【全程复习方略】（福建专用）2022高中数学 第二节 证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式 新人教A选修4-5

第二节证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式1.比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种作差比较法作商比较法理论依据a>b⇔______a<b⇔______a=b⇔______b>0,>1⇒a>bb<0,>1⇒a<b适用类型适用于___________特征的不等式的证明主要适用于积、商、幂、对数、根式形式的不等式证明a-b>0a-b<0a-b=0具有多项式2.综合法和分析法(1)综合法一般地，从_________出发，利用_____、公理、_____、性质等，经过一系列的_____、_____而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法.综合法又叫_________或由因导果法.已知条件定义定理推理论证顺推证法(2)分析法证明命题时，从___________出发，逐步寻求使它成立的__________，直至所需条件为_________或___________________(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法.要证的结论已知条件一个明显成立的事实充分条件3.反证法(1)假设要证的命题_______，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和___________(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明___________，我们把它称为反证法.(2)证明步骤：反设→归谬→肯定原结论.不成立命题的条件原命题成立4.放缩法(1)证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值_____或_____，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法.(2)理论依据a＞b,b＞c⇒a___c.放大缩小＞5.数学归纳法(1)数学归纳法的概念一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：①证明当____时命题成立；②假设当__________________时命题成立，证明______时命题也成立.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法.n=n0n=k(k∈N+,且k≥n0)n=k+1(2)数学归纳法的基本过程判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)若则x+2y>x-y.()(2)已知a>b>-1,则()(3)设(b>a>0)，则s≥t.()(4)证明可用比较法证明.()(5)数学归纳法的第一步n的初始值一定为1.()【解析】(1)错误.若x-y<0，则有x+2y<x-y.(2)正确.∵a>b>-1,∴a+1>b+1>0,(3)错误.∵b>a>0,∴a-b<0,a(a+1)>0,(4)错误.该不等式无论用作差法还是作商法都不好证明，最好用分析法.(5)错误.数学归纳法中的第一步n的初始值不一定为1，如证明n边形的内角和为(n-2)·180°,第1个值n0=3.答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×考向1比较法证明不等式【典例1】(1)设c>b>a,证明：a2b+b2c+c2a<ab2+bc2+ca2.(2)当a,b∈(0,+∞)时，aabb≥【思路点拨】(1)不等式两端均为多项式且次数相同时可考虑用作差法证明.(2)不等式两端为幂指数型的不等式可考虑用作商比较法证明.【规范解答】(1)ab2+bc2+ca2-(a2b+b2c+c2a)=a(b2-c2)+b(c2-a2)+c(a2-b2)=a(b2-c2)+b(c2-b2+b2-a2)+c(a2-b2)=a(b2-c2)+b(c2-b2)+b(b2-a2)+c(a2-b2)=(c2-b2)(b-a)+(b2-a2)(b-c)=(b-a)(c-b)［c+b-(b+a)］=(b-a)(c-b)(c-a).∵c>b>a,∴b-a>0,c-b>0,c-a>0,∴ab2+bc2+ca2>a2b+b2c+c2a,即a2b+b2c+c2a<ab2+bc2+ca2.(2)当a=b时，当a＞b＞0时，当b＞a＞0时，综上可知，当a,b∈(0，+∞)时，aabb≥成立.【互动探究】在本例(2)的条件下，证明【证明】当a=b时，当a＞b＞0时，当b＞a＞0时，【拓展提升】比较法证明不等式的方法与步骤1.作差比较法(1)作差比较法的一般步骤是：作差、变形、判断符号、得出结论.其中,变形整理是关键,变形的目的是为了判断差的符号,常用的变形方法有:因式分解、配方、通分、拆项、添项等.(2)若所证不等式的两边是整式或分式多项式时，常用作差比较法.2.作商比较法(1)作商比较法的一般步骤是：作商、变形、判断与1的大小关系,得出结论.(2)利用作商比较法时，要注意分母的符号.【提醒】当不等式的两边为对数式时，可用作商比较法证明，另外，要比较的两个解析式均为正值，且不宜用作差比较法时，也常用作商比较法.【变式备选】已知p，q均为正数，且p+q=1,试证明(px+qy)2≤px2+qy2.【证明】(px+qy)2-(px2+qy2)=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy∵p+q=1,∴p-1=-q,q-1=-p.故(px+qy)2-(px2+qy2)=-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2.由于p,q为正数，故-pq(x-y)2≤0,故(px+qy)2≤px2+qy2,当且仅当x=y时，不等式中等号成立.

