人教版数学必修二第四章-圆与方程-知识点总结

人教版数学必修二第四章-圆与方程-知识点总结第四章圆与方程4．1圆的方程4．1.1圆的标准方程1．以(3，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为()A．(x＋3)2＋(y－1)2＝4B．(x－3)2＋(y＋1)2＝4C．(x－3)2＋(y＋1)2＝16D．(x＋3)2＋(y－1)2＝162．一圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝8，则此圆的圆心与半径分别为()A．(1,0)，4B．(－1,0)，2eq\r(2)C．(0,1)，4D．(0，－1)，2eq\r(2)3．圆(x＋2)2＋(y－2)2＝m2的圆心为________，半径为________．4．若点P(－3,4)在圆x2＋y2＝a2上，则a的值是________．5．以点(－2,1)为圆心且与直线x＋y＝1相切的圆的方程是____________________．6．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A．x2＋(y－2)2＝1eq\r(3)，求a的值．4.1.2圆的一般方程1．圆x2＋y2－6x＝0的圆心坐标是________．2．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，以4为半径的圆，则F＝________.3．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则k的取值范围是()A．k>1B．k<1C．k≥1D．k≤14．已知圆的方程是x2＋y2－2x＋4y＋3＝0，则下列直线中通过圆心的是()A．3x＋2y＋1＝0B．3x＋2y＝0C．3x－2y＝0D．3x－2y＋1＝05．圆x2＋y2－6x＋4y＝0的周长是________．6．点(2a,2)在圆x2＋y2－2y－4＝0的内部，则a的取值范围是()A．－1<a<1B．0<a<1C．－1<a<eq\f(1,5)D．－eq\f(1,5)<a<17．求下列圆的圆心和半径．(1)x2＋y2－x＝0；(2)x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)；(3)x2＋y2＋2ay－1＝0.8．过点A(11,2)作圆x2＋y2＋2x－4y－164＝0的弦，其中弦长为整数的共有()A．16条B．17条C．32条D．34条9．已知点A在直线2x－3y＋5＝0上移动，点P为连接M(4，－3)和点A的线段的中点，求P的轨迹方程．10．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆．(1)求t的取值范围；(2)求圆的圆心和半径；(3)求该圆的半径r的最大值及此时圆的标准方程．4．2直线、圆的位置关系4．2.1直线与圆的位置关系1．直线y＝x＋3与圆x2＋y2＝4的位置关系为()A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离2．下列说法中正确的是()A．若直线与圆有两个交点，则直线与圆相切B．与半径垂直的直线与圆相切C．过半径外端的直线与圆相切D．过圆心且与切线垂直的直线过切点3．若直线x＋y＝2与圆x2＋y2＝m(m>0)相切，则m的值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D．24．(2013年陕西)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定5．经过点M(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，则切线方程为()A.eq\r(2)x＋y＝5B.eq\r(2)x＋y＋5＝0C．2x＋y＝5D．2x＋y＋5＝06．(2013年浙江)直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________．7．已知直线kx－y＋6＝0被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求k的值．8．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为()A．1B．2eq\r(2)C.eq\r(7)D．39．已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4，直线l：(m＋2)x＋(2m＋1)y＝7m＋8.(1)证明：无论m为何值，直线l与圆C恒相交；(2)当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值．10．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l∶ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且AB＝2eq\r(2)时，求直线l的方程．

4.2.2圆与圆的位置关系1．已知两圆的方程x2＋y2＝4和x2＋y2－6x＋8y＋16＝0，则此两圆的位置关系是()A．外离B．外切C．相交D．内切2．圆x2＋y2＋2x＋1＝0和圆x2＋y2－y＋1＝0的公共弦所在直线方程为()A．x－2y＝0B．x＋2y＝0C．2x－y＝0D．2x＋y＝03．已知直线x＝a(a>0)和圆(x＋1)2＋y2＝9相切，那么a的值是()A．2B．3C．4D．54．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有()A．1条B．2条C．3条D．4条5．已知两圆相交于两点A(1,3)，B(m，－1)，两圆圆心都在直线2x－y＋c＝0上，则m＋c的值是()A．－1B．2C．3D．06．圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为AB，则线段AB的垂直平分线方程为()A．x＋y－1＝0B．2x－y＋1＝0C．x－2y＋1＝0D．x－y＋1＝07．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2eq\r(3)，求实数a的值．8．两圆(x－3)2＋(y－4)2＝25和(x－1)2＋(y－2)2＝r2相切，则半径r＝____________.9．