数字信号处理课件第三章

第三章:离散傅里叶变换TheDiscreteFourierTransform

(DFT)§3-1 引言z变换与DTFT：

无限长序列的变换；结果为连续变量函数。（不是可数字计算的）DFT的特点：

时域、频域都是离散的，适合于用计算机进行分析和处理。处理对象：有限长序列notnumericallycomputable

DFT要解决两个问题： 一是离散与量化， 二是快速运算。信号处理DFT(FFT)傅氏变换离散量化

§3-2 傅氏变换的几种可能形式

时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—DTFT离散时间、离散频率—???一.连续时间、连续频率----傅里叶变换00tFourierTransform时域信号频域信号连续的非周期的非周期的连续的对称性:

时域连续，则频域非周期。反之亦然。特点：二.连续时间、离散频率----傅里叶级数0t------0Fourierseries时域信号频域信号连续的周期的非周期的离散的

时域周期为T0,

频域谱线间隔为特点：periodicdiscretenonperiodiccontinuous三.离散时间、连续频率

----离散时间傅里叶变换（DTFT）（理想抽样信号的傅里叶变换）x(nT)T-T0T2Tt0------时域信号频域信号离散的非周期的周期的连续的特点：注：DTFT反变换原式为根据关系将变量换为，并利用即得

时域信号频域信号连续的非周期的非周期的连续的时域信号频域信号连续的周期的非周期的离散的时域信号频域信号离散的非周期的周期的连续的比较：FT(CTFT)FSDTFT四.离散时间、离散频率

----离散傅里叶级数（DFS）及离散傅里叶变换（DFT）

前面三种变换关系中，时域或频域至少有一个量是连续量，这样的函数是不能用计算机来处理的，计算机或数字系统只能把离散的数据变成新的离散的数据。时域信号频域信号离散的周期的周期的离散的

根据前面总结的对应关系，要想在时域和频域都是离散的，那么两域必须是周期的。DiscreteFourierSeries00123kx(nT)=x(n)t0T2T12

N

nNT

离散傅里叶级数（DFS）：时域、频域都为离散、都为周期情况时的变换对。离散傅里叶变换（DFT）：在DFS的时域、频域各截取一个主值周期时的对应关系。都为离散、非周期（有限长）

（注：由于DFT是DFS的截取结果，所以DFT只是简化了的DFS，在数学上不是严格的对应关系）比较：FT(CTFT)FSDTFTDFT（DFS）的简单推演：在一个周期内，可进行如下变换：DTFT频域离散化：视作n的函数，视作k的函数，则得（正变换）（反变换）§3-3周期序列的离散傅里叶级数（DFS）一.周期序列的傅里叶级数分解：对上式进行抽样，得：FS：DiscreteFourierSeries因是离散的，所以应是周期的。

频域上周期的计算：因此，频域上也是周期为N的序列。（频域序列与时域序列的周期都是N)根据抽样定理，抽样后频谱周期延拓的周期是抽样频率；而频域序列的间隔是，则频域每个周期包含的序列点数为☆

又由于即也是以N为周期的，就是说的级数分解只有N个独立元素，所以求和可以在一个周期内进行：

在式中，二.的k次谐波系数的求取

1.预备知识证明：2.的表达式

将式的两端乘，然后从

n=0

到N-1

求和：则上式中，k、r

都是0~N-1

之间的整数，的DFS变换对为

通常将定标因子

移到求的表示式中，即：（将前页式中的换成，再将换为即可推出上述结果。）三.离散傅氏级数的习惯表示法：通常用符号代表因子，则有：正变换：反变换：注：用DFS、IDFS

表示离散傅里叶级数的正、反变换。四.的周期性与用z变换的求法周期性：取的一个周期，记作：=,0nN-10,其他n对作z变换:

用z变换求：

可见，是z变换在单位圆上抽样，抽样点在单位圆上的N个等分点上，且第一个抽样点为k=0。如果，则有其中，a、b为任意常数。§3-4 DFS的性质一.

线性如果则有PropertiesoftheDFS二.

序列的移位

则有：如果证明：令i=m+n,则n=i-m。n=0时，i=m;n=N-1时，i=N-1+m所以注：和都是以N为周期的周期函数。三.调制特性

如果

则有

证明：

调制特性：时域乘以虚指数()的l次幂，频域搬移l

。四.周期卷积定理

1.周期卷积和的定义：两个周期同为N的周期序列与的周期卷积和为：O

计算过程与序列的卷积（线性卷积）相似，只是求和范围限定在一个周期。OPeriodicconvolution例：下页两个信号，周期N=6：（1）画出和的图形；（2）将翻摺,得到

不移位、相乘、相加可计算出：计算步骤：翻褶、移位、相乘、相加计算区mm01236m012367（3）将右移一位、得到相乘、相加可计算出：m计算区mm0123m（4）将再右移一位，得到，可计算出：（5）以此类推，

2.周期卷积定理：如果则：O3.频域周期卷积定理：如果，则证明从略。作业P138：2、3（第四版P207）00123kx(nT)=x(n)t0T2T12N

nNT

§3-5离散傅里叶变换（DFT）

——有限长序列的离散频域表示一.

