高等数学D4-1不定积分

高等数学D4-1不定积分(bùdìnɡjīfēn)第一页，共28页。二、根本(gēnběn)积分表三、不定积分(bùdìnɡjīfēn)的性质一、原函数与不定积分(bùdìnɡjīfēn)的概念第一节不定积分的概念与性质

第四章第二页，共28页。一、原函数与不定积分(bùdìnɡjīfēn)的概念引例:一个质量(zhìliàng)为m的质点,下沿直线运动,因此(yīncǐ)问题转化为:求在变力试求质点的运动速度根据牛顿第二定律,加速度定义1.假设在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x)满足在区间

I

上的一个原函数.那么称F(x)为f(x)如引例中,的原函数有第三页，共28页。问题(wèntí):1.在什么条件下,一个函数(hánshù)的原函数(hánshù)存在?2.假设原函数存在,它如何(rúhé)表示?

定理1.

存在原函数.(下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数第四页，共28页。定理(dìnglǐ)2.原函数(hánshù)都在函数(hánshù)族(C为任意(rènyì)常数)内.证:1)又知故它属于函数族即第五页，共28页。定义(dìngyì)2.在区间(qūjiān)I上的原函数全体称为上的不定积分(bùdìnɡjīfēn),其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;(P185)假设那么(C为任意常数)C

称为积分常数,不可丢!例如,记作第六页，共28页。不定积分(bùdìnɡjīfēn)的几何意义:的原函数的图形(túxíng)称为的图形(túxíng)的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线

.第七页，共28页。例1.设曲线(qūxiàn)通过点(1,2),且其上任一点(yīdiǎn)处的切线斜率(xiélǜ)等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解:所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为第八页，共28页。例2.质点(zhìdiǎn)在距地面处以初速(chūsù)力,求它的运动(yùndòng)规律.解:

取质点运动轨迹为坐标轴,原点在地面,指向朝上,质点抛出时刻为此时质点位置为初速为设时刻

t

质点所在位置为那么(运动速度)(加速度)垂直上抛,不计阻

先由此求

再由此求第九页，共28页。先求由知再求于是(yúshì)所求运动规律为由知故第十页，共28页。二、根本(gēnběn)积分表(P188)从不定积分(bùdìnɡjīfēn)定义可知:或或利用(lìyòng)逆向思维(k

为常数)第十一页，共28页。或或第十二页，共28页。第十三页，共28页。例3.求解:

原式=例4.

求解:

原式=第十四页，共28页。三、不定积分(bùdìnɡjīfēn)的性质推论(tuīlùn):假设那么(nàme)第十五页，共28页。例5.求解:

原式第十六页，共28页。例6.

求解:

原式=例7.

求解:

原式=第十七页，共28页。例8.

求解:

原式=第十八页，共28页。内容(nèiróng)小结1.不定积分(bùdìnɡjīfēn)的概念•原函数与不定积分(bùdìnɡjīfēn)的定义•不定积分的性质•根本积分表(见P188)2.直接积分法:利用恒等变形,及根本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质第十九页，共28页。思考(sīkǎo)与练习1.证明(zhèngmíng)2.假设(jiǎshè)(P193题7)提示:第二十页，共28页。3.假设(jiǎshè)是的原函数,那么(nàme)提示(tíshì):第二十一页，共28页。4.假设(jiǎshè)的导函数(hánshù)为那么(nàme)的一个原函数是().提示:求即B??或由题意其原函数为第二十二页，共28页。5.求以下(yǐxià)积分:提示(tíshì):第二十三页，共28页。6.求不定积分(bùdìnɡjīfēn)解：第二十四页，共28页。7.求A,B.解:等式(děngshì)两边对