已知两圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0与C2：x2＋y2＋6x－2y－40＝0，求：(1)它们的公共弦所在直线的方程；(2)公共弦长．10．已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20(a－1)＝0.(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．4.2.3直线与圆的方程的应用1．方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示的圆()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线x－y＝0对称D．关于直线x＋y＝0对称2．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为()A．0或2B．2C.eq\r(2)D．无解3．过原点的直线与圆(x＋2)2＋y2＝1相切，若切点在第三象限，则该直线方程为()A．y＝eq\r(3)xB．y＝－eq\r(3)xC．y＝eq\f(\r(3),3)xD．y＝－eq\f(\r(3),3)x4．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相离，则点P(a，b)与圆的位置关系是()A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．都有可能5．圆x2＋y2－4x－4y－1＝0上的动点P到直线x＋y＝0的最小距离为()A．1B．0C．2eq\r(2)D．2eq\r(2)－36．过点P(2,1)作圆C：x2＋y2－ax＋2ay＋2a＋1＝0的切线只有一条，则a的取值是()A．a＝－3B．a＝3C．a＝2D．a＝－27．与圆x2＋y2－4x－6y＋12＝0相切且在两坐标轴上的截距相等的直线有()A．4条B．3条C．2条D．1条8．设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点P(3，1)，则直线AB的方程为____________．9．若实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么eq\f(y,x)的最大值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\r(3)10．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2，3)．(1)若点P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；(2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；(3)若实数m，n满足m2＋n2－4m－14n＋45＝0，求k＝eq\f(n－3,m＋2)的最大值和最小值．4.3空间直角坐标系4．3.1空间直角坐标系1．点P(－1,0,1)位于()A．y轴上B．z轴上C．xOz平面内D．yOz平面内2．在空间直角坐标系中，点(－2,1,4)关于x轴的对称点的坐标是()A．(－2,1，－4)B．(－2，－1，－4)C．(2，－1,4)D．(2,1，－4)3．点P(－4,1,3)在平面yOz上的投影坐标是()A．(4,1,0)B．(0,1,3)C．(0,3,0)D．都不对4．在空间直角坐标系中，点P(1，eq\r(2)，eq\r(3))，过点P作平面yOz的垂线PQ垂足为Q，则Q的坐标为()A．(0，eq\r(2)，0)B．(0，eq\r(2)，eq\r(3))C．(1,0，eq\r(3))D．(1，eq\r(2)，0)5．点(2，－3,0)在空间直角坐标系中的位置是在()A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．第一象限内6．设x，y为任意实数，相应的点P(x，y,3)的集合是()A．z轴上的两个点B．过z轴上的点(0,0,3)，且与z轴垂直的直线C．过z轴上的点(0,0,3)，且与z轴垂直的平面D．以上答案都有可能7．点A(1，－3,2)关于点(2,2,3)的对称点的坐标为()A．(3，－1,5)B．(3,7,4)C．(0，－8,1)D．(7,3,1)8．已知点A(3，y,4)，B(x,4,2)，线段AB的中点是C(5,6，z)，则x＝______，y＝______，z＝________.9．点P(2,3,5)到平面xOy的距离为________．10．如图K4­3­1，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为正方形，且边长为2a，棱PD⊥底面ABCD，|PD|＝2b，取各侧棱的中点E，F，G，H，试建立适当的空间直角坐标系，写出点E，F，G，H的坐标．图K4­3­1

4．3.2空间两点间的距离公式1．在空间直角坐标系中，点A(2,1,5)与点B(2,1，－1)之间的距离为()A.eq\r(6)B．6C.eq\r(3)D．22．坐标原点到下列各点的距离最大的是()A．(1,1,1)B．(2,2,2)C．(2，－3,5)D．(3,3,4)3．已知A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为()A．(－3,0,0)B．(－3,0,1)C．(0,0，－3)D．(0，－3,0)4．设点B是A(－3,2,5)关于xOy平面的对称点，则|AB|＝()A．10B.eq\r(10)C．2eq\r(10)D．405．已知空间坐标系中，A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，AB的中点为M，线段CM的长|CM|＝()A.eq\f(\r(53),4)B.eq\f(53,2)C.eq\f(\r(53),2)D.eq\f(\r(13),2)6．方程(x－12)2＋(y＋3)2＋(z－5)2＝36的几何意义是____________________________．7．已知点A在y轴上，点B(0,1,2)，且|AB|＝eq\r(5)，求点A的坐标．8．以A(1,2,1)，B(1,5,1)，C(1,2,7)为顶点的三角形是________三角形．9．已知点A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为________．10．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1，0，－3)，问：(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|；(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标．

