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R0019高中数学竞赛专题讲座--排序均值柯西不等式及
其应用（排序不等式、均值不等式、柯西不等式是不等式证明的基本工具，三者各有所长，这里我们先简单回顾一下三个不等式，然后结合具体题目谈谈它们在不等式证明中的应用。一.排序、均值、柯西不等式①排序不等式：（i）对于两个有序数组a1a2an及b1b2bn,贝加albla2b2anb（同序）ai1bj1ai2bj2ainbbn（乱序）a1bna2bn1anb（反序）n1其中i1,i2,,in与j1,j2,,jn是1,2,n的任意两个排列，当且仅当a1a2an或口b1b2bn时式中等号成立.口（ii）设0a1a2an,0b1b2bn,而i1,i2,,in是1,2,,n的一个排列，则a11a22anbbbna1i1a2bbi222222anbina1na2bbn1an1.当且仅当a1a2an或b1b2bn时式中等口b号成立.(iii)设有n组非负数,每组n个数,它们满足:0ak1ak2akn(k1,2,,m),那么,从每一组中各取出一个数作积,再从剩下的每一组中各取一个作积,直到n次取完为止，然后将这些“积”相加，则所得的诸和中，以Ia11a21am1a12a22am2a1na2namn为最大.口(iv)设0a1a2an,0口b1b2bn,当且仅当a1a2an,口且6比26口时取等号.②平均值不等式：口设a1,a2,an是n个正实数，则有号.③幂平均值不等式:a1a2anna1a2an时取等口aaaaaa2n12n设0,nN,a1,a2,,anR,则1nn当且仅当a1a2an时取等号.口④加权幂平均值不等式设p1,p2,,pnR,0,nN,a1,a2,,anR,则口p1ap2apna12np1p2pnp1ap2apna12np1p2pn22,当且仅当a1a2an时取等号.口2⑤柯西不等式：(albla2b2anbn)(a1a2an)(b1b2bn),当且仅当aikbi(i1,2,,n)时口2取等号.推论1设a1,a2,,anR,则(a1a2an)(口1a121a2221an)n.22a1a2ana1a2ana,a,,a推论2设12.nR,则口nn二.典例解析例1（第17届IMO试题）已知某i、yi（i1,2,,n）为任意实数,且某1某2某n,y1y2yn.口nn2又z1,z2,,zn是y1,y2,,yn的任意一个排列，试证：（某iyi）口i1nn2in2in（某i1izi).#2
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