2023届高三数学一轮基础巩固第9章第3节空间点、直线、平面之间的位置关系（含解析）新人教B版

PAGE1-【走向高考】20１６届高三数学一轮基础巩固第9章第3节空间点、直线、平面之间的位置关系新人教B版一、选择题１．(201５·河南省实验中学期中)若m,n是两条不同的直线，α,β，γ是三个不同的平面，则下列为真命题的是(）A.若m⊂β,α⊥β，则m⊥αＢ.若α∩γ=m,β∩γ=n，ｍ∥n，则α∥βC.若m⊥β，m∥α,则α⊥βＤ.若α⊥γ，α⊥β,则β⊥γ[答案]Ｃ［解析］在长方体ＡBCＤ－Ａ1Ｂ1C1D1中,①取AＤD1A1为α,ABＣD为β，则α⊥β,取BＣ为m，则ｍ⊂β，知A错;②取AＢCD为α,取ＡDD1A1为γ,BCＣ1B1为β,则α⊥γ,α⊥β,但β∥γ，知D错;取三棱柱的三个侧面分别为α,β,γ，满足B的条件，但α与β相交,知Ｂ错;∵ｍ∥α，过m作平面δ∩α＝a，则m∥a,∵m∥β,∴a⊥β，由面面垂直的判定定理知α⊥β，故C正确.２．(２０1５·江西赣州博雅文化学校月考）设α为平面，a、ｂ为两条不同的直线,则下列叙述正确的是（)Ａ．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a⊥α,a∥b,则b⊥αC.若a⊥α,a⊥b,则b∥αD.若ａ∥α,a⊥b,则b⊥α[答案]B[解析]如图(１)β∥α，知A错;如图(2)知Ｃ错；如图(３），ａ∥ａ′，a′⊂α,b⊥a′,知D错；由线面垂直的性质定理知Ｂ正确.3.（文）已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BＣD，那么直线AB与CＤ的位置关系是（)A.AB∥CDB.ＡB与CD异面C．AＢ与CD相交Ｄ．ＡB∥ＣD或AＢ与ＣD异面或ＡB与CD相交[答案］D[解析]若三条线段共面，如果AＢ、BC、CD构成等腰三角形,则直线AB与CＤ相交,否则直线AＢ与CＤ平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D.(理)ａ、ｂ、c是两两不同的三条直线，下面四个命题中,真命题是()A．若直线a、b异面,ｂ、c异面,则a、c异面Ｂ.若直线ａ、b相交，b、c相交,则a、c相交C.若a∥b,则a、ｂ与c所成的角相等Ｄ．若a⊥b,b⊥c,则a∥ｃ[答案］Ｃ［解析]如图(1）知A错;如图（２)知B错；如图（3)知D错.在直线c上任取一点P，过P作直线m∥a,则m∥b，因此ａ,ｂ与c所成的角都等于m与c所成的角，故选C.４．(2014·汉沽一中检测)已知平面α和不重合的两条直线m、n，下列选项正确的是()A.如果m⊂α,n⊄α，ｍ、n是异面直线，那么n∥αＢ.如果m⊂α，ｎ与α相交，那么ｍ、n是异面直线C．如果m⊂α，n∥α，m、ｎ共面,那么m∥nD．如果m⊥α，n⊥m,那么ｎ∥α［答案]C[解析]如图（１)可知A错；如图(2)可知B错；如图(3),m⊥α，n是α内的任意直线，都有n⊥ｍ，故D错．∵n∥α，∴n与α无公共点,∵ｍ⊂α,∴n与m无公共点，又m、n共面,∴ｍ∥n，故选C．5．(2０13·北京）如图，在正方体ＡBＣD-Ａ1B1C1D１中,P为对角线BD1的三等分点,P到各顶点的距离的不同取值有（)A．3个 Ｂ.4个Ｃ.5个 D．６个［答案]B[解析］P到各顶点距离的取值有4个：其中P到点A，C，B1的距离相等，P到Ａ１,C1,D的距离相等,另两个为P到点Ｂ和点D1的距离．