考向2综合法或分析法证明不等式【典例2】(1)已知a,b∈R+,且a+b=1,求证：(2)已知x>0,y>0,求证【思路点拨】(1)分析不等式左边的特点结合已知条件，利用基本不等式及重要不等式的变形证明该不等式.(2)待证不等式中含有分数指数幂，不易直接证明,可考虑用分析法证明.两边六次方，消去分数指数幂，化为整式不等式后，再进行变形，整理证明即可.【规范解答】(1)方法一：左边=a2+b2+4+=4+a2+b2+=4+a2+b2+1+=4+(a2+b2)+2+≥4+当且仅当a=b时，等号成立.即原不等式成立.方法二：∵a，b∈R+，且a+b=1,∴ab≤当且仅当a=b时，等号成立.∴(a+)2+(b+)2=4+(a2+b2)+=4+［(a+b)2-2ab］+(2)要证明只需证(x2+y2)3>(x3+y3)2，即证x6+3x4y2+3x2y4+y6>x6+2x3y3+y6，即证3x4y2+3x2y4>2x3y3,∵x>0,y>0,∴x2y2>0.即证3x2+3y2>2xy,∵3x2+3y2>x2+y2≥2xy,∴3x2+3y2>2xy成立，∴【拓展提升】1.综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件.2.综合法与分析法的逻辑关系用综合法证明不等式是“由因导果”,分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理、清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见,分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.3.分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.【变式训练】1.已知a,b∈R+,且a+b=1,求证：【证明】方法一：∵a，b∈(0，+∞)，且a+b=1,∴ab≤当且仅当a=b时，等号成立.方法二：1-ab≥当且仅当a=b时，等号成立.∴(1-ab)2≥∴(1-ab)2+1≥又方法三：2.已知a>0,b>0,2c>a+b,求证：【证明】要证：只需证：只需证：|a-c|<只需证：(a-c)2<c2-ab,只需证：a2+c2-2ac<c2-ab，即证：2ac>a2+ab.∵a>0,∴只需证2c>a+b,由题设，上式显然成立.故考向3用反证法或放缩法证明不等式【典例3】若a3+b3=2，求证:a+b≤2.【思路点拨】直接证明a+b≤2比较困难，可考虑从反面入手，运用反证法，导出矛盾，从而证得结论.【规范解答】方法一:假设a+b＞2,而a2-ab+b2但取等号的条件为a=b=0,显然不可能,∴a2-ab+b2＞0.则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)＞2(a2-ab+b2),而a3+b3=2,故a2-ab+b2＜1.∴1+ab＞a2+b2≥2ab.从而ab＜1.∴a2+b2＜1+ab＜2.∴(a+b)2=a2+b2+2ab＜2+2ab＜4.∴a+b＜2.这与假设矛盾，故a+b≤2.方法二:假设a+b＞2，则a＞2-b,故2=a3+b3＞(2-b)3+b3，即2＞8-12b+6b2,即(b-1)2＜0，这不可能，从而a+b≤2.方法三:假设a+b＞2,则(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)＞8.由a3+b3=2,得3ab(a+b)＞6.故ab(a+b)＞2.又a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2,∴ab(a+b)＞(a+b)(a2-ab+b2),∴a2-ab+b2＜ab,即(a-b)2＜0,这不可能，故a+b≤2.【拓展提升】1.适宜用反证法证明的数学命题(1)结论本身是以否定形式出现的一类命题.(2)关于唯一性、存在性的命题.(3)结论以“至多”“至少”等形式出现的命题.(4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题.2.