数字信号处理（第3版）4-4双线性变换法

电子信息工程学院信号处理课程组数字信号处理DigitalSignalProcessingIIR数字滤波器设计引论模拟低通滤波器设计模拟非低通滤波器设计脉冲响应不变法双线性变换法IIR数字滤波器应用双线性变换法

问题提出设计原理设计步骤问题提出

如何将模拟滤波器(AnalogFilter)转变为数字滤波器(DigitalFilter)?方法1：脉冲响应不变法方法2：双线性变换法Wp,Wswp,wsH(s)H(z)频率变换设计模拟滤波器?问题提出

脉冲响应不变法存在频谱混叠利用BW型模拟低通滤波器和脉冲响应不变法设计满足指标Wp=0.2prad,Ws=0.6prad,Ap≤2dB,As≥15dB的数字低通滤波器。解决方案采用双线性变换法Ap=1.72dBAs=14.20dB不满足设计指标设计原理

脉冲响应不变法双线性变换法非带限AF带限AF避免频谱混叠非带限AF出现频谱混叠设计原理

将非带限的模拟滤波器映射为最高角频率为p/T的带限模拟滤波器。双线性变换的基本思想：

模拟频率与数字频率的关系为设计原理

s域到z域的映射关系双线性变换设计原理

稳定性分析s=+jσ=0（s平面虚轴）σ

<0（s左半平面）σ>0（s右半平面）|z|=1（z平面单位圆上）|z|<1（z平面单位圆内）|z|>1（z平面单位圆外）s平面z平面设计原理

双线性变换法的优缺点缺点：若模拟滤波器的频率响应不是分段常数时，会产生幅度失真。优点：

无频谱混叠。)2/tan(2W=TwWp)(WjeH)(wjHpWsWWpwsww设计步骤

1.将DF的频率指标{Wi}转换为AF的频率指标{wi}2.由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)。3.利用双线性变换法，将H(s)转换H(z)。Wp,Wswp,wsH(s)H(z)设计模拟滤波器解：[例]

利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器。设双线性变换中的参数为T(1)将DF的频率指标转换为AF的频率指标(2)设计3dB截频为wp的一阶BW型模拟低通滤波器，即N=1,wc=wp故解：[例]

利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器。。(3)用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器

结论：参数T的取值和最终的设计结果无关。为简单起见，一般取T=2解：(1)将数字低通指标转换成模拟低通指标，取T=2

。

Ap2dB,As15dB(2)设计BW型模拟低通滤波器[例]利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标Wp=0.2prad,Ws=0.6prad,Ap≤2dB,As≥15dB的数字低通滤波器。解：[例]利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标Wp=0.2prad,Ws=0.6prad,Ap≤2dB,As≥15dB的数字低通滤波器。(3)用双线性变换法将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器脉冲响应不变法vs双线性变换法脉冲响应不变法双线性变换法Ap=1.1187dBAs=12.3628dBAp=0.3945dBAs=15.0000dB脉冲响应不变法存在频谱混叠，所设计的DF不满足给定指标；双线性变换法不存在频谱混叠，所设计的DF满足给定指标。低通数字滤波器技术指标：Wp=0.2prad,Ws=0.6prad,Ap≤2dB,As≥15dB[例]试用双线性变换法设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器

Wp1=0.90prad,Wp2=0.95prad,Ap≤1dB,

Ws1=0.93prad,Ws2=0.94prad,As≥10dB解：(1)将数字带阻滤波器指标转换成模拟带阻滤波器指标取T=2，利用得到模拟带阻滤波器指标为：wp1=6rad/s,

wp2=13rad/s,Ap1dBws1=9rad/s,

ws2=11rad/s,As

10dB解：(2)将模拟带阻滤波器指标转换成模拟低通滤波器指标Ap1dB,As

10dB[例]试用双线性变换法设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器

Wp1=0.90prad,Wp2=0.95prad,Ap≤1dB,

Ws1=0.93prad,Ws2=0.94prad,As≥10dB解：(3)设计原型BW型模拟低通滤波器原型模拟低通滤波器的系统函数为[例]试用双线性变换法设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器

Wp1=0.90prad,Wp2=0.95prad,Ap≤1dB,

Ws1=0.93prad,Ws2=0.94prad,As≥10dB解：(4)由复频率变换将原型模拟低通转换为模拟带阻滤波器(5)由双线性变换模拟带阻滤波器转换成数字带阻滤波器脉冲响应不变法不能设计数字带阻滤波器，故采用双线性变换法。[例]试用双线性变换法设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器

Wp1=0.90prad,Wp2=0.95prad,Ap≤1dB,

Ws1=0.93prad,Ws2=0.94prad,As≥10dBAs1=As2=10.0000dB[例]试用双线性变换法设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器

Wp1=0.90prad,Wp2=0.95prad,Ap≤1dB,

Ws1=0.93prad,Ws2=0.94prad,As≥10dBAp2=0.6867dBAp1=0.0511dB模拟滤波器转换数字滤波器脉冲响应不变法双线性变换法数字滤波器设计利用MATLAB设计IIR滤波器

模拟滤波器转换数字滤波器

[numd,dend]=impinvar(num,den,Fs)num,den：AF分子、分母多项式的系数向量Fs=1/T：抽样频率numd,dend：DF分子、分母多项式的系数向量脉冲响应不变法双线性变换法[numd,dend]=bilinear(num,den,Fs)[例]利用BW型模拟低通滤波器设计满足指标

