高等数学课件D98极值与最值

高等数学课件D98极值(jízhí)与最值第一页，共31页。提示(tíshì):由题设例1.函数(hánshù)(D)根据(gēnjù)条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.那么()的某个邻域内连续,且A(2003考研)第二页，共31页。5/8/2023说明(shuōmíng):使偏导数都为0的点称为驻点.例如(lìrú),定理(dìnglǐ)1(必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,那么有存在故第三页，共31页。5/8/2023时,具有(jùyǒu)极值定理(dìnglǐ)2(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续(liánxù)偏导数,令那么:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当证明见第九节(P121).

时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.假设函数且第四页，共31页。5/8/2023例2.求函数解:第一步求驻点(zhùdiǎn).得驻点(zhùdiǎn):(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别(pànbié).在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数第五页，共31页。5/8/2023在点(3,0)处不是(bùshi)极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是(bùshi)极值;第六页，共31页。5/8/2023例3.讨论(tǎolùn)函数及是否取得(qǔdé)极值.解:显然(0,0)都是它们(tāmen)的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在(0,0)都有可能为第七页，共31页。5/8/2023二、最值应用(yìngyòng)问题函数(hánshù)f在闭域上连续函数(hánshù)f在闭域上可到达最值最值可疑点驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)依据第八页，共31页。5/8/2023例4.解:设水箱长,宽分别(fēnbié)为x,ym,那么高为那么水箱(shuǐxiāng)所用材料的面积为令得驻点(zhùdiǎn)某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.第九页，共31页。5/8/2023例5.有一宽为24cm的长方形铁板(tiěbǎn),把它折起来做成解:设折起来的边长为xcm,那么(nàme)断面面积x24一个断面(duànmiàn)为等腰梯形的水槽,倾角为

,积最大.为问怎样折法才能使断面面第十页，共31页。5/8/2023令解得:由题意(tíyì)知,最大值在定义域D内到达,而在域D内只有(zhǐyǒu)一个(yīɡè)驻点,故此点即为所求.第十一页，共31页。5/8/2023三、条件极值极值(jízhí)问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法(fāngfǎ)1代入法.求一元函数的无条件极值问题(wèntí)对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其他条件限制例如,转化第十二页，共31页。5/8/2023方法(fāngfǎ)2拉格朗日乘数法.分析(fēnxī)：如方法1所述,那么问题(wèntí)等价于一元函数可确定隐函数的极故极值点必满足记例如,值问题,故有第十三页，共31页。5/8/2023引入辅助(fǔzhù)函数辅助(fǔzhù)函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用(lìyòng)拉格极值点必满足那么极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.第十四页，共31页。5/8/2023推广(tuīguǎng)拉格朗日乘数法可推广(tuīguǎng)到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到(dédào)条件极值的可疑点.例如,求函数下的极值.在条件第十五页，共31页。5/8/2023例6.要设计一个(yīɡè)容量为那么(nàme)问题为求x,y,令解方程组解:设x,y,z分别(fēnbié)表示长、宽、高,下水箱外表积最小.z使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问第十六页，共31页。5/8/2023得唯一(wéiyī)驻点由题意可知合理(hélǐ)的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用(suǒyònɡ)材料最省.因此,当高为思考:1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示:利用对称性可知,2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示:长、宽、高尺寸相等.最省,第十七页，共31页。5/8/2023内容(nèiróng)小结1.函数的极值(jízhí)问题第一步利用(lìyòng)必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法第十八页，共31页。5/8/2023设拉格朗日函数(hánshù)如求二元函数(hánshù)下的极值(jízhí),解方程组第二步判别•比较驻点及边界点上函数值的大小•根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最值问题在条件求驻点.第十九页，共31页。5/8/2023平面(píngmiàn)上两定点A(1,3),B(4,2),试在椭圆(tuǒyuán)圆周(yuánzhōu)上求一点C,使△ABC面积S△最大.解答提示:设C点坐标为(x,y),思考与练习那么第二十页，共31页。5/8/2023设拉格朗日函数(hánshù)解方程组得驻点(zhùdiǎn)对应(duìyìng)面积而比较可知,点C与E重合时,三角形面积最大.点击图中任意点动画开始或暂停第二十一页，共31页。5/8/2023

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3,5,9,10,13习题课作业(zuòyè)第二十二页，共31页。5/8/2023注备用(bèiyòng)题1.求半径为R的圆的内接三角形中面积最大者.解:设内接三角形各边所对的圆心角为x,y,z,它们所对应(duìyìng)的三个三角形面积分别为设拉氏函数(hánshù)解方程组,得故圆内接正三角形面积最大,最大面积为注那么第二十三页，共31页。5/8/2023注因此前者不可能(kěnéng)为圆内接三角形中面积最大者.假设∆ABC位于(wèiyú)半圆内(如图),那么(nàme)其BC边上的高小于∆A1BC同边上的高,故前者的面积小于后者，第二十四页，共31页。5/8/2023为边的面积(miànjī)最大的四边形,试列出其目标(mùbiāo)函数和约束条件?提示(tíshì):目标函数:约束条件:答案:即四边形内接于圆时面积最大.2.求平面上以第二十五页，共31页。5/8/20233.设某电视机厂生产(shēngchǎn)一台电视机的本钱为c,每台电电视机的销售价格为p,销售量为x,假设该厂的生产(shēngchǎn)处于平衡状态(zhuàngtài),即生产量等于销售量.根据市场预测,x与p满

足关系:其中M是最大市场需求量,a是价格系数.又据对生产环节的分析,预测每台电视机的生产本钱满足:其中c0是生产一台电视机的本钱,k是规模系数.问应如何确定每台电视机的售价p,才能使该厂获得最大利润？解:生产x台获得利润①②问题化为在条件①,②下求的最大值点.第二十六页，共31页。5/8/2023精品(jīnɡpǐn)课件！第二十