高等数学-第9章-(偏导数-全微分)

高等数学-第9章---(偏导数(dǎoshù)-全微分)第一页，共40页。课程(kèchéng)相关教材及相关(xiāngguān)辅导用书?高等数学?第一版，肖筱南主编,林建华等编著,北京大学出版社2010.8.?高等数学精品课程下册?第一版，林建华等编著,厦门大学出版社,2006.7.

?高等数学?第七版,同济大学数学教研室主编，高等教育出版社,2014.7.

?高等数学学习辅导与习题选解?〔同济第七版上下合订本〕同济大学应用数学系编高等教育出版社,2014.8.第二页，共40页。第九章多元函数微分学9.1多元函数的根本概念9.2偏导数9.3全微分9.4多元复合函数的求导法那么9.5隐函数的求导公式9.6多元函数微分学的几何应用9.7方向导数与梯度(tīdù)9.8多元函数的极值9.9综合例题第三页，共40页。偏导数1.偏导数的概念及计算方法2.高阶偏导数全微分(wēifēn)1.全微分(wēifēn)的概念及计算方法2.全微分(wēifēn)在近似计算中的应用第四页，共40页。一元函数的导数表示函数的变化率，对于多元函数同样需要讨论函数的变化率，我们常常需要研究某个受到多种因素制约的变量，在其他因素固定不变的情况(qíngkuàng)下，只随一种因素变化的变化率问题。反映在数学(shùxué)上就是所谓的偏导数问题，现以二元函数为例，引入偏导数的概念。第五页，共40页。一、偏导数(dǎoshù)的定义与计算方法1.偏导数(dǎoshù)的概念(1)f(x,y)在点P0(x0,y0)处的偏导数(dǎoshù)第六页，共40页。则称此极限为函数在点处对的偏导数，记为

例如(lìrú)，极限(1)可以表示为第七页，共40页。第八页，共40页。〔2〕偏导函数(hánshù)第九页，共40页。(3)偏导数概念(gàiniàn)可推广到二元以上的函数说明第十页，共40页。解2．偏导数(dǎoshù)的计算仍然是一元函数的求导公式(gōngshì)和求导法那么，对某一个自变量求偏导时，其余的自变量看作常量。第十一页，共40页。证明(zhèngmíng)原结论(jiélùn)成立．第十二页，共40页。(2)求fx(x0，y0)时，可先将y0代入得最后(zuìhòu)再将x0代入.例4解说明第十三页，共40页。例5解(3)求分界点、不连续点处的偏导数(dǎoshù)要用定义求；第十四页，共40页。按定义(dìngyì)可知：第十五页，共40页。3.偏导数存在(cúnzài)与连续的关系？但函数(hánshù)在该点处并不连续.偏导数(dǎoshù)存在连续.一元函数中在某点可导

连续，多元函数中在某点偏导数存在

连续，第十六页，共40页。如图

第十七页，共40页。纯偏导混合(hùnhé)偏导二阶及二阶以上(yǐshàng)的偏导数统称为高阶偏导数.三、高阶偏导数(dǎoshù)第十八页，共40页。解例6第十九页，共40页。具备怎样的条件才能使混合(hùnhé)偏导数相等？问题(wèntí)：混合偏导数(dǎoshù)都相等吗？第二十页，共40页。解第二十一页，共40页。例8证明(zhèngmíng)函数,其中(qízhōng)满足(mǎnzú)方程证明第二十二页，共40页。由于函数关于(guānyú)自变量的对称性，所以因此(yīncǐ)因此(yīncǐ)函数满足方程第二十三页，共40页。全微分(wēifēn)一、全微分的定义二、可微的必要和充分条件三、全微分在近似计算中的应用(yìngyòng)四、小结第二十四页，共40页。ΔxΔyxy如图，一边长分别(fēnbié)为x、y的长方形金属薄片，受热后在长和宽两个(liǎnɡɡè)方向上都发生变化，分别为Δx、Δy，那么该金属薄片的面积A改变(gǎibiàn)了多少？ΔA称为面积函数A=xy的全增量，由两局部组成：Δx，Δy的线性局部当(Δx,Δy)→(0,0)时，是一个比高阶无穷小。第二十五页，共40页。

定义设函数在点(x，y)的某个邻域内有定义，点（x+Δx，y+Δy）在该邻域内，

如果函数在点（x，y）的全增量可以(kěyǐ)表示为其中(qízhōng)A，B与Δx,Δy无关，是当→0时比ρ高阶的无穷小。则称函数在点〔x，y〕处可微，

称函数在点(x,y)处的全微分(wēifēn)，记作dz或df(x,y)，即显然，dz≈Δz一、全微分第二十六页，共40页。二可微的必要(bìyào)和充分条件定理(dìnglǐ)〔可微的必要条件〕

如果函数在点（x，y）处可微，则它在该点处必连续，且它的两个偏导数都存在，并且证明(zhèngmíng)：由函数在点（x，y）处可微有所以即第二十七页，共40页。因此，函数在点（x，y）连续。又因为中的A，B与Δx，Δy无关(wúguān)，也就是该式对任意的Δx，Δy都成立。不妨(bùfáng)取Δy=0，那么有上式两边(liǎngbiān)同除以Δx，再令Δx→0，那么有即说明存在，且同理可证

存在，且故有第二十八页，共40页。

注意：此命题不可逆。即若两偏导数都存在，也不能保证函数在点（x，y）可微。讨论(tǎolùn)函数：由以前的讨论可知，在点〔0，0〕处它的两个(liǎnɡɡè)偏导数都存在，可该函数在此点却不连续，不连续肯定不可微。定理(dìnglǐ)〔可微的充分条件〕

如果函数的两个偏导数在点（x，y）都存在且连续，则该函数在该点可微。第二十九页，共40页。以上有关概念和定理均可以(kěyǐ)推广到三元及三元以上的函数中去。

由于自变量的微分等于自变量的微分，故二元函数的全微分习惯上可写为类似地，三元函数的全微分为第三十页，共40页。例1求函数的全微分。解：先求函数的两个(liǎnɡɡè)偏导数：所以(suǒyǐ)第三十一页，共40页。例2求函数在点（2，-1）处的全微分。解：因为(yīnwèi)所以(suǒyǐ)第三十二页，共40页。

例3设函数在点（0，0）有增量Δx=0.2，Δy=0.3，求全微分dz。解：所以(suǒyǐ)此题可理解为：在点〔0，0〕处x，y分别有增量Δx，Δy时，函数(hánshù)也产生增量Δz，并且Δz≈dz。第三十三页，共40页。第三十四页，共40页。取那么(nàme)所以(suǒyǐ)例5计算(jìsuàn)的近似值。解：构造函数，则第三十五页，共40页。第三十六页，共40页。设一金属圆柱受压变形后，底面半径(bànjìng)由原来的20厘米变到厘米，高由原来的40厘米减少到厘米，求该金属体体积变化的近似值。解：20cm40cm20.1cm39.5cm设圆柱体的底面半径为r，高为h，体积(tǐ