第四章圆与方程4．1圆的方程4．1.1圆的标准方程1．C2.D3．(－2,2)|m|4.±55.(x＋2)2＋(y－1)2＝26．A解析：方法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知eq\r(0－12＋b－22)＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.方法二(数形结合法)：作图由点到圆心的距离为1，易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.7．解：方法一：设圆心P(a，b)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3b－10＝0，,\r(a－52＋b2)＝\r(a＋22＋b－12)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－3.))圆的半径r＝eq\r(a－52＋b2)＝eq\r(1－52＋－32)＝5.∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝25.方法二：线段AB的中点P′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5－2,2)，\f(0＋1,2)))，即P′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2))).直线AB的斜率k＝eq\f(1－0,－2－5)＝－eq\f(1,7).∴弦AB的垂直平分线的方程为y－eq\f(1,2)＝7eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))，即7x－y－10＝0.解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y－10＝0，,7x－y－10＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－3.))即圆心P(1，－3)．圆的半径r＝eq\r(1－52＋－32)＝5.∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝25.8．D9.eq\r(41)＋510．解：∵弦AB的长为2eq\r(3)，则由垂径定理，圆心(1,2)到直线的距离等于1，∴eq\f(|a－2＋3|,\r(a2＋1))＝1，∴a＝0.4．1.2圆的一般方程1．(3,0)2.43．B4.A5．2eq\r(13)π6．A7．解：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋y2＝eq\f(1,4)，圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，半径r＝eq\f(1,2).(2)(x＋a)2＋y2＝a2，圆心(－a,0)，半径r＝|a|.(3)x2＋(y＋a)2＝1＋a2，圆心(0，－a)，半径r＝eq\r(1＋a2).8．C解析：圆的标准方程是：(x＋1)2＋(y－2)2＝132，圆心(－1,2)，半径r＝13.过点A(11,2)的最短的弦长为10，最长的弦长为26(分别只有一条)，还有长度为11,12，…，25的各2条，所以共有长为整数的弦2＋2×15＝32(条)．9．解：设点P的坐标为(x，y)，A的坐标为(x0，y0)．∵点A在直线2x－3y＋5＝0上，∴有2x0－3y0＋5＝0.又∵P为MA的中点，∴有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4＋x0,2)，,y＝\f(－3＋y0,2).))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－4，,y0＝2y＋3.))代入直线的方程，得2(2x－4)－3(2y＋3)＋5＝0，化简，得2x－3y－6＝0即为所求．10．解：(1)由圆的一般方程，得[－2(t＋3)]2＋4(1－4t2)2－4(16t4＋9)>0，解得－eq\f(1,7)<t<1.(2)圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(－2t＋3,2)，－\f(21－4t2,2)))，即(t＋3,4t2－1)，半径r＝eq\f(1,2)eq\r([－2t＋3]2＋41－4t22－416t4＋9)＝eq\r(－7t2＋6t＋1).(3)r＝eq\r(－7t2＋6t＋1)＝eq\r(－7\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,7)))2＋\f(16,7))，所以当t＝eq\f(3,7)时，rmax＝eq\f(4\r(7),7)，故圆的标准方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(24,7)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(13,49)))2＝eq\f(16,7).4．2直线、圆的位置关系4．2.1直线与圆的位置关系1．D2.D3.D4．B解析：点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，有eq\r(a2＋b2)>1，圆心到直线ax＋by＝1的距离为d＝eq\f(1,\r(a2＋b2))<1＝r，所以直线与圆O相交．5．C解析：因为点(2,1)在圆x2＋y2＝5上，所以切线方程为2x＋y＝5.6．4eq\r(5)解析：圆(x－3)2＋(y－4)2＝25，圆心(3,4)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝eq\f(|6－4＋3|,\r(5))＝eq\r(5)，弦长等于2eq\r(52－\r(5)2)＝4eq\r(5).7．解：设直线kx－y＋6＝0被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为AB，其中点为C，则△OCB为直角三角形．