三、解答题1、，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC.2、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N.求证：CM=2BM.在△ABC中，AB=AC=a，AB的垂直平分线交AC于D点，假设△BCD的周长为m，求证：BC=m－a.【课后作业】一、填空题1、如左以下图，点P为△ABC三边中垂线交点，则PA__________PB__________PC.2、如右上图，在锐角三角形ABC中，∠A=50°，AC、BC的垂直平分线交于点O，则∠1_______∠2，∠3______∠4，∠5_______∠6，∠2+∠3=______度，∠1+∠4=_______度，∠5+∠6=______度，∠BOC=_______度.3、如左以下图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD_______DC，点D在_______的垂直平分线上.4、如右上图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，则∠B_____∠1，∠C____∠2；假设∠BAC=126°，则∠EAG=________度.5、如左以下图，AD是△ABC中BC边上的高，E是AD上异于A，D的点，假设BE=CE，则△_______≌△______(HL)；从而BD=DC，则△______≌△_______(SAS)；△ABC是______三角形.6、如右上图，∠BAC=120°，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则∠ADB=__________度.第十一讲角平分线定理【学习目标】1、掌握角平分线的定理和逆定理。2、能应用角平分线定理和逆定理进展作图和证明。3、进一步掌握推理证明的方法，拓开展演绎推理能力，培养思维能力。【知识要点】角平分线性质定理的证明及应用。定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理解释："点到这个角边的距离〞实际上就是"点到这角两边所作垂线段的长度〞，定理即说明这两条垂线段相等。角平分线的性质定理的逆定理的证明以及应用。逆定理：在一个角的部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。4、用尺规作角的平分线：【典型例题】例1、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且∠1=∠2。求证：OB=OC。例2、，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。求证：AF为∠BAC的平分线。例3、如以下图，一个工厂在公路西侧，在河的南岸，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，且与河上公路桥南首〔点A〕的距离为300米.请用量角器和刻度尺在图中标出工厂的位置.例4、如右图，E、D分别是AB、AC上的一点，∠EBC、∠BCD的角平分线交于点M，∠BED、∠EDC的角平分线交于N.求证：A、M、N在一条直线上.证明：过点N作NF⊥AB，NH⊥ED，NK⊥AC，过点M作MJ⊥BC，MP⊥AB，MQ⊥AC∵EN平分∠BED，DN平分∠EDC∴NF__________NH，NH__________NK∴NF__________NK∴N在∠A的平分线上又∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB∴__________=__________，__________=__________∴__________=__________∴M在∠A的__________上∴M、N都在∠A的__________上∴A、M、N在一条直线上例5、如图1，OC平分，P是OC上一点，D是OA上一点，E是OB上一点，且PD=PE，求证：。【经典练习】填空题1、∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5cm，则M到OB的距离为_________.2、如图1，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.图1图2图33、图2，在△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3cm，BD=5cm，则BC=____cm.4、图3，AB、CD相交于点E，过E作∠AEC及∠AED的平分线PQ与MN，则直线MN与PQ的关系是_________.二、选择题1、给出以下结论，正确的有〔〕①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形平分线都是射线；③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2、以下结论正确的有〔〕①如果(*－1)(*－2)=0，则*=1；②在△ABC中，假设∠B是钝角，则∠A、∠C一定是锐角；③如果两个角相等，则两个角互为对顶角；④如果在一个角的点，到这个角的两边距离相等，则这个点在角的平分线上A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3、，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，假设BC=32，且BD∶CD=9∶7，则D到AB的距离为〔〕A.18 B.16 C.14 D.124、两个三角形有两个角对应相等，正确说法是〔〕A.两个三角形全等B.两个三角形一定不全等C.如果还有一角相等，两三角形就全等D.如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等5、以下命题中是真命题的是A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等B.相等的角是对顶角C.