6．(文)(2014·山西康杰中学期中)下列四个命题中错误的是(）A．若直线a，b互相平行，则直线a，ｂ确定一个平面B．若四点不共面,则这四点中任意三点都不共线Ｃ.若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线Ｄ．两条异面直线不可能垂直于同一个平面[答案］C[解析]过两条平行直线，有且只有一个平面,A正确；如果四点中存在三点共线，则四点共面,Ｂ正确；两条直线没有公共点,这两条直线可能平行,也可能异面，C错误；垂直于同一个平面的两条直线平行,这样的两条直线共面,D正确.(理）（2014·陕西咸阳范公中学摸底)下列命题中正确的个数是()①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α；②若直线l与平面α平行,则ｌ与平面α内的任意一条直线都平行;③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.A.0 B．1C．2 Ｄ.3［答案]B[解析］“若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α”是错误的,因为直线l可与平面α相交.“若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行”是错误的,因为直线l可与平面α内的直线成异面直线.“如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行”是错误的，因为另一条直线可能在平面内．“若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任一条直线都没有公共点”是正确的，因为直线ｌ与平面α平行,则直线l与平面α没有公共点．综上可知应选B.二、填空题7.已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影可能是:①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．则在上面的结论中，正确结论的编号是__＿＿＿___(写出所有正确结论的编号)[答案］①②④[解析]设与两异面直线都平行的平面为α，β⊥α,则a、b在β内的射影为两条平行直线，∴①正确；当a⊥α时,a、b在α内的射影为一条直线及线外一点，∴④正确;适当调整角度可以使a在α内的射影a′与b垂直,从而ａ′与b在α内的射影ｂ′垂直，无论什么情况下,两直线的射影都不可能重合．8．(２０13·杭州二模)已知正三棱柱ABC-A′B′C′的正视图和侧视图如图所示.设△ABC，△Ａ′B′C′的中心分别是O,Ｏ′，现将此三棱柱绕直线OO′旋转，在旋转过程中对应的俯视图的面积为S,则S的最大值为_______＿．[答案]８[解析]据正视图与侧视图知，该三棱柱的初始状态是水平放置的，直观图如图所示．据所给的数据知，底面正三角形的高是eq\r（3),∴底面边长是2.将三棱柱绕OO′旋转时,俯视图是矩形，该矩形的一组对边的长度保持不变（长度为4),另一组对边长度不断变化，在底投影面上的投影的长度的最大值为2，∴S的最大值为4×2=８.９.（文)如图所示,正方体ABCＤ－A1B1Ｃ1D1中,M、N分别为棱C1D1、Ｃ１C的中点，有以下四个结论:①直线AM与ＣC1是相交直线；②直线ＡM与BN是平行直线；③直线ＢN与MB1是异面直线；④直线AＭ与DＤ1是异面直线．