金属塑性变形的物性方程

金属塑性变形的物性方程第1页，共61页，2023年，2月20日，星期四§2.1金属塑性变形过程和力学特点变形过程与特点以单向拉伸为例说明塑性变形过程与特点，如图2-1所示。金属变形分为弹性、均匀塑性变形、破裂三个阶段。时，。

当以后，变形视作塑性阶段。是非线性关系。当应力达到之后，变形转为不均匀塑性变形，呈不稳定状态。经短暂的不稳定变形，试样以断裂告终。若在均匀塑性变形阶段出现卸载现象，一部分变形得以恢复，另一部分则成为永久变形。卸载阶段呈线性关系。这说明了塑性变形时，弹性变形依然存在。弹塑性共存与加载卸载过程不同的关系是塑性变形的两个基本特征第2页，共61页，2023年，2月20日，星期四

由于加载、卸载规律不同，导致关系不唯一。只有知道变形历史，才能得到一一对应的关系，即塑性变形与变形历史或路径有关。这是第3个重要特征。事实上，以后的点都可以看成是重新加载时的屈服点。以g点为例，若卸载则关系为弹性。卸载后再加载，只要点，关系仍为弹性。一旦超过g点，呈非线性关系，即g点也是弹塑性变形的交界点，视作继续屈服点。一般有，这一现象为硬化或强化，是塑性变形的第4个显著特点。第3页，共61页，2023年，2月20日，星期四

在简单压缩下，忽略摩擦影响，得到的压缩与拉伸基本相同。但是若将拉伸屈服后的试样经卸载并反向加载至屈服，反向屈服一般低于初始屈服。同理，先压后拉也有类似现象。这种正向变形强化导致后继反向变形软化的现象称作Bauschinger效应。这是金属微观组织变化所致。一般塑性理论分析不考虑Bauschinger效应。Bridgman等人在不同的静水压力容器中做单向拉伸试验。结果表明：静水压力只引起物体的体积弹性变形，在静水压力不很大的情况下（与屈服极限同数量级）所得拉伸曲线与简单拉伸几乎一致，说明静水压力对塑性变形的影响可以忽略。第4页，共61页，2023年，2月20日，星期四集中体现在三个阶段和四个特点。三个阶段是指：弹性变形阶段；均匀塑性变形阶段；非均匀变形与断裂阶段。四个特点是：弹塑性共存；加载与卸载时的σ-ε关系不同；塑性变形与变形历史或路径有关；存在加工硬化。第5页，共61页，2023年，2月20日，星期四金属塑性变形过程

基本假设材料为均匀连续，且各向同性；体积变化为弹性的，塑性变形时体积不变；静水压力不影响塑性变形，只引起体积弹性变化；不考虑时间因素，认为变形为准静态；不考虑Bauschinger效应。第6页，共61页，2023年，2月20日，星期四§2.2塑性条件方程

屈服准则又称塑性条件(Plasticconditions)或屈服条件(Yieldconditions)，它是描述不同应力状态下变形体某点进入塑性状态并使塑性变形继续进行所必须满足的力学条件。用屈服函数(Yieldfunction)表示：

假设材料是各向同性的，屈服函数与坐标轴的选择无关，因此可用应力张量不变量表示屈服条件假设塑性变形与球应力张量无关，屈服条件可用偏应力张量的第二，第三不变量表示当用主应力表示，屈服条件为。第7页，共61页，2023年，2月20日，星期四一、屈服条件的一般形式

由于应力偏量满足：

总是处在应力π平面上。这样屈服条件就可以用π平面上的封闭曲线表示。若σij落在该曲线上，表示满足屈服准则。若σij在这个应力状态上在叠加一个静水应力，这时候在三维主应力空间中，相当于沿着等倾斜线移动π面平行面，而应力点仍满足屈服准则。因此，在三维主应力空间中，屈服曲面是一等截面柱体。第8页，共61页，2023年，2月20日，星期四二、屈服曲面和屈服曲线（屈服条件的几何表达）1．屈服曲面

以σ1、σ2、σ3三个主应力分量作为直角坐标系的三个坐标，构成的空间称为主应力空间，式的函数关系在主应力空间所构成的曲面就称为屈服曲面。注意屈服函数中的三个主应力分量是可以互换的，即不受σ1>σ2>σ3的限制，因此屈服曲面在主应力空间应是如图那样的以经原点且与三个坐标轴正向（或负向）成等倾角的直线为轴线的柱面。材料的应力状态用主应力表示，在主应力空间就反映为一个点。此点若处于屈服曲面上，材料就屈服；若处于屈服曲面内，材料则处于弹性变形状态。