使用反证法证明问题时，准确地作出反设(即否定结论)，是正确运用反证法的前提，常见的“结论词”与“反设词”列表如下：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n-1个p或q﹁p且﹁q至多有n个至少有n+1个p且q﹁p或﹁q3.放缩法证明不等式的技巧放缩法证明不等式，就是利用不等式的传递性证明不等关系，即要证a＞b，只需先证明a＞p，且p＞b.其中p的确定是最重要，也是最困难的，要凭借对题意的深刻分析，对式子巧妙变形的能力以及一定的解题经验.【变式训练】若n是大于1的自然数,求证:【证明】考向4数学归纳法的应用【典例4】已知f(n)=当n>1,n∈N时，求证：f(2n)>【思路点拨】解答本题可先验证n=2时不等式成立，再假设n=k时不等式成立，推出n=k+1时不等式成立.【规范解答】(1)当n=2时，f(22)=成立.(2)假设当n=k(k∈N且k≥2)时不等式成立，即f(2k)=成立.则当n=k+1时，f(2k+1)=即当n=k+1时不等式成立.由(1)(2)知，对于任意的n>1,n∈N,不等式成立.【拓展提升】数学归纳法的应用数学归纳法是用来证明与正整数n有关的数学命题的一种常用方法，应用时应注意以下三点：(1)验证是基础数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0就是要证明的命题对象的最小正整数，这个正整数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是正确运用数学归纳法第一个要注意的问题.(2)递推乃关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k+1”的过程，必须把归纳假设“n=k”作为条件来导出“n=k+1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次.(3)寻找递推关系①在第一步验证时，不妨多计算几次，并争取正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的.②探求数列通项公式要善于观察式子的变化规律，观察n处在哪个位置.③在书写f(k+1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，除此之外，多了哪些项，少了哪些项要分清楚.【变式训练】用数学归纳法证明：n∈N+时，【证明】(1)当n=1时，左边=等式成立.(2)假设n=k时，成立.当n=k+1时，所以n=k+1时，等式成立.根据(1)(2)可得对一切n∈N+,等式均成立.第二单元配合物的形成和应用课程标准导航1.了解人类对配合物结构认识的历史。2.知道简单配合物的基本组成和形成条件。3.掌握配合物的结构与性质之间的关系。4.认识配合物在生产生活和科学研究方面的广泛应用。新知初探自学导引自主学习(2)配位键：共用电子对由一个原子单方向提供而跟另一个原子共用的共价键叫配位键。配位键可用A→B形式表示，A是_________________的原子，叫做电子对给予体，B是____________________的原子叫接受体。(3)形成配位键的条件提供孤电子对接受孤电子对①有能够提供_______________的原子，如______________等。②另一原子具有能够接受__________的空轨道，如___________________________等。孤电子对N、O、F孤电子对Fe3＋、Cu2＋、Zn2＋、Ag＋想一想1.在水溶液中，Cu2＋与氨分子是如何结合成［Cu(NH3)4］2＋的呢？2.配位化合物(1)写出向CuSO4溶液中滴加氨水，得到深蓝色溶液整个过程的反应离子方程式。____________________________________;___________________________________________________________________________.Cu(OH)2+4NH3·H2O===［Cu(NH3)4］2++2OH-+4H2O(2)［Cu(NH3)4］SO4的名称为_______________________,它的外界为__________，内界为________________，中心原子为______，配位体为_______分子，配位数为_______。