复变函数教案第一章

《复变函数与积分变换》教案《复变函数》第一章《复变函数与积分变换》教案《复变函数》第一章PAGEPAGE1复变函数教案课程性质章节名称：第一章复数与复变函数学时安排：10学时教学要求念。教学内容：复数及其代数运算；复数的乘幂与方根；平面点集；复变函数；复变函数的极限与连续教学重点：复数几何意义及复变函数的极限与连续。教学难点：理解扩充复平面的相关概念。教学手段：课堂讲授教学过程：一、引言 复数的产生和复变函数理论的建立1，1545Cardan思想。后来，数学家引进了虚数，这在当时是不可接受的。这种状况随着1718世纪微积分的发明和给出了虚数的几何解析而逐渐好转。2，1777EuleriEuler首创的。CauchyRiemannWeierstrass建立了系统的复变函数理论，这些理论知直到今天都是比较完善的。世纪以来，复变函数理论形成了很多分支，如整函数与亚纯函数理论、解用于理论物理、弹性物理和天体力学、流体力学、电学等领域。5，复变函数课程主要任务为研究复变数之间的相互依赖关系。其中许多概念、§1、复数及其代数运算1，复数概念：zxiy(xyR为复数；xRezzxiy(xyR的实部；yImzzxiy(xyR的虚部；xyzxiy(xyR为纯虚数；两个复数相等；虚数不能比较大小。zz。2，复数的代数运算：设z x1

iy，z1

x iy，2 2(x1

iy1

)(x2

iy2

)(x1

x)i(y2

y)；2(x1

iy1

)(x2

iy2

)(xx1 2

yy1

)i(xy2 1

xy)；1 2z xiy

(xx

y

)i(xy

xy)z2

x iy2

0，z2

1 1 1 2x iy2 2

1 2 2 1x2y22 2

1 2 ；共轭复数的运算：z zzz1

zz1

，zz1

zz1

，(1) 1；z z2 2zz；3）zz[Re(z)]2[Im(z)]2x2y2；4）zz2Re(zzz2iIm(z。显然，复数的运算满足交换律、结合律和分配律。3，应用举例：1z1

5，z21

34iz2

,(z

1)；2例2，设z ，求Rez、Imz、zz；i 1izcos1ei的实部和虚部。cos1§2、复数的几何表示1，复平面z表示为复平面上的点zxiy(xyR由一对有序实数(xyzxiy(x,yR以用复平面上的点(xy来表示。XYZ平面。下面我们利用复平面上的点对应的以原点为起点的向量来定义模和辐角的概念。z表示为复平面上的向量x2y2zzxiy(xyR的平zzzx2y2zRe(zIm(zRe(zzIm(zzzzz2z2；zzz

；zz z z ；zz 1 2 1 2 1 2

z21

z 2

2Re(zz)1 2z0z的向量为终边的角的弧度数z角，记为Argz,tan(Argz)yxz0有无穷多个輻角，如果是其中一个，则1Argz2k(k为整数）1给出了z的全部輻角。輻角主值：在z0的所有輻角中，满足 的 称为Argz2k的0 0 1主值，记作 argz0

y,(xyyy0)x argz ,(xyy 0arctany,(xyy0) x ,(xy0)复数的三角形式和指数形式zr(cosisinzreiz的三角形式和指数形式。应用举例：12例1，将下列复数化为三角形式与指数形式12z； zsinicos5 52zz1 2

为两个任意复数，证明：zz z z ；zz z z1 2 1 2 1 2 1 21：试将复数1cosisin(0化为三角形式与指数形式。练习题2：若z1

1，z2

1，试证：

1。zzz1zz1212（几何表示数。N外，与复平面内的点之间存在着一一对应的关系。为了使复平面与球面上的点无例外地都能一一对应起来，我们规定：N复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应，并记作。复球面。3）包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面；不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面或称复平面。§3、复数的乘幂与方根1，乘积与商1们的輻角的和。2数与除数的輻角之差。应用举例：已知正三角形的两个顶点为z z 2i，求它的另一个定点。1 22，幂与根(cosisin)ncosnisinnnr(cosisin),nr(k,n

2kn

i

2k)n441i§4、区域1，区域的概念：邻域平面上以z为中心，（任意正数）为半径的圆：zz 内部的点0 0的集合称为z的邻域，而称由不等式0zz 所确定的点集为z的去心邻0 0 0域。内点：GzGz的一个邻域，该0 0GzG的内点。0GG为开集。D是一个开集D是连通的（DD的一条折线连接起来。5）边界点（边界DPDP的任意DPD的边界点；D的所有边界点组成D（区域的边界可能由几条曲线和一些孤立的点所组成）6）区D与它的边界一起构成闭区域。7）D使区域D的每个点z都满足zM，即称D为有界的。否则称为无界的。2，单连通域与多连通域x(ty(txx(tyy(t)(atb代表一条平面曲线，称为连续曲线。atbx(t),y(tt的每一个值，有[x(t)]2y(t)]20，那么这曲线称为光滑的。由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线。JORDAN曲线：没有重点的连续曲线称为简单曲线。B，如果在其中任作一条简单闭B就称为多连通域。、复变函数1Gzxiy照这一法则，对于集合G中的每一个复数zxiy，就有一个或几个复数wuivwuivzxiy（简称复变函数，记wf(z。注意：定义域与值域与实变函数类似；单值函数与多值函数。2映射的概念：平面内的几何图形表示出来，必须把它看成两个复平面上的点集之间的对应关系。zz的值，而用另一个平面上的点表示函数的wf(zzG上的一个点集的映射。反函数wf(zzG，函数值集合为平面上的集合G*G*中的每一点G（或几个在G*上就定义了一个单值（或多值）zf(wwf(z的反函数（也称映射wf(z的逆映射。§6、复变函数的极限和连续1，复变函数的极限：定义：设函数wf(z)定义在z的去心邻域0zz 内，如果有一确定0 0A存在，对于任意给定的0，相应地必有一正数()(0，使得当0zz 时有0Af(zzz0

f(时的极限，记作：limf(z)A。zz0zz0的充分小()(0f(zA的预先给定的邻域中，跟一元实变函数极限的几何意义相定义中zz0的方式是任意的，即无论zz0，f(zA4）1f(z)u(xyiv(xyAu0iv0z0x0iy0，则limf(z)Alimu(xyulimv(xy)v。zz0

xx0

0 xx 0y0y y0 0f(zu(xyiv(xy的极限问题转化为求两个二元实变函数的极限问题。5）2：如果limf(z)Alimg(z)B，则zz zz0 0lim[f(z)g(z)]AB；limf(z)g(z)AB；lim

f(z)

A(B0)zz0f(z

Re(z)

zz0 zz0g(z) Bzz0时极限不存在。z2，复变函数的连续性：limf(zf(zzz

f(z

处连续。如果f(z)在区域00D内处处连续，我们说f(z)在D内连续。）定理3：函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在z x iy 处连续的充要条件是0 0 0u(xyv(xy在(xy处连续。0 0