第9页，共61页，2023年，2月20日，星期四2．屈服曲线经过主应力空间的坐标原点，且与屈服曲面轴线垂直的平面称为π平面(见图中的绿色平面），屈服曲面与π平面的交线称为屈服曲线(见图中的蓝色圆线），或屈服轨迹。屈服曲线实际反映了屈服曲面这个柱面的横截面的形状和大小。所以不同的屈服条件可以用不同的屈服曲线来区别，而且下面将看到，材料的屈服其实也可用偏应力状态与屈服曲线的关系来判断。

(3)

屈服曲线关于三个主应力坐标轴在π平面上的投影是对称的（即对称性）(2)

屈服曲线是外凸的（即外凸性）；(1)

屈服曲线是一条封闭曲线，原点被包围在内（即封闭性）；屈服曲线有如下性质:第10页，共61页，2023年，2月20日，星期四3．应力矢量的分解处于屈服状态的应力状态可用屈服曲面上的一点来表示，如图中的P点。联结OP形成的矢量（称为应力矢量）因而也可表示屈服时的应力状态。主应力空间的矢量OP可分解成与等倾线平行的分量ON及π平面上的分量OQ。这样分解的实质相当于将应力张量分解为球应力张量与偏应力张量。这是因为矢量OP的三个坐标分量可作如下分解：式中i，j，k—主应力空间三个坐标轴上的单位矢量。

第11页，共61页，2023年，2月20日，星期四式中最后一个等号右边表示两个矢量。后一个矢量的三个分量都为σm，说明此矢量的方向与等倾线一致，因而它代表ON；前一个矢量与ON的点乘积为零，因此前一矢量必然与ON垂直故处于π平面上，因而它代表OQ。因此ON与OQ分别代表了球应力分量与偏应力分量，即：

如前所述，屈服与平均应力无关，因此要判断材料是否屈服只需看OQ矢量的端点是否处在屈服曲线上。

第12页，共61页，2023年，2月20日，星期四4．π平面上的坐标为了分析不同屈服条件所对应的屈服曲线的形状、大小，可首先将主应力空间的三个坐标轴向π平面(见图中的绿色平面）上投影，然后以σ2轴的投影方向作为y轴，其垂直方向作为x轴建立如图所示的直角坐标系。

现考察主应力空间坐标轴单位矢量与其在x、y坐标轴上投影的关系。为此，在主应力空间从原点出发，在σ1、σ2坐标轴上截取单位矢量oa、ob。为确定oa或ob在π平面上的投影的长度值，可先分析主应力空间ab的连线在π平面上的投影值。由于在主应力空间很容易确定ab的长度为（见主应力空间中的紫色三角形oab)，且因为ab平行于π平面，所以ab在π平面的投影也是。oa或ob在π平面上的投影为/cos30°。因此主应力空间中的分量σ1、σ2、σ3与其在π平面投影的x，y坐标分量有如下关系。

第13页，共61页，2023年，2月20日，星期四主应力空间中的分量σ1、σ2、σ3与其在π平面投影的x，y坐标分量有如下关系。应力矢量在π平面上的投影的x、y坐标系上的坐标可表示为

－第14页，共61页，2023年，2月20日，星期四若在π平面上建立极坐标，应力矢量在π平面上的投影的极坐标为

定义为μσ：罗德参数第15页，共61页，2023年，2月20日，星期四6．Tresca屈服条件

Tresca屈服条件表述为：最大切应力达到一定值材料就屈服。设σ1>σ2>σ3，Tresca屈服条件的数学表达为式中

C—与屈服有关的常数若用单向拉伸试验来确定常数C，将σ1=σs（屈服应力），σ2=σ3=0，代入5-11式可得C=σs/2，因而Tresca屈服条件也可表示为第16页，共61页，2023年，2月20日，星期四若用扭转试验来确定常数C，将σ1=τs（剪切屈服应力），σ2=0，σ3=-τs代入上式可得C=τs，因而Tresca屈服条件可表示为：

按Tresca条件，两种屈服应力有如下关系：Tresca条件表示在π平面上：第17页，共61页，2023年，2月20日，星期四Tresca条件表示在π平面上的x-y坐标系中的方程为

根据屈服曲线的对称性和封闭性可知，Tresca条件表示在π平面上为一个边长距圆心距离为σs，顶点距圆心距离为σs的正六边形。

第18页，共61页，2023年，2月20日，星期四7．Mises屈服条件

密席斯屈服准则可以表述为：当应力偏张量的第二不变量I2/达到某定值时，材料就会屈服。更为方便的表述方式是：当应力状态的等效应力达到某一与应力状态无关的定值时，材料就屈服；或者说，材料处于塑性状态时，等效应力始终是一不变的定值。密席斯屈服准则的表达式为：第19页，共61页，2023年，2月20日，星期四若用单向拉伸试验来确定上式中的常数C，将σ1=σs，σ2=σ3=0代入上式可得C=σs２/３，因而Mises屈服条件为