余角相等的角互余D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等6、如图4，OB、OC是∠AOD的任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，假设∠MON=α，∠BOC=β，则表示∠AOD的代数式为〔〕A.2α－β B.α－βC.α+β D.2α图4图57、如右上图5，AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF，②△BDF≌△CDE，③D在∠BAC的平分线上，以上结论中正确的选项是〔〕A.只有① B.只有②C.只有①和② D.①，②与③三、解答题1、如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.2、，如图，过菱形ABCD的顶点C作,分别交AB、AD的延长线于E、F.试说明CE=CF【课后作业】一、填空题1、如图〔1〕，AD平分∠BAC，点P在AD上，假设PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF.2、如图〔2〕，PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP__________∠CAP.3、如图〔3〕，∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，假设AD=，则PE=__________.〔1〕 〔2〕 〔3〕4、，如图4，∠AOB=60°,CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，假设CD=CE，则∠COD+∠AOB=__________度.5、如图〔5〕，MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△DOM=6cm2，OP=3cm，则MQ=__________cm. 图4 图5二、解答题：如以下图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，假设BC=32，且BD∶CD=9∶7，求：D到AB边的距离.第十二讲等腰、等边三角形【学习目标】1、运用等腰三角形的性质定理及其推论证明与等腰三角形有关的角相等或线段相等。2、运用等边三角形的性质定理及其推论证明与等边三角形有关的角相等或线段相等。3、进一步掌握推理证明的方法，拓开展演绎推理能力，培养思维能力。【知识要点】1、等腰三角形性质定理：等腰三角形的两个底角相等〔简称"等边对等角〞〕2、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简述为"三线合一〞3、等边三角形的性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于。4、等腰三角形、等边三角形的判定定理：〔1〕有两个角相等的三角形是等腰三角形〔简称为：等角对等边〕〔2〕有一个角等于的等腰三角形是等边三角形。〔3〕在直角三角形中，如果一个锐角等于，则它所对的直角边等于斜边的一半。〔4〕三个角都相等的三角形是等边三角形5、等腰三角形中的特殊线段：〔1〕两底角的平分线；〔2〕两要上的高；〔3〕两腰上的中线；〔4〕底边上的高上的任一点向两腰所引的垂线段对应相等。【典型例题】例1、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AC∠BAC=100°。求∠1、∠3、∠B的度数。例2、如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，D是△ABC的边BC上的一点，连接AD、BE。求证：AD=BE。例3、如图，中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD=CE。求证：是等腰三角形。例4、：如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB、AC于D、E。求证：△ADE是等边三角形例5、：如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的角平分线。求证：BD=CE。*例6、如图，△ABC是等边三角形，BD=CE，∠1=∠2。求证：△ADE是等边三角形。【经典练习】一、填空题1、等腰三角形一个角的度数为30°，则它的底角的度数是_________．2、等腰三角形的两边长分别为3厘米和6厘米，这个三角形的周长为_________3、一个等边三角形的角平分线、高、中线的总条数为_________.4、由在同一三角形中"等角对等边〞"等边对等角〞两个定理我们可以联想到大边对_________，大角对_________.5、如图〔1〕，在中，平分，则D点到AB的距离为________．6、如图〔2〕，在中，平分，假设，则．图1图2图3图4如图〔3〕，，AB的垂直平分线交AC于D，则8、如图〔4〕，中，DE垂直平分的周长为13，则的周长为__________．二、选择题1、给出以下命题，正确的有〔〕①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2、假设等腰△ABC的顶角为∠A，底角为∠B=α，则α的取值围是〔〕A.α＜45° B.α＜90°C.0°＜α＜90° D.90°＜α＜180°3、以下命题，正确的有〔〕①三角形的一条中线必平分该三角形的面积；②直角三角形中30°角所对的边等于另一边的一半；③有一边相等的两个等边三角形全等；④等腰三角形底边上的高把原三角形分成两个全等的三角形A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4、假设三角形的一边等于另一边的一半，则这边所对的角度为〔〕A.30° B.45° C.60° D.无法确定5、如果三角形一边的中线和这边上的高重合，则这个三角形是〔〕A.等边三角形 B.