山东省泰安市泰山区泰山学院附属中学2022-2023年鲁教版（五四制）数学八年级下册大单元二次根式一元二次方程

二次根式与

学习目标1.加深理解二次根式的有关概念，熟练掌握二次根式有意义的条件，灵活熟练地化简二次根式,进行二次根式的加减、乘除混合运算。2.理解一元二次方程的概念，熟练一元二次方程的解法，会用列一元二次方程的方法解决实际问题。

思维导图②a都是非负数.1.形如（a≥0）的式子叫做二次根式．a①都是形如

的式子，a其中a为整式或分式，a叫做被开方式．特点：)；0(0aa≥≥的算术平方根表示2.因为)0(，所以aaa≥);0()(2≥=aaa1.下列各式：中，一定是二次根式的个数有（）个个个个2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：由a-1≥0，得a≥1解：由2a+3≥0，得解：（1）；（2）=22×=4×3=12.

计算：（1）；（2）.1．二次根式的性质)；0(0aa≥≥2.积的算术平方根的性质：3.商的算术平方根的性质：(a≥0,b≥0)逆运算：

(a≥０，ｂ＞０)化简：（1）（2）（4）1、被开方数中不含分母；

2、被开方数中不含能开尽方的因数或因式。

像这样的二次根式叫做最简二次根式判断下列各式中哪些是最简二次根式？（1）（3）（4）（2）

同类二次根式

一般地，二次根式相加减，先把各个二次根式分别化成最简二次根式，然后再将同类二次根式分别合并.有括号时，要先去括号.

几个二次根式化简成最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式.

计算：

.

解：

=

（3）合并同类二次根式。一化二找三合并二次根式加减法的步骤：（1）将每个二次根式化为最简二次根式；（2）找出其中的同类二次根式；),0,0(≥≥ba·ba=ab).0,0(>≥baba=ba1.二次根式的乘法和除法法则:2.二次根式相乘除，先按照法则进行运算，如果积或商中含有二次根式，要将它化成最简二次根式.二次根式的乘除计算：;624)2(;147)1(·练习：二次根式的混合运算例题展示：练习：思考：提示：a²-ab+b²=（a+b）²-3ab=（a-b）²+ab关键：a²-ab+b²与（a+b）²或（a-b）²的关系一元二次方程及一般形式:1.只含有_____个未知数,且未知数的最高次数为______的________方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是________________(a≠0);其中a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.一2整式ax2+bx+c=01、判断下面哪些方程是一元二次方程：√

√

×

×

×

×

()×

2、把方程（1-x)(2-x)=3-x2化为一般形式是：___________,其二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是____.3、方程（m-2)x|m|+3mx-4=0是关于x的一元二次方程，则（）A.m=±2B.m=2C.m=-2D.m≠±24、若x=2是方程x2+ax-8=0的根，则a=______.一元二次方程的解法因式分解法开平方法配方法公式法你能说出每一种解法的特点吗?方程的左边是完全平方式,右边是非负数;即形如x2=a(a≥0)开平方法1.化1:把二次项系数化为1;2.移项:把常数项移到方程的右边;3.配方:方程两边同加一次项系数一半的平方;4.变形:化成5.开平方，求解“配方法”解方程的基本步骤★一除、二移、三配、四化、五解.用公式法解一元二次方程的前提是:公式法1.必需是一般形式的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0).

2-4ac≥0.1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零;因式分解法2.理论依据是:如果两个因式的积等于零那么至少有一个因式等于零.因式分解法解一元二次方程的一般步骤:一移-----方程的右边=0;二分-----方程的左边因式分解;三化-----方程化为两个一元一次方程;四解-----写出方程两个解;

①x2-3x+1=0②3x2-1=0③-3t2+t=0④x2-4x=2⑤2x2－x=0⑥5(m+2)2=8⑦3y2-y-1=0⑧2x2+4x-1=0⑨(x-2)2=2(x-2)

适合运用直接开平方法

；适合运用因式分解法

；适合运用公式法

；适合运用配方法

.

选一选例：解一元二次方程1.用直接开平方法：(x+2)2=９3.用公式法解方程:3x2=4x+72.用因式分解法解方（y+2)2=3(y+2）4.用配方法解方程:4x2-8x-5=0用适当的方法求解下列方程：1)(x+1)(x-3)=12)2(x-3)=3x(x-3)3)(x+1)(x-3)=2x-5

4)(x+1)2-2(x-1)2=7

一元二次方程根的判别式

两不相等实根两相等实根无实根一元二次方程根的情况定理与逆定理两个不相等实根

两个相等实根

无实根(无解)若一元二次方程有实数根，则例题：求证：关于x的方程x2-(m+2)x+2m-1=0有两个不相等的实数根.1、关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是__

_____．2、关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是_______.练习：3、若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）

B.且

C.D.且若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2

，则

x1+x2=

x1·x2=若方程x2+px+q=0(a≠0)的两根为x1、x2

，则

x1+x2=

x1·x2=一元二次方程根与系数关系（韦达定理）1、关于x的一元二次方程x²+(m-1)x-5=0，当m___时，方程的两根为互为相反数.2、关于x的一元二次方程3x²-5x+(m-1)=0，当m___时，方程的两根为互为倒数.=1=4若方程的两根为互为相反数，则b=0。若方程的两根为互为倒数，则a=c。3、已知是关于x的一元二次方程的两根，是否存在实数k，使成立？1.审清题意，弄清题中的已知量和未知量找出题中的等量关系。2.恰当地设出未知数，用未知数的代数式表示未知量。3.根据题中的等量关系列出方程。4.解方程得出方程的解。5.检验看方程的解是否符合题意。6.作答注意单位。列方程解应用题的解题过程一元二次方程的应用2、数字问题3、变化率问题、疾病传播问题5、面积问题4、利润问题1、增长率注意：①设要有单位②解出方程后检验根的合理性6、几何问题例1：甲公司前年缴税40万元，今年缴税万元.该公司缴税的年平均增长率为多少?增长率问题某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相同。已知该厂今年4月份的电冰箱产量为5万台，6月份比5月份多生产了12000台，求该厂今年产量的月平均增长率为多少?利润型某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量减少20千克,现该商场要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?解:设每千克水果应涨价x元,依题意得:(500-20x)(10+x)=6000整理得:x2-15x+50=0解这个方程得:x1=5x2=10要使顾客得到实惠应取x=5