若用扭转试验来确定常数C，将σ1=τs，σ2=0，σ3=－τs代入式可得C=τs２，因而Mises屈服条件也可表示为第20页，共61页，2023年，2月20日，星期四说明Mises屈服条件表示在π平面上为一个圆，且此圆为Tresca屈服曲线的正六边形的外接圆。

第21页，共61页，2023年，2月20日，星期四8.中间主应力对屈服的影响设σ1>σ2>σ3，由Tresca条件，中间主应力σ2对屈服无影响，而按Mises条件，中间主应力对屈服有影响，其影响程度可用罗德参数μσ来表示。根据μσ的定义式可知，当σ2在σ1与σ3之间变化时，μσ在+1~-1间变化，且可用罗德参数来表示中间主应力

带入后，Mises屈服条件可表示为

式中β—中间主应力影响系数。

第22页，共61页，2023年，2月20日，星期四式与Tresca条件很相仿，因而很利于比较两种屈服条件的差别。

由于μσ的变化范围为-1～+1，β的变化范围为1～1.155，现考虑两种特殊情况：

（1）

当σ2=σ1或σ2=σ3时，μσ=1或-1，β取值为1，两种屈服条件的形式是一样的。其实，参考式可知，此时θ=π/6或-π/6，屈服点正处于Tresca屈服曲线的正六边形的顶点上。

第23页，共61页，2023年，2月20日，星期四（2）

当σ2=(σ1+σ3)/2时，μσ=0，β取值为1.155，两种屈服条件有差别。其实此时θ=0，按Tresca屈服条件，屈服点在正六边形边长的中点上，与Mises屈服条件的差别最大。

9.两种屈服条件的实验验证P38σ1-σ3=2τs式中K—平面变形抗力。按Tresca条件，K=σs=2τs；按Mises条件K=1.155σs=2τs，因此对于平面变形状态，Tresca条件和Mises条件可统一表示为(σ1-σ3)=K对应着平面变形状态。平面变形状态的屈服条件常表示为第24页，共61页，2023年，2月20日，星期四10.硬化材料的屈服条件从单向拉伸曲线可以看出，进入塑性变形以后的应力都可以视作屈服点，称为后续屈服点，而且其值总是大于初始屈服点σs。对于三维应力空间，初始屈服条件为一曲面。实验表明，硬化材料存在后续屈服曲面，也称为加载曲面。最简单的等强强化模型认为：后续屈服曲面或加载曲面在应力空间中作形状相似地放大，且中心位置不变。在π平面上，加载曲面变为曲线，它与初始屈服曲线相似。因此，Tresca准则的加载曲面是一系列的同心六棱柱，VonMises准则的加载曲面是一系列的同心圆柱面。第25页，共61页，2023年，2月20日，星期四

Tresca

屈服准则（最大剪应力准则）

Mises

屈服准则

第26页，共61页，2023年，2月20日，星期四比较两屈服准则的区别：（1）物理含义不同：Tresca：最大剪应力达到极限值KMises：畸变能达到某极限（2）表达式不同;（3）几何表达不同：

Tresca准则：在主应力空间中为一垂直π平面的正六棱柱；

Mises准则：在主应力空间中为一垂直于π平面的圆柱。(π平面:在主应力坐标系中，过原点并垂直于等倾线的平面)第27页，共61页，2023年，2月20日，星期四比较两屈服准则的区别第28页，共61页，2023年，2月20日，星期四两准则的联系：（1）空间几何表达：Mises圆柱外接于Tresca六棱柱；在π平面上两准则有六点重合；（2）通过引入罗德参数和中间主应力影响系数β，可以将两准则写成相同的形式：

其中称为中间主应力影响系数

称为Lode参数。第29页，共61页，2023年，2月20日，星期四讨论：①当材料受单向应力时，β=1，两准则重合；②在纯剪应力作用下，两准则差别最大；按Tresca准则：按Mises准则：

③一般情况下，β=1－1.154

第30页，共61页，2023年，2月20日，星期四§2.3塑性应力应变关系（本构关系）

描述变形体应力应变关系的方程称为物理方程或物性方程，在塑性力学中又称为本构方程。因此应力应变关系也称为本构关系。本构方程和屈服条件一样，是求解塑性成形问题的重要补充方程。

