2023届四川省乐山市高三第一次调查研究考试数学（理）试题

2023届四川省乐山市高三第一次调查研究考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合A={x|-2＜x＜2}，B=，则A∩B=（

）A．{x|-3＜x＜2} B．{x|-3＜x＜1}C．{x|-2＜x＜1} D．{x|-2＜x＜-1}【答案】C【分析】把集合化简，再根据交集的定义求解.【详解】,.故选：C.2．为了了解乐山大佛景区暑假游客年龄情况，大佛管委会对不同年龄段的游客人数进行了统计，并整理得到如下的频率分布直方图.已知20岁到70岁的游客人数共约200万，则年龄在[50，60]的游客人数约为（

）A．6万 B．60万 C．8万 D．80万【答案】B【分析】根据频率分布直方图计算出年龄在[50，60]的游客所占频率，由频数频率总数，即可计算出年龄在[50，60]的游客人数.【详解】解：由频率分布直方图可知，年龄在[50，60]的游客所占频率为，则此年龄段的游客人数为万人，故选：B.3．设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（

）A．

B． C． D．【答案】B【分析】根据复数模的几何意义可判断的轨迹，即可知z在复平面内对应的点在直线上，可得答案.【详解】复数z满足,即，其几何意义为复平面内的点到点和点的距离相等，即点的轨迹为和的垂直平分线，即z在复平面内对应的点在直线上，故，故选：B4．的展开式中的系数为（

）A．4 B．6 C．9 D．10【答案】C【分析】将代数式变形为，求出展开式的指数为的项，即可求得的系数.【详解】，展开式的指数为的项为，则展开式中的系数为.故选：.5．青海省龙羊峡水电站大坝为重力拱坝（如图1），其形状如同曲池（如图2）.《九章算术》指出，曲池是上下底面皆为扇环形状的水池，设其上底面扇环的内外弧长分别为，内外径之差为，下底面扇环的内外弧长分别为，内外径之差为，高为，则曲池体积公式为其中已知龙羊峡水电站大坝的上底面内外弧长分别为360m和380m，内外半径分别为250m和265m；下底面内外弧长分别为50m和70m，内外半径差为80m，高为180m.则浇铸龙羊峡大坝需要的混凝土约为（

）（结果四舍五入）A．1.3×10⁶m³ B．1.4×10⁶m³ C．1.5×10⁶m³ D．1.6×10⁶m³【答案】C【分析】根据题意，结合所给数据计算体积即可.【详解】解：由题知，，，，，所以，所以所以，浇铸龙羊峡大坝需要的混凝土约为故选：C6．已知等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由可得出，若，，若，，必要性成立；若，则不一定成立，进而判断可得出结论.【详解】若，则，不一定成立，即充分性不成立；若成立，则，即，所以，数列为递增数列，若，，若，，所以必要性成立.所以，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.7．已知函数，则函数的大致图象为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先判断函数的奇偶性，排除选项，再根据时，函数值的趋向，即可判断选项.【详解】函数的定义域是，，，所以函数是奇函数，应关于原点对称，故排除CD；，当时，，，所以，故排除B.故选：A8．已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角函数两角和公式求出，再根据三角函数的二倍角公式，并利用同角三角函数的关系构造齐次式，即可求解.【详解】解：，解得，，故选：A.9．已知，设，则所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题知，进而得，故.【详解】解：因为，所以，因为，所以．因为，所以，所以．故选：C．10．已知，满足，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题，分，两种情况讨论求解即可.【详解】解：当时，，所以，即，解得，当时，，所以，即，解得，所以，的取值范围是故选：D11．已知，，，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】根据条件利用消元法，转化为关于的式子，利用基本不等式求解即可.【详解】由可得，因为，所以，当时，，当且仅当即时等号成立，此时的最小值为；当时，，当且仅当即时等号成立，此时的最小值为；综上的最小值为，故选：B12．已知则（

