高等数学(高教版)第一章多项式第八节课件

高等数学(高教(ɡāojiào)版)第一章多项式第八节课件第一页，共14页。一、代数(dàishù)根本定理以上(yǐshàng)我们讨论了在一般数域上多项式的因式分解问题(wèntí)，现在来看一下在复数域与实数域上多项式的因式分解.复数域与实数域既然都是数域，因此前面所得的结论对它们也是成立的.但是这两个数域又有它们的特殊性，所以某些结论就可以进一步具体化.对于复数域，我们有下面重要的定理：第二页，共14页。代数根本定理(dìnglǐ)每个次数1的复系数多项式在复数(fùshù)域中有一根.这个定理(dìnglǐ)的证明在本课程中不讲，将来利用复变函数论中的结论，可以很简单地证明.利用根与一次因式的关系()代数根本定理显然可以等价地表达为：每个次数

1的复系数多项式，在复数域上一定有一个一次因式.第三页，共14页。由此可知，在复数域上所有(suǒyǒu)次数大于1的多项式全是可约的.换句话说，不可(bùkě)约多项式只有一次多项式.于是，因式分解定理(dìnglǐ)在复数域上可以表达成：第四页，共14页。二、复系数(xìshù)多项式因式分解定理每个次数(cìshù)1的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式(yīnshì)的乘积.因此，复系数多项式具有标准分解式其中1,

2,…,s

是不同的复数，l1,l2,…,ls是正整数.标准分解式说明了每个n

次复系数多项式恰有n

个复根(重根按重数计算).第五页，共14页。三、实系数多项式因式分解(yīnshìfēnjiě)定理下面来讨论(tǎolùn)实系数多项式的分解.对于(duìyú)实系数多项式，以下的事实是根本的，即如果是实系数多项式f(x)的复根，那么的共轭数也是f(x)的根.因为设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0,其中a0,a1,…,an

是实数.由假设f()=an

n+an-1

n-1+…+0=0.第六页，共14页。两边(liǎngbiān)取共轭数，有f()=an

n+an-1

n-1+…+a0=0,这就是说，f()=0，也是f(x)的根.

由此可以(kěyǐ)证明实系数(xìshù)多项式因式分解定理每个次数1的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.第七页，共14页。证明(zhèngmíng)定理(dìnglǐ)对一次多项式显然成立.假设(jiǎshè)定理对次数<n的多项式已经证明.设f(x)是n

次实系数多项式.由f(x)有一复根.如果是实数，那么f(x)=(x-)f1(x),其中f1(x)是n-1次实系数多项式.如果不是实数，那么也是f(x)的根且.于是f(x)=(x-)(x-)f2(x).第八页，共14页。显然(x-)(x-)=x2-(+)x+是一实系数二次不可(bùkě)约多项式.从而(cóngér)f2(x)是n-2次实系数多项式.由归纳法假设(jiǎshè)，f1(x)或f2(x)可以分解成一次与二次不可约多项式的乘积，因而f

(x)也可以如此分解.证毕第九页，共14页。因此(yīncǐ)，实系数多项式具有标准分解式其中(qízhōng)c1,…,cs,p1,…,pr,q1,…,qr全是实数，l1,…,ls,k1,…,kr是正整数，并且(bìngqiě)x2+pix+qi(i=1,2,…,r)是不可约的，也就是适合条件pi2-4qi<0,i=1,2,…,r.第十页，共14页。代数根本定理虽然肯定(kěndìng)了n次方程有n个复根，但是(dànshì)并没有给出根的一个具体的求法.高次方程求根的问题(wèntí)还远远没有解决.特别是在应用方面方程求根是一个重要的问题，这个问题是相当复杂的，它构成了计算数学的一个分支，在这里我们就不讨论了.第十一页，共14页。本节内容(nèiróng)已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设(jiǎshè)想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束(jiéshù)!假设想结束(jiéshù)本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!假设想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已