第31页，共61页，2023年，2月20日，星期四（1）应变增量理论应变增量与应力偏张量成正比第32页，共61页，2023年，2月20日，星期四第33页，共61页，2023年，2月20日，星期四应力-应变速率方程将增量理论式两边除以时间dt，可得应力—应变速率方程，称为圣文南塑性流动方程。即：塑性流动方程第34页，共61页，2023年，2月20日，星期四（2）全量理论若已知应变的变化历史，则沿路径可以积分得出应力与应变全量的关系，建立全量理论或形变理论，尤其是简单加载下，把增量理论中的增量符号“d”取消即可。等效应力是等效应变的函数应力偏量分量与应变偏量分量成比例……第35页，共61页，2023年，2月20日，星期四第36页，共61页，2023年，2月20日，星期四增量理论与全量理论增量理论：

全量理论：

第37页，共61页，2023年，2月20日，星期四例题讲解：

例：求之比（满足塑性条件）

第38页，共61页，2023年，2月20日，星期四解：对（A）有所以有：第39页，共61页，2023年，2月20日，星期四对（B）有所以有：第40页，共61页，2023年，2月20日，星期四对（C）有所以有：第41页，共61页，2023年，2月20日，星期四§2.4变形抗力曲线与加工硬化在σ－ε关系中含有dλ：要确定dλ，必须知道σe－εe关系，即等效应力应变曲线。第42页，共61页，2023年，2月20日，星期四变形抗力是指材料在一定温度、速度和变形程度条件下，保持原有状态而抵抗塑性变形的能力。它是一个与应力状态有关的量。不同的应力状态，有不同的变形抗力。第43页，共61页，2023年，2月20日，星期四2.4.1变形抗力曲线与等效应力应变曲线不同的应力状态，会有不同的变形抗力曲线……第44页，共61页，2023年，2月20日，星期四等效应力与等效应变曲线与数学模型每一种应力状态，都会有其特有的抗力曲线。如何更准确地反映材料的曲线。第45页，共61页，2023年，2月20日，星期四根据不同的曲线，可以划分为以下若干种类型：幂函数强化模型、线性强化模型、线性刚塑性强化模型、理想塑性模型、理想刚塑性模型第46页，共61页，2023年，2月20日，星期四§2.5影响变形抗力的因素化学成份的影响变形温度的影响变形程度的影响变形速度的影响接触摩擦的影响应力状态的影响组织结构的影响第47页，共61页，2023年，2月20日，星期四化学成分的影响化学成分对变形抗力的影响非常复杂。一般情况下，对于各种纯金属，因原子之间相互作用不同，变形抗力也不同。同一种金属纯度愈高，变形抗力愈小。组织状态不同，抗力值也有差异，如退火态与加工态，抗力明显不同。第48页，共61页，2023年，2月20日，星期四合金元素对变形抗力的影响，主要取决于合金元素的原子与基体原子间相互作用特性、原子体积的大小以及合金原子在基体中的分布情况。合金元素引起基体点阵崎变程度愈大，变形抗力也越大。化学成分的影响第49页，共61页，2023年，2月20日，星期四变形温度的影响

由于温度升高，金属原子间的结合力降低了，金属滑移的临界切应力降低，几乎所有金属与合金的变形抗力都随温度升高而降低。但是对于那些随温度变化产生物理－化学变化和相变的金属与合金，则存在例外。第50页，共61页，2023年，2月20日，星期四变形程度的影响

无论在室温或高温条件下，只要回复和再结晶过程来不及进行，则随着变形程度的增加必然产生加工硬化，使变形抗力增大，通常变形程度在30％以下时，变形抗力增加显著。当变形程度较大时，变形抗力增加缓慢，这是因为变形程度的进一步增加，晶格崎变能增加，促进了回复与再结晶过程的发生与发展，也使变形热效应增加。第51页，共61页，2023年，2月20日，星期四变形速度的影响

变形速度的提高，单位时间内的发热率增加，有利于软化的产生，使变形抗力降低。另一方面，提高变形速度缩短了变形时间，塑性变形时位错运动的发生与发展不足，使变形抗力增加。一般情况下，随着变形速度的增大，金属和合金的抗力提高，但提高的程度与变形温度密切相关。冷变形时，变形速度的提高，使抗力有所增加，或者说抗力对速度不是非常敏感。而在热变形时，变形速度的提高，会引起抗力明显波动，即抗力对速度敏感。第52页，共61页，2023年，2月20日，星期四接触摩擦的影响

实际变形抗力还受接触摩擦影响，一般摩擦力愈大，实际变形抗力愈大。实际上摩擦的存在使应力状态发生变化，三向压应力更大，导致变形抗力增大。第53页，共61页，2023年，2月20