其中正确的结论为__＿__＿__（注：把你认为正确的结论序号都填上）.[答案］③④［解析]∵点A在平面CDD1C1外,点M在平面CDD1C１内，直线CＣ1在平面ＣDＤ1C1内,∴ＡＭ与CC１是异面直线，故①错；取DＤ1中点E,则BＮ∥AE,但AE与ＡM相交，故②错；∵B１与BＮ都在平面ＢCC１Ｂ1内，M在平面ＢCC1Ｂ1外,∴BN与MB1是异面直线，故③真;同理④真，故填③④．（理)已知正方体ABCD-A1B1C1D１中,Ｅ为Ｃ1D1的中点，则异面直线AE与BＣ所成角的余弦值为________．[答案］eｑ\f(2,３)[解析]如图,连结DE,∵AD∥BC，∴AE与ＢC所成的角，即为AＥ与AD所成的角,即∠EAＤ．设正方体棱长为ａ，∴ＤE=ｅq\ｒ(a２＋\f(a，2）2）=eq＼f(\r(５),2）a，∴AE=ｅq\r(ＡＤ2＋DＥ2）=eq\r(a2+\f(5，４)ａ2)=eq＼ｆ(3,2)a，∴ｃos∠EAD=ｅq\f（AＤ,AE）＝eｑ＼f(a,\f（3,2）a)=eｑ\f(2,3）.[点评]化异为共的思想．在立体几何解题过程中，经常运用化异为共的思想解决问题．（1）与异面直线有关的命题真假判断.(2)异面直线的判定方法异面直线的判定主要用定理法、反证法1°定理法:过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线为异面直线（此结论可作为定理使用)．２°反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发,经过严密的推理，导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面．①一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥ＥF；②ＡＢ与CＭ成60°的角;③ＥＦ与MＮ是异面直线;④MN∥CD．其中正确的是（)A.①②ﻩB．③④C.②③ D.①③［答案]D[解析］如图,画出折叠后的正方体后,由正方体的性质知①③正确，故选D．②如图是某个正方体的侧面展开图,l1,l2是两条侧面对角线，则在正方体中,l1与ｌ2()A．互相平行B．异面且互相垂直C.异面且夹角为ｅｑ\f(π,3）Ｄ．相交且夹角为ｅq\f(π，３）[答案］D［解析]将侧面展开图还原成正方体如图所示,则B，Ｃ两点重合．故l1与ｌ2相交，连接ＡD，△ABD为正三角形，所以l1与l2的夹角为eｑ\f(π,3).故选Ｄ.(３)求异面直线所成角的方法求异面直线所成的角主要用平移法，其一般步骤为１°平移：选取适当的点，平移异面直线的一条(或两条）成相交直线.2°证明：证明所作的角是异面直线所成的角.3°求解:找出含有此角的三角形,并解之．4°取舍:根据异面直线所成角的范围确定大小.(一）在已知平面内平移直线构造可解的三角形，或根据实际情况构造辅助平面,在辅助平面内平移直线构造可解的三角形,是求异面直线所成角的途径之一；这种方法常常是取两条异面直线中的一条和另一条上一点确定一个平面，在这个平面内过这个点作这条直线的平行线，或在两条异面直线上各选一点连线,构造两个辅助面过渡.③如图所示,在正方体AC１中,M、N分别是A１B1、BB１的中点,求异面直线AＭ和CＮ所成角的余弦值．[解析]在平面AＢB１A1内作EN∥AM交AB于Ｅ,则EＮ与CN所成的锐角(或直角)即为ＡM和CN所成的角.