量子力学 第八章

量子力学第八章第1页，共36页，2023年，2月20日，星期四3.Uhlenbeck和Goudsmit的假设i.电子具有自旋角动量，ii.电子具有自旋磁矩4.对自旋(spin)的讨论i.不是机械自转第四个自由度ii.是电子的内禀性质iii.其它粒子(如质子、中子)也具有自旋iv.自旋无经典对应量v.自旋假定不作为QM的基本原理第2页，共36页，2023年，2月20日，星期四§8.1电子自旋态与自旋算符8.1.1电子自旋态的描述1.旋量波函数——旋量的上分量——旋量的下分量自旋向上的几率自旋向下的几率第3页，共36页，2023年，2月20日，星期四若旋量波函数可分离变量2.旋量波函数的归一化3.自旋态波函数第4页，共36页，2023年，2月20日，星期四8.1.2电子自旋角动量算符1.对易关系i.ii.2.的本征值可见，自旋向上、向下态都是的本征态，本征值都是(进而所有自旋态)第5页，共36页，2023年，2月20日，星期四于是同理，3.自旋量子数自旋磁量子数：电子自旋量子数zyx自旋向上态自旋向下态第6页，共36页，2023年，2月20日，星期四8.1.3Pauli矩阵或(2)综合(1),(2)1.Pauli算符及其代数性质第7页，共36页，2023年，2月20日，星期四2.Pauli矩阵—Pauli算符在表象中的矩阵设又取第8页，共36页，2023年，2月20日，星期四例.设的各分量算符对易，证明若是常矢量，证明证明：第9页，共36页，2023年，2月20日，星期四第10页，共36页，2023年，2月20日，星期四§8.2总角动量的本征态8.2.1总角动量若分别具有确定值那末，是否有确定测值？测值如何？第11页，共36页，2023年，2月20日，星期四8.2.2无耦合表象与耦合表象1.无耦合表象

两两对易∴有共同本征矢且有

为基矢的表象——无耦合表象第12页，共36页，2023年，2月20日，星期四2.

耦合表象两两对易∴有共同本征矢

为基矢的表象——耦合表象第13页，共36页，2023年，2月20日，星期四8.2.3j与j1、j2的关系按无耦合表象基矢计算按耦合表象基矢计算1.取定值的态矢子空间维数2.

S矩阵元第14页，共36页，2023年，2月20日，星期四时时于是克莱布希-高登系数3.j

的可能取值

的最大值依次是而第15页，共36页，2023年，2月20日，星期四8.2.4电子轨道角动量与自旋角动量的耦合总角动量CG系数有专门表，

本题

第16页，共36页，2023年，2月20日，星期四的共同本征函数:注意:上述m是总角动量的磁量子数

,可换为第17页，共36页，2023年，2月20日，星期四例1.不查克莱布希-高登系数表，导出自旋轨道耦合总角动量及其z分量的共同本征矢。解：设的共同本征函数

都是的本征函数，对应相同本征值。第18页，共36页，2023年，2月20日，星期四

都是的本征函数，本征值差因此，，代回到的方程得

还是的本征函数注意到第19页，共36页，2023年，2月20日，星期四解久期方程，得由此知，的本征值是，其中将j=l+1/2代回得:，归一化得同理时第20页，共36页，2023年，2月20日，星期四例2p.153练习2

解：

第21页，共36页，2023年，2月20日，星期四§8.3碱金属原子的双线结构与反常Zeeman效应8.3.1双线结构(光谱精细结构)Hamiltonian屏蔽Coulomb势自旋-轨道耦合2.不计自旋轨道耦合有效电荷第22页，共36页，2023年，2月20日，星期四

两两对易，或i.采用无耦合表象其共同本征矢度简并本征能量ii.采用耦合表象两两对易，或耦合表象与无耦合表象都是好表象。第23页，共36页，2023年，2月20日，星期四2.计及自旋轨道耦合iii.

钠黄线(589.3nm)的解释钠原子基态：第一激发态:价电子3p→3s的跃迁，发射589.3nm谱线。i.

无耦合表象不再是好表象

与不对易没有共同本征函数系。第24页，共36页，2023年，2月20日，星期四ii.耦合表象仍是好表象彼此对易守恒量完全集，共同本征函数对于形如的哈密顿，iii.能级分裂的定性解释第25页，共36页，2023年，2月20日，星期四iv.能级分裂的定量计算可采用微扰法v.光谱的双线结构基态能级是3s能级，没有自旋轨道耦合分裂；3p能级分裂为两个能级和。8.3.2反常Zeeman效应处在磁场中原子的Hamiltonian原子中电子运动的范围~10-10m，可忽略B2项第26页，共36页，2023年，2月20日，星期四

彼此对易，其共同本征态

或2.能级分裂的解释分裂为2j+1个能级不是的本征态，但相差不大第27页，共36页，2023年，2月20日，星期四§8.4自旋单态与三重态自旋纠缠态8.4.1二电子体系的总自旋1.查CG系数表或写为同理自旋三重态自旋单态电子交换对称反对称第28页，共36页，2023年，2月20日，星期四2.不查CG系数表无耦合表象基矢，即的共同本征矢也是属于的本征矢利用p157(7)的六个式子可用助记验证可得第29页，共36页，2023年，2月20日，星期四例1：两自旋1/2的非全同粒子，求体系总自旋及其z分量的可测值及相应几率。解：由可得体系的状态：第30页，共36页，2023年，2月20日，星期四例2：两自旋1/2的一维全同谐振子，求体系的定态能量及波函数。解：不含自旋考虑到费米子体系波函数是反对称波函数，体系定态能量及波函数：第31页，共36页，2023年，2月20日，星期四!8.4.2自旋纠缠态1.可分离态与纠缠态2.单体与二体力学量3.Bell基的共同本征矢?第32页，共36页，2023年，2月20日，星期四4.EPR佯谬(Einstain-Podolsky-Rosen)

对定域系统(如氦原子内的二电子)和非定域系统(如处于磁场中的二电子)都存在这种纠缠态。

若对电子1测量得电子2肯定处于EPR对QM的批评：电子纠缠非定域电子1在地2在月纠缠仍存在在地球测1的自旋可决定在月球上的2的状态！EPR的结论：QM理论不完备，不能描述真实世界第33页，共36页，2023年，2月20日，星期四Stern—Gerlach实验

基态银原子束在不均匀磁场分裂为两束。测量裂距S，计算可得原子磁矩为实验结果：第34页，共36页，2023