）A．c>a>b B．a>c>b C．b>c>a D．a>b>c【答案】A【分析】构造函数利用导数讨论单调性即可判断的大小关系，构造函数利用导数讨论单调性即可判断的大小关系，即可求解.【详解】令，则，设恒成立，所以在单调递增，所以，即在时恒成立，所以单调递增，则，即，故，令，，因为，，所以在恒成立，所以在单调递增，所以，所以，即，即，所以，所以，故选:A.二、填空题13．抛物线上一点到焦点F的距离|MF|=5，则抛物线的方程为_______________..【答案】【分析】根据焦半径公式，列式求解.【详解】根据焦半径公式可知，，得，所以抛物线的方程为.故答案为：14．若向量满足，与的夹角为，则______________.【答案】【分析】利用向量的数量积的定义与运算法则求解即可.【详解】因为，与的夹角为，所以，，所以.故答案为：.15．函数上所有零点之和为_____.【答案】4【分析】利用数形结合，将函数零点问题转化为函数和的交点问题，再利用函数的对称性，可求零点的和.【详解】函数，即，函数和都关于对称，所以函数和的交点也关于对称，如图画出两个函数在区间的函数图象，两个函数图象有4个交点，利用对称性可知，交点横坐标的和.故答案为：416．在平面四边形ABCD中，沿BD将△ABD折起，使得△ABC与△BADABCD外接球球心到平面ABC的距离为，四面体ABCD的内切球球心到点A的距离为，则的值为______.【答案】【分析】根据四面体各条棱的长度特点将四面体放在长方体中求解，利用外接球的半径，的外接圆的半径，以及点到平面的距离成直角三角形的关系，利用勾股定理求出，再根据内切球的球心与外接球的球心重合确定内切球球心到点A的距离为，进而可求解.【详解】因为得△ABC与△BAD全等，所以,且所以可以把该四面体放在长方体中求解，如图，设长方体的长宽高为，则有解得，设四面体外接球的半径为,则，在中，,则，设外接圆的半径为，则有，所以，所以，，设四面体内切球的半径为,因为四面体各个面全等，且，解得，因为，四面体各个面全等，则外接球的球心到各个面的距离相等，所以外接球的球心与内切球的球心重合，所以，所以.故答案为:.三、解答题17．已知等差数列{}的前三项和为15，等比数列{}的前三项积为64，且.(1)求{}和{}的通项公式;(2)设，求数列{}的前20项和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据等差，等比数列的性质，分别求公差和公比，即可求得通项公式；（2）根据（1）的结果求数列的通项公式，再利用分组求和法，求数列的前20项和.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由条件可知，，得，，所以，等比数列中，，则，，所以；（2）,对数列为奇数时，，所以数列的奇数项是首项为2，公差为6的等差数列，对数列为偶数，，所以数列的偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，所以数列的前20项和为：.18．设函数(1)求函数的最大值和最小正周期；(2)在锐角中，角所对的边分别为为且求的最大值.【答案】(1)最大值为，最小正周期为(2)【分析】（1）根据三角恒等变换得，即可解决；（2）由题得，代入题中解决即可.【详解】（1）由题知，所以函数的最大值为，最小正周期为．（2）由（1）得，因为，所以．因为B为锐角，所以．因为，所以，.所以．所以．当时，原式有最大值．所以的最大值为.19．如图，在四棱锥中，平面，底面ABCD满足，且，三角形的面积为(1)画出平面PAB和平面PCD的交线，并说明理由，(2)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)答案见解析；(2).【分析】（1）延长BA、CD交于点，连接EP，则EP为平面PAB和平面PCD的交线，分别证明点平面平面PCD，平面平面PCD，即可；（2）以点A为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答..【详解】（1）延长BA、CD交于点，连接EP，则EP为平面PAB和平面PCD的交线，如图，∵，平面PAB，∴平面PAB．同理可得平面PCD．∴平面平面PCD．∵平面PAB，平面PCD，∴平面平面PCD．∴EP为平面PAB和平面PCD的交线.（2）∵平面ABCD，平面ABCD，∴，，∵三角形PAC的面积为，，∴，解得．从而，又在直角三角形PAB中，，∴，在中，，，，∴，∴，∵，，∴平面PAB，平面PAB，则，而，有，以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量，则，令，得，显然平面PAB的一个法向量为，设平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为，则，所以平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为．20．“双十一”期间，某大型商场举行了“消费领奖”的促销活动，在规定的商品中，顾客消费满，200元（含200元）即可抽奖一次，抽奖方式有两种（顾客只能选择其中一种）.方案一：从装有5个形状、大小完全相同的小球（其中红球1个，黑球4个）的抽奖盒中，有放回地摸出2球，每摸出1次红球，立减100元.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，黑球8个）的抽奖盒中，不放回地摸出2个球，中奖规则为：若摸出2个红球，享受免费优惠；若摸出1个红球，1个黑球，则打5折；若摸出2个黑球，则抵扣现金50元.(1)某顾客恰好消费200元，选择抽奖方案一，求他实付现金的分布列和期望；(2)若顾客消费300元，试从实付金额的期望值分析顾客选择哪一种抽奖方式更合理?【答案】(1)分布列见解析，160元(2)选择方案二更合理【分析】（1）设实付金额为元，则可能取值为0，100，200，分别求出对应独立重复试验的概率，即可按定义求得分布列和期望；（2）选择期望较小的方案，方案一可先求出摸到红球的个数的期望，再进一步求即可；方案二设实付金额为，则的可能取值为0，150，250，通过古典概型求得对应分布列和期望.【详解】（1）设实付金额为元，则可能取值为0，100，200．则，，，则的分布列为0100200∴（元）（2）若选方案一，设摸到红球的个数为，实付金额为，则，由题意得，故．∴（元）若选方案二，设实付金额为，则的可能取值为0，150，250．则，，．则的分布列为0150250∴（元）∵，∴选择方案二更合理．21．若函数(1)证明:当时；(2)设，证明【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)给函数求导得，令，通过导数可得到，即可解决得到单调性；(2)根据可得不等式成立，换元变为，令证明.【详解】（1）∵，∴．令，则．当时，．∴在上单调递减，故．∵，∴．∴在上单调递减，故．∴当时，．（2）由（1）可知，当时，．令，则上式化为．∴，．令，*得．∴，．∵．∴，得证．【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．22．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的直角坐标方程；(2)若是上一动点，，作线段的中垂线交直线于点，求点的轨迹方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据极坐标与直角坐标方程的互化公式直接求解即可；（2）由题知点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线，再求其方程即可.【详解】（1）解：因为曲线的极坐标方程为，，所以，，即，所以，曲线的直角坐标方程为（2）解：因为，所以其直角坐标为所以