因为圆的半径为|OB|＝5，半弦长为eq\f(|AB|,2)＝|BC|＝4，所以圆心到直线kx－y＋6＝0的距离为3.由点到直线的距离公式得eq\f(6,\r(k2＋1))＝3.解得k＝±eq\r(3).8．C9．(1)证明：由(m＋2)x＋(2m＋1)y＝7m＋8，得mx＋2x＋2my＋y＝7m＋8，即m(x＋2y－7)＋(2x＋y－8)＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－7＝0，,2x＋y－8＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2.))∴无论m为何值，直线l恒过定点(3,2)．(2)解：过圆内的一点的所有弦中，最长的弦是过该点的直径，最短的弦是垂直于过该点的直径的那条弦，∵圆心(2,3)，定点(3,2)，直径的斜率为－1，∴最短的弦的斜率为1，故最短弦的方程为x－y－1＝0.∴m＝－1.10．解：将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方，得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l与圆C相切，则有eq\f(|4＋2a|,\r(a2＋1))＝2.解得a＝－eq\f(3,4).故当a＝－eq\f(3,4)时，直线l与圆C相切．(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(CD＝\f(|4＋2a|,\r(a2＋1))，,CD2＋DA2＝AC2＝22，,DA＝\f(1,2)AB＝\r(2)，))解得a＝－7或a＝－1.∴直线l的方程是7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.4．2.2圆与圆的位置关系1．B2.D3.A4．C解析：圆化为标准方程，得(x－2)2＋(y＋1)2＝4，(x＋2)2＋(y－2)2＝9，∴圆心O1(2，－1)，r1＝2，O2(－2,2)，r2＝3.∵|O1O2|＝5＝r1＋r2，∴两圆外切．∴公切线有3条．5．D6.A7．解：由已知两个圆的方程可得相交弦的直线方程为y＝eq\f(1,a).利用圆心(0,0)到直线的距离d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))，得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝eq\r(22－\r(3)2)＝1，解得a＝1或a＝－1(舍)．8．5－2eq\r(2)9．解：(1)将两圆方程C1：x2＋y2－10x－10y＝0与C2：x2＋y2＋6x－2y－40＝0相减，得2x＋y－5＝0.∴公共弦所在直线的方程为2x＋y－5＝0.(2)圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0的标准方程为(x－5)2＋(y－5)2＝50，圆心为(5,5)，半径为5eq\r(2)，圆心到直线2x＋y－5＝0的距离为2eq\r(5)，根据勾股定理和垂径定理，知公共弦长为2eq\r(30).10．(1)证明：将圆的方程整理，得(x2＋y2－20)＋a(－4x＋2y＋20)＝0，此方程表示过圆x2＋y2＝20与直线－4x＋2y＋20＝0的交点的圆系，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝20，,4x－2y－20＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2.))故对任意实数a，该圆恒过定点(4，－2)．(2)解：圆的方程可化为(x－2a)2＋(y＋a)2＝5a2－20a＋20＝5(a－2)2.①若两圆外切，则2＋eq\r(5a－22)＝eq\r(5a2)，解得a＝1＋eq\f(\r(5),5)或a＝1－eq\f(\r(5),5)(舍)；②若两圆内切，则|eq\r(5a－22)－2|＝eq\r(5a2)，解得a＝1－eq\f(\r(5),5)，或a＝1＋eq\f(\r(5),5)(舍)．综上所述，a＝1±eq\f(\r(5),5).4．2.3直线与圆的方程的应用1．D解析：该圆的圆心(－a，a)，在直线x＋y＝0上，故关于直线x＋y＝0对称．2．B解析：圆心(0,0)到直线x＋y＋m＝0的距离d＝eq\f(|m|,\r(2))＝eq\r(m)，m＝2.3．C4．C解析：由于直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相离，则eq\f(1,\r(a2＋b2))>1，即a2＋b2<1，∴P在圆内．5．C6.A7．A解析：过原点的直线也满足条件．8．x＋y－4＝09．D解析：方法一：∵实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，∵记P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝3上的点，eq\f(y,x)是直线OP的斜率，记为k.∴直线OP：y＝kx，代入圆的方程，消去y，得(1＋k2)x2－4x＋1＝0.直线OP与圆有公共点的充要条件是Δ＝(－4)2－4(1＋k2)≥0，∴－eq\r(3)≤k≤eq\r(3).方法二：同方法一，直线OP与圆有公共点的条件是eq\f(|k·2－0|,\r(k2＋1))≤eq\r(3)，∴－eq\r(3)≤k≤eq\r(3).10．解：(1)∵点P(a，a＋1)在圆上，∴a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0.解得a＝4，∴P(4,5)．∴|PQ|＝eq\r(4＋22＋5－32)＝2eq\r(10)，kPQ＝eq\f(3－5,－2－4)＝eq\f(1,3).(2)∵圆心坐标C为(2,7)，半径为2eq\r(2)，∴|QC|＝eq\r(2＋22＋7－32)＝4eq\r(2).∴|MQ|max＝4eq\r(2)＋2eq\r(2)＝6eq\r(2)，|MQ|min＝4eq\r(2)－2eq\r(2)＝2eq\r(2).(3)设点(－2,3)的直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，方程m2＋n2－4m－14n＋45＝0，即(m－2)2＋(n－7)2＝8表示圆．易知直线l与圆方程相切时，k有最值，∴eq\f(|2k－7＋2k＋3|,\r(1＋k2))＝2eq\r(2).∴k＝2±eq\r(3).∴k＝eq\f(n－3,m＋2)的最大值为2＋eq\r