预备知识

1.余数运算表达式如果，，m为整数；则有：此运算符表示n

被N

除，商为

m，余数为。是的解,或称作取余数,或说作n对N取模值,或简称为取模值,n模N。例如：

(1)(2)

设有限长序列x(n)的长度为N，（0~N-1期间非0），将其以N为周期作周期延拓，所得的周期信号记为。

注：在自变量为n时的值等于2.(periodicextension)二.有限长序列x(n)和周期序列的关系：=,0nN-10,其他n则周期序列是有限长序列x(n)的周期延拓，可记为：如果有限长序列x(n)是周期序列的主值序列，即(windowoperation)例：定义：从n=0到（N-1）的第一个周期为主值序列（主值区间）N-1nx(n)0......n0N-1三.周期序列与有限长序列X(k)的关系：同样，周期序列是有限长序列X(k)的周期延拓，有限长序列X(k)是周期序列的主值序列。

(periodicextension)(windowoperation)四.从DFS到DFT：

从上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值区间进行。

因此可得到新的定义，即有限长序列的离散傅氏变换(DFT)的定义：DFS,0kN-1,0nN-1也就是：x(n)与X(k)是有限长序列的离散傅里叶变换对。DFTx(n)的N点DFT是:

x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔抽样；

x(n)的DTFT在区间[0,]上的N点等间隔抽样。§3-6DFT的性质一.线性1.两序列都是N点时：如果

则有：PropertiesoftheDFT2.和

的长度N1和N2不等时：选择

为变换长度,短者进行补零达到N点。注：当两个序列作不同N点DFT时，对应的频域值是z平面上不同点上的值，不能在频域相加。二.

序列的圆周移位1.

定义:

一个有限长序列

的圆周移位定义为这里包括三层意思：先将

进行周期延拓：再进行移位：最后取主值序列：

（Circularshift）n0N-12.

圆周位移的含义

取主值序列，即只观察n=0到N-1这一主值区间，

当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的抽样又从此区间的另一端进来。

如果把

排列一个

N等分的圆周

上，序列的移位就相当于

在圆上旋转，故称作圆周移位。

3.圆周移位的性质：说明：有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。4.调制特性：说明：时域序列的调制等效于频域的圆周移位（Circularshiftinthefrequencydomain

）推广：三、共轭对称性1.周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量周期为N的周期序列的共轭对称分量：同样，有共轭反对称分量：(Conjugation&Symmetry)2.有限长序列的圆周共轭对称分量

与圆周共轭反对称分量

圆周共轭对称、圆周共轭反对称的条件：圆周共轭对称条件：（序列长度为N）圆周共轭反对称条件：这里的翻褶是圆周翻褶，周期延拓+翻褶+取主值序列圆周共轭对称序列满足：注意：圆周对称的轴在，对应的点为：

n=1N-12N-23N-3……圆周共轭反对称序列满足：

长度为N的有限长序列可分解圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称

分量，二者的长度也为N：这是因为3.共轭对称特性之一证明：频域取共轭+圆周翻褶4.共轭对称特性之二证明：对偶关系：时域取共轭+圆周翻褶Circularfolding5.共轭对称特性之三证明：频域圆周共轭对称（幅度圆周偶对称，相角圆周奇对称）6.共轭对称特性之四证明：7.共轭对称特性之五、六9.实、虚序列的对称特性

当x(n)为实序列时，根据特性之三，则X(k)=Xep(k)

又据Xep(k)的对称性：

当x(n)为纯虚序列时，根据特性之四，则X(k)=Xop(k)

又据Xop(k)的对称性：

例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用一次N点DFT运算来计算它们各自的DFT。

四.DFT形式下的Parseval定理：说明：时域计算的能量与在频域计算的能量是相等的。五.圆周卷积定理1.圆周卷积和的定义：

两个长度为N的序列的如下计算称为圆周卷积和，用符号表示：（N表示圆周卷积的点数）N性质：说明：相对于圆周卷积，前面介绍的卷积称为线性卷积。NNN（Circularconvolution）（Linearconvolution）2.时域圆周卷积定理

设和均为长度为N的有限长序列，且，如果，则NN证明：圆周卷积相当于将作周期卷积和后，再取主值序列。将周期延拓：则有：在主值区间，所以：同样可证：NN3.频域圆周卷积定理

设和均为长度为N的有限长序列，且，

如果，则N-10nN-10n4.