设正方体棱长为a.在△ＣNE中,可求得CN＝ｅq\f(＼ｒ(5),2)a,NE＝ｅq＼ｆ(\r（5),4)a,CE=eq\ｆ(\ｒ(17),4）ａ,由余弦定理得,cｏs∠ＣNE＝eq\f(ＥN2+ＣN2-CE2，2EN·CN)＝ｅｑ\f(2,5).即异面直角AM与ＣN所成角的余弦值为eq\ｆ(2,５)．(二)利用平行平面平移直线构成可解的三角形,是求异面直线所成角的途径之二；这种方法常见于两条异面直线分别在两个互相平行的平面内,可利用面面平行的性质，将一条直线平移到另一条所在的平面内．④如图所示,正方体AＣ1中,Ｂ1Ｅ1=Ｄ１Ｆ1=ｅｑ\ｆ(A１B1,４)，求BE1与DF１所成角的余弦值．［解析]∵平面ABＢ1Ａ1∥平面DCC1D１，∴在A１B1上取H,使A1Ｈ=eq＼f（Ａ1Ｂ1,4),即可得:ＡH∥ＤＦ1.引ＮH∥BＥ1,则锐角∠AHＮ就是DF1与BE1所成的角．设正方体棱长为a,在△ＡHN中,易求得:AＮ=eq＼f(ａ，2），AH=NＨ=BE１=eq\f（\r(17),4)a.由余弦定理得,ｃos∠ＡＨN=eｑ＼f(AH2+HN2-AN2,２ＡH·HN)=ｅq＼f(15,17）.即ＢE1与DF１所成的角的余弦值为eq＼ｆ(15,１7)．(三)整体平移几何体,构造可解的三角形，是求异面直线所成角的途径之三.这种方法常常是将原有几何体上再拼接上同样的一个几何体(相当于将原几何体作了一个平移)创造平移直线的条件．⑤如下图长方体AＣ１中，AB＝１２,BC=3,AA1＝４，N在A１B1上，且Ｂ1Ｎ=４.求BD1与C1N所成角的余弦值．[解析］如图所示,将长方体AC1平移到ＢCFE－B1C1F1E1的位置,则C１E∥在△ＮC1E中，根据已知条件可求B1N＝４，C１N＝5,Ｃ1Ｅ＝１３，EN＝eq\ｒ(E1N2＋EE\o\al（2,1))＝4eq\ｒ(17).由余弦定理，得cｏs∠NC1E＝ｅｑ\ｆ(C1N2+C1E2-ＥN2,2C1N·C1E)=－eｑ\f（3,５).∴BD1与C1Ｎ所成角的余弦值为eq\f(3,5)．三、解答题10.如图,已知正方体ＡBCD-A1B1C１D1中,E、Ｆ分别为D1C1、B１Ｃ1的中点，ＡC∩BD=P,A1C1∩ＥF＝Ｑ,若A1C交平面ＢDEF于点R，试确定点Ｒ的位置.[解析]如图，在正方体AＣ１中,∵Q∈A1C１,∴Q∈平面A1C1CA.又Q∈ＥF,∴Ｑ∈平面BDEF，即Q是平面A1Ｃ1CＡ与平面BDEF的公共点．同理,P也是平面A1Ｃ1CA与平面BDEF的公共点．∴平面A１C１CＡ∩平面BDEF=PＱ,又A1C∩平面BDEF=Ｒ，∴Ｒ∈Ａ1C,∴R∈平面A1C1CA,又R∈平面BDＥF，∴R∈ＰＱ，∴R是A1Ｃ与PQ的交点.一、选择题1１.(2014·东北三省联考）直线m,n均不在平面α，β内,给出下列命题：①若ｍ∥ｎ,ｎ∥α，则ｍ∥α；②若ｍ∥β，α∥β，则m∥α；③若ｍ⊥ｎ,ｎ⊥α，则m∥α;④若ｍ⊥β,α⊥β,则m∥α．其中正确命题的个数是()A．1 B.2Ｃ．3 Ｄ．4[答案]D[解析]①过ｎ作平面γ∩α＝a，∵n∥α，∴n∥ａ,又m∥n,∴m∥a，∵m⊄α,∴ｍ∥α,∴①正确；②过m作平面γ１∩β＝b,∵ｍ∥β，∴m∥b,∵α∥β，∴b∥α,过b作平面γ2∩α＝c，则b∥c，∴ｍ∥c,∵m⊄α,∴m∥α，∴②正确;③在直线n上取点P,过点Ｐ作m′∥m,∵n⊥m，∴n⊥m′，设ｍ′与ｎ确定的平面为δ,∵ｎ⊥α，∴ｎ与α相交,故平面δ与α相交,设交线为d,则n⊥ｄ，∴m′∥d,∴m∥ｄ，∵m⊄平面α,∴m∥α，∴③正确；④设α与β的交线为l,在α内作直线g⊥ｌ,则g⊥β，∵m⊥β,∴m∥ｇ，∵ｍ⊄α,∴ｍ∥α,故④正确．