Wp=0.2prad,Ws=0.6prad,Ap≤2dB,As≥15dB的数字低通滤波器。%DesignDFBWlow-passfilter%DFBWLPspecificationWp=0.2*pi;Ws=0.6*pi;Ap=2;As=15;Fs=1;%Samplingfrequency(Hz)%AnalogButterworthspecificationwp=Wp*Fs;ws=Ws*Fs;%determinetheorderofAFfilterN=buttord(wp,ws,Ap,As,'s');%determinethe3-dbcutofffrequencyofBWfilterfrompass-bandspecificationwc=wp/(10^(0.1*Ap)-1)^(1/N/2);%determinetheAF-BWfilter[numa,dena]=butter(N,wc,'s');%determinetheDFfilter[numd,dend]=impinvar(numa,dena,Fs);%plotthefrequencyresponsew=linspace(0,pi,1024);h=freqz(numd,dend,w);%normalizeamplitudenorm=max(abs(h));numd=numd/norm;plot(w/pi,20*log10(abs(h/norm)));xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('GainindB');%computerApAsofthedesignedfilterw=[WpWs];h=freqz(numd,dend,w);fprintf('Ap=%.4f\n',-20*log10(abs(h(1))));fprintf('As=%.4f\n',-20*log10(abs(h(2))));[numd,dend]=bilinear(numa,dena,Fs)脉冲响应不变法vs双线性变换法脉冲响应不变法双线性变换法Ap=1.1187dBAs=12.3628dBAp=0.3945dBAs=15.0000dB脉冲响应不变法存在频谱混叠，所设计的DF不满足给定指标；双线性变换法不存在频谱混叠，所设计的DF满足给定指标。LPDF技术指标：Wp=0.2prad,Ws=0.6prad,

Ap≤2dB,As≥15dBIIR滤波器设计主要函数

模拟低通原型

频率变换lp2lplp2hplp2bplp2bsbuttord/buttercheb1ord/cheby1cheb2ord/cheby2ellipord/ellip离散化bilinearimpinvar数字滤波器设计

BW型数字滤波器确定数字滤波器的阶数N及3dB截频Wc[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Ap,As)其中，Wp,Ws为归一化角频率。如：Wp=0.1p，则Wp=0.1。若为带通或带阻滤波器，则Wp=[Wp1,Wp2];Ws=[Ws1,Ws2][N,wc]=buttord(wp,ws,Ap,As,'s')数字滤波器设计

BW型数字滤波器

确定DF系统函数分子、分母多项式

低通

[num,den]=butter(N,Wc)

高通

[num,den]=butter(N,Wc,'high')

带通

[num,den]=butter(N,Wc)其中Wc=[W1,W2]

带阻

[num,den]=butter(N,Wc,'stop')其中Wc=[W1,W2]数字滤波器设计

CBI型数字滤波器

确定数字滤波器的阶数N及参数Wc[N,Wc]=cheb1ord(Wp,Ws,Ap,As)DF系统函数分子、分母多项式的确定

低通

[num,den]=cheby1(N,Ap,Wc)

高通

[num,den]=cheby1(N,Ap,Wc,'high')

带通

[num,den]=cheby1(N,Ap,Wc)其中Wc=[W1,W2]

带阻

[num,den]=cheby1(N,Ap,Wc,'stop')其中Wc=[W1,W2]数字滤波器设计

CBII型数字滤波器

确定数字滤波器的阶数及参数Wc[N,Wc]=cheb2ord(Wp,Ws,Ap,As)DF系统函数分子、分母多项式的确定

低通

[num,den]=cheby2(N,As,Wc)

高通

[num,den]=cheby2(N,As,Wc,’high’)

带通

[num,den]=cheby2(N,As,Wc)其中Wc=[W1,W2]

带阻

[num,den]=cheby2(N,As,Wc,'stop')其中Wc=[W1,W2]数字滤波器设计

椭圆型数字滤波器

确定数字滤波器的阶数N及参数Wc[N,Wc]=ellipord(Wp,Ws,Ap,As)DF系统函数分子、分母多项式的确定

低通

[num,den]=ellip(N,Ap,As,Wc)

高通

[num,den]=ellip(N,Ap,As,Wc,'high')

带通

[num,den]=ellip(N,Ap,As,Wc)其中Wc=[W1,W2]

带阻

[num,den]=ellip(N,Ap,As,Wc,'stop')其中Wc=[W1,W2]Wp=[0.45*pi,0.55*pi];Ws=[0.40*pi,0.60*pi];Ap=3;As=30;

%

BP-DF

specifications

[N,Wc]=buttord(Wp/pi,

Ws/pi,Ap,As)

;%

Computer

low-pass

DF

order

fprintf('N=%.0f\n',N);

[numd,dend]=butter(N,Wc)

%

Compute

band-pass

DF

coefficients

fprintf('numd=

%.2f\n',numd);fprintf('dend=

%.2f\n',dend);

omega=[Wp

Ws];

h

=

freqz(numd,dend,omega);

%Compute

Ap

and

As

of

the

DF

fprintf('Ap1=

%.4f\n',-20*log10(abs(h(1))));

fprintf('Ap2=

%.4f\n',-20*log10(abs(h(2))));

fprintf('As1=

%.4f\n',-20*log10(abs(h(3))));

fprintf('As2=

%.4f\n',-20*log10(abs(h(4))));

w=linspace(0.3*pi,0.7*pi,1000);

h=freqz(numd,dend,w);

plot(w/pi,

20*log10(abs(h)));

%

Plot

the

DF

frequency

res