等腰三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形6、△ABC中，AB=AC，CD是△ABC的角平分线，延长BA到E使DE=DC，连结EC，假设∠E=51°，则∠B等于〔〕A.60° B.52° C.51° D.78°7、在△ABC中∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，CD⊥AB于D点，AB=a，则BD的长为〔〕A. B. C. D.以上都不对三、解答题1、如图，求作一点P，使，并且使点P到的两边的距离相等，并说明你的理由．2、如图，在AB=AC的△ABC中，D点在AC边上，使BD=BC，E点在AB边上，使AD=DE=EB，求∠EDB.【课后作业】填空题1、底与腰不等的等腰三角形有__________条对称轴，等边三角形有__________条对称轴.请你在图〔1〕中作出等腰△ABC，等边△DEF的对称轴.(1) (2)2、如图〔2〕，△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD，垂足为D、E为AC的中点，AD=DE=6cm则∠ACD=_______°,AC=_________cm,∠DAC=__________°，△ADE是__________三角形.3、如左以下图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E，如果AB=8cm，则BD=__________cm，∠BDE=〔__________〕°,BE=__________cm.4、如右上图，Rt△ABC中，∠A=30°,AB+BC=12cm，则AB=__________cm.二、选择题1、以下说法不正确的选项是〔〕A.等边三角形只有一条对称轴。B.线段AB只有一条对称轴。C.等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线。D.等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线。2、以下命题不正确的选项是〔〕A.等腰三角形的底角不能是钝角。B.等腰三角形不能是直角三角形。C.假设一个三角形有三条对称轴，则它一定是等边三角形。D.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形。

第十三讲综合运用【学习目标】1、复习本章的各个知识要点，并加以检测。2、进一步掌握推理证明的方法，加强学生逻辑推理能力和分析问题的能力培养。【知识要点】1、勾股定理及其逆定理。2、直角三角形HL全等判定定理。3、线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。4、角平分线的性质定理及其逆定理。5、等腰三角形、等边三角形的性质定理及其逆定理。【典型例题】例1、公路旁有一棵大树高为5.4米，在刮风时被吹断，断裂处距地面1.5米，请你通过计算说明在距离该大树多大围将受到影响。例2、：如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：OB=OC例3、如右图，P是∠AOB的平分线OM上任意一点，PE⊥CA于E，PF⊥OB于F，连结EF.求证：OP垂直平分EF.例4、：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD.求证：D在∠BAC的平分线上.例5、如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数.例6、：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD．求证：BD＝DE．【经典练习】一、选择题1、：如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A的度数是〔〕A30°B36°C45°D54°2、如图，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是〔〕A.45°B.55°C.60°D.75°3、如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF．②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是〔〕A.1个B.2个C.3个D.4个4、如图，以点A和点B为两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作出〔〕A.2个B.4个C.6个D.8个5、如图，△ABC中，AB=BD=AC，AD=CD，则∠ADB的度数是〔〕A.36°B.45°C.60°D.72°6、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CD、BE是△ABC的角平分线，CD、BE相交于点O，则图中等腰三角形有〔〕A.6个B.7个C.8个D.9个7、等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为〔〕A.36°B.45°C.60°D.72°8、等腰直角三角形的斜边长为a，则其斜边上的高为〔〕A.B.C.D.9、以下两个三角形中，一定全等的是〔〕A有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形B两个等边三角形C有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形D有一条边相等，有一个角相等的两个等腰三角形二、填空题1、在△ABC中，∠A－∠C＝25°，∠B－∠A＝10°，则∠B＝____________；2、等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是____________；3、在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，∠B＝70°，BC＝15cm，则∠BAC＝____________，∠DAC＝____________，BD＝_________