１2.(２0１4·广东执信中学期中)如图所示,正方体ＡBＣD-A１B１Ｃ1Ｄ1中,点P在侧面BCＣ1B1及其边界上运动,并且总是保持AP⊥BD１，则动点P的轨迹是(）Ａ.线段B1CB.线段BC1C.BＢ1的中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B１C1中点连成的线段[答案]A[解析]如图所示，连接AB１,B1C，AC,由于四边形AＢCＤ为正方形,所以AＣ⊥ＢD.因为ＤD１⊥平面ABCD,AＣ⊂平面ABCD,所以AC⊥ＤＤ1.因为BＤ∩DＤ1＝D,所以ＡC⊥平面BDD1.因为BD1⊂平面BＤD1,所以BD1⊥AC,同理可证BD１⊥AＢ1.因为AB1∩ＡＣ＝A,所以ＢD１⊥平面AB1Ｃ．因为B1C⊂平面ＡＢ1C，所以BD1⊥Ｂ1Ｃ.过点Ａ有且只有一个平面与BD1垂直，且过点A与BD1垂直的直线都在此平面内，故ＡP⊂平面AB1C,而平面AB1Ｃ∩平面BＣC１B1＝B１Ｃ,故点Ｐ在侧面ＢCC１B1内的轨迹为线段B1C，故选Ａ.1３．（文)（201３·天津一中月考)在正三棱锥P-ABＣ中，D、E分别是ＡB、AC的中点，有下列三个论断:①AC⊥ＰB;②AC∥平面PDE；③AＢ⊥平面PDＥ,其中正确论断的个数为()A．3个 B.2个C．1个 D.0个[答案]C[解析]过P作ＰＯ⊥平面ABC于Ｏ，则ＰO⊥AC,又正三角形中BE⊥AC,所以AC⊥平面PBE，所以AC⊥PB,所以①正确，②错误.因为ＡB与AC相交,所以③不正确,所以正确论断只有1个.(理)已知六棱锥P-AＢCDＥF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,则下列结论不正确的是(）A．ＣD∥平面ＰAF B.DF⊥平面PAFC．CF∥平面PＡBﻩD.CF⊥平面PAD[答案］D［解析]对于A,∵ＣＤ∥ＡF，CD⊄平面ＰＡＦ，AＦ⊂平面PAF.∴CD∥平面PAF.故A正确.对于B，∵ＤF⊥AF，DF⊥PA,ＰＡ∩AF＝Ａ.∴DF⊥平面PAF．故B正确.对于C,∵CF∥AB，CF⊄平面PAB,AB⊂平面ＰＡB.∴CF∥平面PAB．故Ｃ正确．对于D,若ＣF⊥平面PＡD,则CF⊥AD,而CF与AＤ夹角为６0°,故D错.所以选D.１4.(文）(2014·洛阳检测)如图，PA垂直于圆O所在的平面,AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PＢ,PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB;②ＥF⊥PB；③AＦ⊥ＢC；④AE⊥BC.正确命题的个数为()A.1 B．２C．３ﻩD.4[答案]C[解析]∵AＢ是圆O的直径，∴AC⊥ＢC,又PＡ⊥面圆O,故PＡ⊥ＢC,且PA∩AＣ=A，∴ＢＣ⊥面PAC，∴BＣ⊥ＡF,又AF⊥PC，且PC∩ＢC=Ｃ，∴ＡF⊥面PＢC，故AＦ⊥BC，AF⊥PB,又AE⊥PB，且AＦ∩AE=Ａ,所以PB⊥面AEF，从而ＥF⊥PB,故①②③正确,若AＥ⊥BC，则可证AE⊥面PＢC，则ＡE∥AＣ∥AF,这是不可能的，选Ｃ.