(3)配合物的同分异构体：含有两种或两种以上配位体的配合物，若配位体在____________________不同，就能形成不同几何构型的配合物，如Pt(NH3)2Cl2存在______和______两种异构体。硫酸四氨合铜［Cu(NH3)4］2＋Cu2+NH34空间的排列方式顺式反式想一想2.顺式Pt(NH3)2Cl2和反式Pt(NH3)2Cl2的化学式相同，它们的性质也相似吗？提示：不同，由于结构不同，所以其化学性质不相同。二、配合物的应用1.在实验研究中，人们常用形成配合物的方法来检验__________、分离物质、定量测定物质的组成。(1)向AgNO3溶液中逐滴加入氨水的现象为:_________________________________。产生的配合物是____________________。金属离子先生成沉淀，然后沉淀再溶解［Ag(NH3)2］OH(2)向FeCl3溶液中滴入KSCN溶液的现象：____________________________。产生的配合物是______________。2.在生产中，配合物被广泛用于________、______、___________、___________领域。3.生命体中的许多金属元素都以配合物形式存在。4.配合物在医疗方面应用也很广泛。5.模拟生物固氮也与配合物有关。有血红色溶液出现Fe(SCN)3染色电镀硬水软化金属冶炼自主体验1.配合物［Zn(NH3)4］Cl2的中心原子的配位数是()A.2 B.3C.4 D.5解析：选C。配合物［Zn(NH3)4］Cl2的中心原子是Zn2＋，配位体是NH3，配位数是4。2.下列不能形成配位键的组合是()A.Ag＋、NH3 B.H2O、H＋C.Co3＋、CO D.Ag＋、H+解析：选D。配位键的形成条件必须是一方能提供孤电子对，另一方能提供空轨道，A、B、C三项中，Ag＋、H＋、Co3＋能提供空轨道，NH3、H2O、CO能提供孤电子对,所以能形成配位键，而D项Ag＋与H＋都只能提供空轨道，而无法提供孤电子对,所以不能形成配位键。3.下列不属于配离子的是()A.［Ag(NH3)2］＋ B.［Cu(CN)4］2－C.［Fe(SCN)6］3－ D.MnO－4解析：选D。MnO－4无配位原子。4.向下列配合物的水溶液中加入AgNO3溶液,不能生成AgCl沉淀的是()A.［Co(NH3)4Cl2］Cl B.［Co(NH3)3Cl3］C.［Co(NH3)6］Cl3 D.［Co(NH3)5Cl］Cl2解析：选B。在配合物中，内界以配位键结合很牢固，难以在溶液中电离；内界和外界之间以离子键相结合，在溶液中能够完全电离。不难看出A、C、D三项中配合物在水中均电离产生Cl-，而B项无外界离子，不能电离。要点突破讲练互动探究导引1指出配合物[Pt(NH3)4Cl2]Cl2的配离子、中心离子、配位体、配位数及配位原子。提示：配离子指配合物的内界，中心原子指提供空轨道的原子或离子，要点一配合物的组成和结构配位体指提供孤电子对的分子或离子，配位数是配位体的总个数，配位原子指配位体中提供孤电子对的原子。配合物[Pt(NH3)4Cl2]Cl2的配离子为[Pt(NH3)4Cl2]2＋,中心原子是Pt4＋，配位体是NH3、Cl－，配位数为6，配位原子为N和Cl。探究导引2配离子[Ag(NH3)2]＋是如何形成的？提示：配离子[Ag(NH3)2]＋是由Ag＋和NH3分子反应生成的，由于Ag＋空的5s轨道和5p轨道形成sp杂化轨道，接受2个NH3分子提供的孤电子对，形成直线形的[Ag(NH3)2]＋，该过程图示如下。

要点归纳1.配合物的组成内界：中心体(原子或离子)与配位体，以配位键成键。外界：与内界电荷平衡的相反离子。有些配合物不存在外界，如[PtCl2(NH3)2]、[CoCl3(NH3)3]等。另外，有些配合物是由中心原子与配位体构成，如[Ni(CO)4]、[Fe(CO)5]等。2.配合物的结构配位数杂化轨道类型空间构型结构示意图实例2sp直线形[Ag(NH3)2]＋[Cu(NH3)2]＋配位数杂化轨道类型空间构型结构示意图实例4sp3正四面体形[Zn(NH3)4]2＋[ZnCl4]2－dsp2(sp2d)平面正方形[Ni(CN)4]2－[Cu(NH3)4]2＋6sp3d2(d2sp3)正八面体[AlF6]3－[Co(NH3)6]3＋即时应用1.