圆周卷积计算步骤：

圆周翻褶、圆周移位、相乘、相加例：如下两个序列序列，长度

N=70m0m0m0m0233211N-1n7最后结果：注：两个序列应有相同的长度N，才能进行N点圆周卷积；如果长度不等，应将短序列补0，以使长度相等。线性相关与圆周相关线性相关：相关：两个信号之间的关联性。线性相关定义为注意与线性卷积的差异：线性卷积：

卷积有翻褶，相关没有翻褶；相关有取共轭。线性相关性质：（频域为连续量）自相关：能量谱课下自己推导2.圆周相关：定义为：性质：（频域为离散量）圆周相关七.有限长序列的线性卷积与圆周卷积1.线性卷积

的长度为的长度为它们的线性卷积为所得序列的长度为例如:1012n1012n3m-1-2-3mm1012mmn2103145233211012n1012n3卷积结果：2.

圆周卷积等于线性卷积的条件：

设的长度为,的长度为,

将它们都补0，使其长度均为L，然后作L点圆周卷积：变换，得所以，圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列。其中

由于的长度为，所以为了使周期延拓时不重叠，就应满足：即此结论可推广到线性相关与圆周相关之间：圆周相关是线性相关的周期延拓序列的主值序列。3.线性卷积与圆周卷积关系的应用：

LSI系统的输出卷积计算的运算量大，可利用卷积定理在频域相乘并作逆变换来求：如果则由于

作业P139：8、9、16、25（第四版P209：10、12、23、31）§3-7

抽样z变换--频域抽样理论一.频域抽样定理：1.两种抽样:

时域抽样:

在时域对连续时间信号抽样，导致频域上频谱成为抽样前信号频谱的周期延拓。根据（时域）抽样定理，若原时域信号频谱为有限宽度，适当确定抽样频率则完全可以由抽样信号恢复原信号。

频域抽样:

在频域或z域对序列的DTFT或z变换进行抽样，导致时域会发生什么变化？能否恢复原信号？2.

频域抽样对时域的影响：

一个绝对可和的非周期序列

x(n)的z变换为

由于x(n)绝对可和，故其傅氏变换存在且连续，也即其z变换收敛域包括单位圆。这样，对X(z)在单位圆上N个均分点抽样，就得到周期的注意求和范围，不同于DFT

频域是离散周期的，其对应的时域信号就可用IDFS求出来：

是x(n)以N

为周期的周期延拓；

也就是说：

频域抽样造成时域周期延拓。由可知：3.

频域抽样定理：

当x(n)为无限长时，周期延拓必然造成时域混叠，不能无失真地恢复出原始序列；

当x(n)是长度为M的有限长序列时，只有满足NM，时域周期延拓时才不会混叠，才能通过截取不失真地恢复原始信号，即频域抽样定理：为了无失真恢复原始序列，z域单位圆上的抽样点数不能少于序列长度。1.由X(k)恢复X(z)：

序列

x(n)（0nN-1）的z变换为如果z变换在单位圆上的抽样值X(k)已知，则可将下式代入上式：二.

由X(k)表示X(z)与的问题——内插公式InterpolationFormula上式就是由X(k)恢复X(z)的内插公式，其中称作内插函数。2.

内插函数的特性：

内插函数分子为零求零点：各为一阶零点；分母为零求极点：为一阶极点，z=0处为N-1

阶极点。这样，处的零极点抵消，由零点分布可知：内插函数仅在本抽样点处不为零，其它N-1个抽样点处均为零。3.

由X(k)恢复：（频率响应）

单位圆上的z变换即为频率响应。将代入即得其中

可表示为

其中频域内插函数

时：

时：

，所以

当N=5时,

的幅度特性和相位特性如下图：

由X(k)恢复时，各抽样点之间的值由加权内插函数之和确定，即：例如：

§3-8利用DFT分析模拟信号频谱分析连续时间信号频谱：如果已知信号的数学表达，可通过定义式计算求频谱；如果写不出表达式，可用数值计算近似分析。用DFT近似求解连续时间信号傅里叶变换（CTFT）的过程：周期的用DFT逼近连续时间信号的傅里叶变换（CTFT）1）将在轴上等间隔（T）分段2）将截短成有限长序列3）频域抽样：一个周期分N段，采样间隔，时域周期延拓，周期为所以，用DFT计算所得的频谱分量乘以T，就等于频谱的正常幅度电平。对于逆变换：如果信号频谱是有限带宽的，且抽样没有使频谱混叠，则二.用DFS（DFT）逼近连续时间周期信号的傅里叶级数（CTFS）1）将在轴上等间隔（T）分段：2）频域截断：长度正好等于一个周期近似逼近：

三.用DFT计算连续时间信号