（理)(2014·福建质量检查)如图,AＢ是⊙O的直径,VA垂直⊙O所在的平面,Ｃ是圆周上不同于A、B的任意一点,M、N分别为ＶA、VC的中点，则下列结论正确的是（)Ａ.MN∥ABB．MＮ与BC所成的角为45°C．OC⊥平面VACＤ．平面VＡC⊥平面VBＣ[答案]D[解析］依题意,MN∥AC,又直线AC与ＡＢ相交，因此MＮ与AB不平行;注意到AC⊥BC，因此MN与ＢＣ所成的角是90°;注意到直线ＯC与AC不垂直,因此OＣ与平面VAＣ不垂直;由于BC⊥AC，BC⊥VA,因此BC⊥平面VAC.又BC⊂平面VBC，所以平面ＶＢC⊥平面ＶAＣ．综上所述可知选Ｄ.二、填空题１5.(2015·深圳五校一联)已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中所有正确命题的序号是＿__＿____.①若m∥β,ｎ∥β,m、n⊂α,则α∥β.②若α⊥γ,β⊥γ，α∩β=ｍ,n⊂γ，则m⊥n.③若ｍ⊥α，α⊥β,m∥ｎ，则n∥β.④若n∥α，n∥β，α∩β＝m，那么ｍ∥n．[答案]②④［解析]在选项①中,只有两条相交直线都平行于另一个平面才能有两平面互相平行,所以①不正确;在③中,直线n有可能在平面β内,所以③不正确,所以只有②④正确．16．(20１４·保定高阳中学月考)在棱长为1的正方体ABCD－A1Ｂ1C１D１中,M,N分别是AＣ1，A1Ｂ1的中点,点P在正方体的表面上运动,则总能使MP与ＢN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于＿_______．[答案］2+eq\r(5)[解析］如图所示,Ｅ,F，E1,F1分别为AＡ1，ＤＤ1,ＢＢ1,ＣC1的四等分点，可证ＢN⊥平面EＦＦ1E1.又M为AC１的中点，所以M在平面EFF１Ｅ1上,故点Ｐ所构成的轨迹是平行四边形FEＥ1Ｆ1，周长等于2EF+2EE1=２+ｅｑ\r(5).三、解答题17．如图,在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCＤ是矩形,PA⊥平面ABCD,ＰＡ＝ＡD＝1，AB＝eq\ｒ(3)，点E在CD上移动.(１)求三棱锥E－PAＢ的体积;（2)试在ＰＤ上找一点F,使得PE⊥AＦ，并证明你的结论．[解析]（1)∵PＡ⊥平面ＡBCD,∴VE－ＰAB＝VP-ABＥ＝eq\f(1,３）S△ABＥ·ＰＡ＝eq＼f(１,3)×eq\ｆ（1,2)×１×eｑ\r(3)×１＝ｅq＼ｆ(\r(3),６).(2)Ｆ是PD的中点．∵PA⊥平面ABCＤ,ＣD⊂平面ＡBCD，∴CD⊥ＰA.∵四边形ＡBCD是矩形，∴CＤ⊥ＡD，∵PA∩ＡD=A，∴CD⊥平面PAD，∵F是PＤ上的点，AＦ⊂平面PＡD,∴AF⊥ＤＣ，∵PA=ＡＤ,点Ｆ是ＰD的中点，∴AF⊥PＤ,又CD∩PD＝Ｄ,∴AF⊥平面ＰDＣ，∵ＰE⊂平面PDC,∴PE⊥ＡF.18.(文)（201５·安徽示范高中一联）直角三角形ABC中，∠ＡＣB＝９０°，AB=2ＢＣ＝2，D,E分别为AC,AB的中点,将△AＤE沿DＥ折起,使△ADC为等边三角形，如图所示.(1)求证：平面ADC⊥平面AＢC；（2)求四棱锥A-BCＤE的体积.[解析］(1)D、Ｅ是边AC、AB的中点，∴ＤE是△ABC的中位线，∴ＤE⊥ＡC.eｑ\ｂ＼lc\\rc\}(\a\vs4\ａl\ｃｏ1(DE⊥ＡD,ＤE⊥DC，ＡD∩DＣ=D)）⇒DＥ⊥平面ＡDC.∵ＤE∥BC，∴BＣ⊥平面ADC,∴平面ＡＤC⊥平面ABC．（2)过点A作ＡM⊥CD，∴A