化学家维多克·格利雅因发明了格氏试剂(RMgX)而荣获诺贝尔化学奖。RMgX是金属镁和卤代烃反应的产物，它在醚的稀溶液中以单体形式存在，并与二分子醚络合，在浓溶液中以二聚体存在，结构如下图：上述2种结构中均存在配位键，把你认为是配位键的用“→”在结构图中标出。解析:配位键是由孤电子对与空轨道形成的,Mg最外层有两个电子，可以与R、X形成离子键，而O原子中存在孤电子对，所以两个O(C2H5)2可以与Mg形成配位键。在二聚体中，同理，一个Mg与R、X相连，则另外一个X和O(C2H5)2，则与Mg形成配位键。答案：要点二配合物的性质探究导引现有两种配合物晶体[Co(NH3)6]Cl3和[Co(NH3)5Cl]Cl2，一种为橙黄色，另一种为紫红色。请设计实验方案将这两种配合物区别开来。提示：在[Co(NH3)6]Cl3中Co3＋与6个NH3分子配合成[Co(NH3)6]3＋，3个Cl－都是外界离子。而[Co(NH3)5Cl]Cl2中Co3＋与5个NH3分子和1个Cl－配合成[Co(NH3)5Cl]2＋,只有两个Cl－是外界离子。由于配合物中内界以配位键结合很牢固，难以在溶液中电离，而内界和外界之间以离子键结合，在溶液中能够完全电离。不难看出，相同质量的两种晶体在溶液中能够电离出的Cl－数是不同的，我们可以利用这一点进行鉴别。要点归纳1.配合物的颜色：当简单离子形成配合物时,其性质往往有很大的差异，颜色发生改变就是一种常见的现象，多数配离子都有颜色，如[Fe(SCN)6]3－为血红色、[Cu(NH3)4]2＋为深蓝色、[Cu(H2O)4]2＋为蓝色、[CuCl4]2－为黄色、[Fe(C6H6O)6]3－为紫色等等。我们根据颜色的变化就可以判断配离子是否生成，如Fe3＋离子与SCN－离子在溶液中可生成配位数为1～6的硫氰合铁(Ⅲ)配离子，这种配离子的颜色是血红色的，反应如下：Fe3＋＋nSCN－====[Fe(SCN)n]3－n，实验室通常用这一方法检验铁离子的存在。2.配合物的溶解性:有的配合物易溶于水，如[Ag(NH3)2]OH、[Cu(NH3)4]SO4、Fe(SCN)3等。利用配合物的这一性质，可将一些难溶于水的物质如AgOH、AgCl、Cu(OH)2等溶解在氨水中形成配合物。如在照相底片的定影过程中，未曝光的AgBr常用硫代硫酸钠(Na2S2O3)溶解，反应的化学方程式为：AgBr＋2Na2S2O3====Na3[Ag(S2O3)2]＋NaBr。金和铂之所以能溶于王水中，也是与生成配合物的溶解性有关，反应式为：Au＋HNO3＋4HCl====H[AuCl4]＋NO↑＋2H2O，3Pt＋4HNO3＋18HCl====3H2[PtCl6]＋4NO↑＋8H2O。配合物的颜色和溶解性还与配合物的空间结构有关，如顺式[Pt(NH3)2Cl2]和反式[Pt(NH3)2Cl2]的溶解性和颜色等性质有一定的差异，其中顺式[Pt(NH3)2Cl2]为极性分子,根据相似相溶原理,它在水中的溶解度较大,具体情况见前面的表格。3.配合物的稳定性：配合物具有一定的稳定性，配合物中的配位键越强,配合物越稳定.当作为中心原子的金属离子相同时，配合物的稳定性与配位体的性质有关。例如，血红素中的Fe2＋与CO分子形成的配位键比Fe2＋与O2分子形成的配位键强，因此血红素中的Fe2＋与CO分子结合后，就很难再与O2分子结合，血红素就失去了输送氧气的功能，从而导致人体CO中毒。即时应用2.配合物CrCl3·6H2O的中心原子Cr3＋的配位数为6，H2O和Cl－均可作配位体，H2O、Cl－和Cr3＋有三种不同的连接方式，形成三种物质：一种呈紫罗兰色、一种呈暗绿色、一种呈亮绿色。将它们配成相同物质的量浓度溶液，各取相同体积的溶液，向其中分别加入过量的AgNO3溶液，完全反应后，所得沉淀的物质的量之比为3∶2∶1。(1)请推断出三种配合物的内界，并简单说明理由；(2)写出三种配合物的电离方程式。解析：CrCl3·6H2O的中心原子Cr3＋的配位数为6，H2O和Cl－均可作配位体，则其化学式可表示为：[Cr(H2O)6－nCln]Cl3－n·nH2O，当其与AgNO3反应时，只有外界的氯离子可形成AgCl沉淀，再根据它们与AgNO3反应时生成AgCl沉淀的物质的量之比为3∶2