高一数学棱柱与它的性质

高一数学棱柱与它的性质第1页，共15页，2023年，2月20日，星期四由若干个平面多边形围成的空间图形叫多面体,自然界许多物体都成多面体形状如图(1-1)简单多面体棱柱与凌锥1多面体图1-1第2页，共15页，2023年，2月20日，星期四2.棱柱与它的性质如果一个多面体有两个面互相平行,而其余每想邻两个面的交线互相平行,这样的多面体叫做棱柱,两个互相平行的面叫做棱柱的底面,简称为底;其余的各个面叫做棱柱的侧面;两侧面公共边叫做棱柱的侧棱;两底面所在的平面的公垂线段叫做棱柱的高(公垂线段的长度也简称高).我们常见的一些物体,例如三棱镜,方转以及螺杆的头部等,都成棱柱的形状.第3页，共15页，2023年，2月20日，星期四3.平行六面体与长方体底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体.侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体.(图1-7(2)),底面是矩形的直六面体叫做长方体(图1-7(3)),棱长都相等的长方体叫做正方体(图1-7(4).定理:平行六面体的对角线交于一点,并且在交点处互相平行图1-7（1）（2）（3）（4）第4页，共15页，2023年，2月20日，星期四围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,两个面的公共边叫做多面体的棱,棱和棱的公共点叫做多面体的顶点,连接不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的体积.把一个多面体的任一个伸展成平面,如果其余的面都位于这个平面的同一侧,这样的多面体叫做凸多面体(图1-1左下图).但图9-80右下图中的多面体则不是凸多面体.一个多面体至少有四个面,多面体按它的面数分别叫做四面体,五面体,六面体等.定义第5页，共15页，2023年，2月20日，星期四例1。已知正三棱柱ABC-A’B‘C’的各邻长是1（图1-6）M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC‘上的点，且CN=1/4CC’，求证：AB‘垂直MN。证明：设则由已知条件和正三棱柱的性质BCAC’A‘B’第6页，共15页，2023年，2月20日，星期四已知:平行六面体ABCD-A’B’C’D’(图1-8).求证:对角线AC’,BD’,CA’,DB’相交与一点O,且在O点处互相平分.证明:设点O是AC’的中点,则设P,M,N分别是BD’,CA’,DB’的中点,同样可证由此可知O,P,M,N四点重合定理:长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长平方和.已知长方体AC’中,AC’是一条对角线(图1-9),求证:证明:ABCDA’B’C’D’ABCDA’B’C’D’所以即证知得第7页，共15页，2023年，2月20日，星期四如果一个多面体的一个面是多面形，其余各面是一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥。棱锥的底面可以是三角形，四边形，五边形------我们把这样的凌锥分别叫做三凌锥（图1-9（1）），四凌锥（图1-9（2）），五凌锥（图1-9（3））-------定理：如果凌锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面的面积的比等于顶点到截面的距离与凌锥的高的平方比.已知：如图1-10，在棱锥S-AC中，SH是高，截面A‘B’C‘D‘E’平行于底面并与SH交于H‘。求证:截面A’B’C’D’E’∽底面ABCDE,且棱椎与其性质考思图1-9(1)(2)SABCDEH’A’B’C’D’E’第8页，共15页，2023年，2月20日，星期四证明：因为截面平行与底面，所以A‘B’//AB，B‘C’//BC，C‘D’//CD，------因而又因为过SA，SH的平面与截面和底面分别相交于AH‘和AH。所以A’H‘//AH，得ABCDEA’B’C’E’同理如果一个凌锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的凌锥叫做正凌锥。HD’S第9页，共15页，2023年，2月20日，星期四正棱锥有下面的一些性质:(1)正凌锥各侧棱相等,各侧棱都相等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高相等(它叫做正凌锥的斜高)(图1-11).(2)正凌锥的高,斜高和斜高在地面内的射影组成一个只三角形,正凌锥的高,侧棱,侧棱在地面上的摄影也组成一个直角三角形(图1-12)BCDSOABCSA’B’C’例2.已知正三凌锥S-ABC的高SO=l,求经过SO的中点O’平行与底面的截面的面积（图1-12）。解：连接OM，OA，在直角AE第10页，共15页，2023年，2月20日，星期四5直棱柱和正凌锥的的直观图的画法：画法:（1）画轴，画x’轴，y’轴，z’轴，记坐标原点为O‘点，使(2)画底面，按轴，轴画正六边形的直观图ABCDE。（3）画侧棱，过A、B、C、D、E、F各点分别作轴的平行线，并且在这些平行线上截取AA’、BB‘、CC’、DD‘、EE’、FF‘，使它们都等于棱长。（4）成图，顺次连接A’、B‘、C’、D‘、E’、F‘，并加以整理（去辅助线，将别遮挡的部分改为虚线），就得到正六棱柱的直观图。X’Y’Z’FF’AA’BB’CC’ABCDEFA’B’C’D’E’F’ODED’E’第11页，共15页，2023年，2月20日，星期四例3.划一个底面边长为5cm,高为11.5cm的正五棱锥的直观图比例尺是1/5.画法:(1)画轴,x‘轴,y’轴,z’记坐标原点为o’,使（图1-14(1))（2）画底面，按x’轴，y’轴，画五正无边形的直观图ABCDE，按比例尺取边长等于5÷5=1(cm)，并且使正无边形的中心对应于o’点。（3）画高线，在z’轴上取=11.5÷5=2.3(cm)(4)成图.连接SA,SB,SC,SD,DE,并加以整理,就得到所画的正无棱锥的正棱锥的直观图(图1-14(2)).O’X’Z’ABCEDEY’ABCDS图1-14(1)(2)第12页，共15页，2023年，2月20日，星期四每一个面都是相同边数的正多面形,每一个顶点都为端点,都有相同棱数的凸多面体,叫做正多面体.正多面体只有四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十面体5种(图1-15),它们的展开图分别为:正多面体第13页，共15页，2023年，2月20日，星期四1求证：直棱柱的侧棱与高相等，经过不相邻的两侧棱的截面都是矩形。2已知以正方体的一个顶点为端点的三棱长a、b、c，求它的对角线（1）a=3,b=4,c=5(2)a=7