高等数学-第3章课件

高等数学-第3章课件第一页，共36页。第一节微分中值定理第二节洛必达法那么第三节函数单调性的判断方法第四节函数的极值(jízhí)与最值第五节函数图形的描绘第二页，共36页。第一节微分(wēifēn)中值定理定理3.1.1(罗尔定理)假设函数满足:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3)f(a)=f(b),那么(nàme)在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=0.一、罗尔定理(dìnglǐ)第三页，共36页。二、拉格朗日中值定理(dìnglǐ)定理3.1.2(拉格朗日中值定理)假设函数f(x)满足:(1)在闭区间[a,b]上连续(liánxù);(2)在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)的内至少存在一点ξ,使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)(1)两个定理中的条件是充分(chōngfèn)而非必要条件;(2)两个定理中ξ的未必唯一.第四页，共36页。三、两个(liǎnɡɡè)主要推论推论1假设函数f(x)在区间I上的导数恒等于零,那么在区间I上,f(x)是一个常数.推论2假设两个函数f(x)与g(x)的导数在区间I上处处(chùchù)相等，即f'(x)=g'(x)(x∈I).那么在区间上I上f(x)与g(x)之差为一常数，即f(x)-g(x)=C(x∈I).第五页，共36页。第六页，共36页。第二节洛必达法那么(nàme)第七页，共36页。定理(dìnglǐ)3.2.1(洛必达法那么)第八页，共36页。第九页，共36页。定理(dìnglǐ)3.2.2(洛必达法那么)第十页，共36页。第十一页，共36页。三、其他(qítā)类型未定式除了型和型未定式以外，还有∞-∞,0·∞,00,1∞,∞0等类型.求这些未定式的值时，通常是先将其转化成或型未定式,然后(ránhòu)用洛必达法那么来求解.第十二页，共36页。第三节函数(hánshù)单调性的判定法定理3.3.1(函数单调性的判别法)设函数y=f(x)在开区间(a,b)的内可导，那么(1)如果在(a,b)的内恒有f'(x)>0,那么函数y=f(x)在(a,b)的上单调增加(zēngjiā);(2)如果在(a,b)的内恒有f'(x)<0,那么函数y=f(x)在(a,b)的上单调减少.第十三页，共36页。注意：(1)定理(dìnglǐ)中的区间改成其他区间(包括无穷区间)，结论仍成立.(2)函数的单调性是局部概念，如有些函数仅在定义域的局部区间上具有单调性.使f'(x)=0的点x0称为函数y=f(x)的驻点.使f'(x)不存在的点x0称为函数y=f(x)的尖点.第十四页，共36页。第十五页，共36页。下面是确定函数单调(dāndiào)性的一般步骤:(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求出使函数f'(x)=0和f'(x)不存在的点，并以这些点为分界点，将定义域划分成假设干个子区间;(3)确定f'(x)在各个子区间的正负，从而确定f(x)的单调(dāndiào)区间.第十六页，共36页。第四节函数(hánshù)的极值与最值定义3.4.1设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义，如果对于该邻域内的任何点x(x≠x0),恒有f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0)),那么(nàme)称f(x0)为函数f(x)的一个极大值(或极小值)，称x0为f(x)的极大值点(或极小值点).函数的极大值与极小值统称(tǒngchēng)为极值.极大值点与极小值点统称(tǒngchēng)为极值点.第十七页，共36页。定理3.4.1(极值存在的必要条件)假设函数f(x)在点x0处可导,且在x0处取得极值,那么必有f'(x0)=0.定义3.4.2使导数f'(x)等于零的点x0,称为(chēnɡwéi)函数f(x)的驻点.第十八页，共36页。定理3.4.2(极值存在的第一充分条件)设函数f(x)在点x0的某个邻域(línyù)(x0-δ,x0+δ)内连续且可导(但f'(x)可以不存在).那么(1)如果当x∈(x0-δ,x0)时f'(x)>0,而当x∈(x0,x0+δ)时f'(x)<0,那么x0是极大值点,f(x0)为f(x)的极大值;(2)如果当x∈(x0-δ,x0)时f'(x)<0,而当x∈(x0,x0+δ)时f'(x)>0,那么x0是极小值点,f(x0)为f(x)的极小值;(3)如果当x∈(x0-δ,x0)和x∈(x0,x0+δ)时,f'(x)不改变符号,那么x0不是极值点.第十九页，共36页。第二十页，共36页。定理(极值存在的第二充分条件)设函数f(x)在点x0处具有二阶导数(dǎoshù)且f'(x0)≠0,那么(1)当f''(x0)<0时,x0为极大值点.f(x0)为极大值;(2)当f''(x0)>0时,x0为极小值点.f(x0)为极小值;第二十一页，共36页。第二十二页，共36页。二、函数(hánshù)的最值函数的最大值和最小值可按如下方法求得:(1)求出函数f(x)在(a,b)的内所有可能的极值点(驻点和不可导点);(2)求出函数f(x)在这些点处相应的函数值及端点的函数值f(a)、f(b),然后比较它们的大小(dàxiǎo)，其中最大者为f(x)在[a,b]上的最大值，最小者为f(x)在[a,b]上的最小值.第二十三页，共36页。第二十四页，共36页。第五节函数(hánshù)图形的描绘定义3.5.1设曲线(qūxiàn)y=f(x)在区间(a,b)内各点均有切线.如果曲线(qūxiàn)弧总位于切线的上方，那么称曲线(qūxiàn)y=f(x)在(a,b)内是凹弧或凹的，也称(a,b)为曲线(qūxiàn)y=f(x)的凹区间.如果曲线(qūxiàn)弧总位于切线的下方，那么称曲线(qūxiàn)y=f(x)在(a,b)内是凸弧或凸的，也称(a,b)为曲线(qūxiàn)y=f(x)的凸区间.一、曲线(qūxiàn)的凹凸性与拐点第二十五页，共36页。定理3.5.1(曲线凹凸性判别定理)设函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数，那么(1)如果(rúguǒ)在(a,b)内恒有f''(x0)>0,那么曲线y=f(x)在(a,b)内为凹弧;(2)如果(rúguǒ)在(a,b)内恒有f''(x0)<0,那么曲线y=f(x)在(a,b)内为凸弧;定义3.5.2连续曲线y=f(x)上凹弧与凸弧的分界点，叫做该曲线的拐点.第二十六页，共36页。定理3.5.2设曲线y=f(x)是连续曲线，那么(nàme)(1)假设点M(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点,那么(nàme)f'(x0)=0或f'(x)在x0处不存在.(2)假设除x0外,f(x)在点x0的某邻域内二阶可导,且在点x0左、右两侧f''(x0)异号,那么(nàme)点(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点.第二十七页，共36页。判断曲线y=f(x)的凹凸性与拐点的一般步骤如下:(1)确定函数f(x)的定义域，并求出f''(x);(2)求出使f''(x)=0和f''(x)不存在的点，这些点将定义域划分成假设(jiǎshè)干个子区间，在每个区间上确定f''(x)的符号，从而确定曲线y=f(x)的凹凸区间;(3)假设(jiǎshè)在f''(x)=0的实根x0的两侧f''(x)的符号相反，那么(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点.第二十八页，共36页。第二十九页，共36页。二、曲线(qūxiàn)的渐近线1.水平(shuǐpíng)渐近线2.铅垂渐近线第三十页，共36页。3.斜渐近线那么(nàme)曲线y=f(x)有斜渐近线y=kx+b.定理(斜渐近线)假设函数(hánshù)f(x)满足:第三十一页，共36页。三、函数(hánshù)图形的描绘描绘函数y=f(x)的图形的一般步骤如下:(1)确定(quèdìng)函数的定义域，并讨论其对称性