2023届内蒙古通辽市尔沁左翼中旗实验高级中学高三第二次模拟考试数学试题

2023届内蒙古通辽市尔沁左翼中旗实验高级中学高三第二次模拟考试数学试题一、单选题1．设全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出，再根据交集的定义可求.【详解】，故，故选：A.2．（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数的乘法和除法运算计算即可.【详解】解：.故选：D.3．已知向量，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】先求得，然后求得.【详解】因为，所以.故选：D4．若数列的首项为且满足数列的前4项和=（

）A．33 B．45 C．48 D．78【答案】D【分析】根据题中条件，由构造法，得到是等比数列，确定首项和公比，求出其通项公式，得出的通项，进而可求出其前4项和.【详解】由，得，故是首项为，公比为2的等比数列，故，则，所以数列的前4项和为.故选：D.5．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，，则，即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，不妨设点在轴上方，代入得，，所以.故选：B6．如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以为直径作两个半圆．在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，把下面的阴影部分平均分成两部分，然后利用位移割补法，分别平移到图中划线部分，再结合几何概型中面积型概率公式求解即可.【详解】解：设扇形的半径为，则扇形的面积为，连接，把下面的阴影部分平均分成两部分，然后利用位移割补法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分面积为：，所以此点取自阴影部分的概率是：，故选C.【点睛】本题考查几何概型的应用以及观察推理的能力.重点考查了如何求解阴影部分的面积，即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.属中档题.7．已知一个实心铜质的圆锥形材料的底面半径为4，圆锥母线长，现将它熔化后铸成一个实心铜球，不计损耗，则铜球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积，从而求出球的半径，再根据球的表面积公式计算可得.【详解】解：依题意圆锥的底面半径，母线，所以圆锥的高，所以圆锥的体积，设铜球的半径为，则，解得，所以铜球的表面积.故选：B8．在等差数列中，若是数列的前项和，则的值为A．48 B．54 C．60 D．66【答案】B【详解】分析：根据等差数列的前项和公式和数列下标和的性质求解．详解：∵数列为等差数列，∴．∴．故选B．点睛：等差数列中的下标和的性质，即若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq常与前n项和公式结合在一起考查，解题时采用整体代换的思想，可简化解题过程，提高解题的效率．9．从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学的数学成绩，所得数据用茎叶图表示如下．由此可估计甲，乙两班同学的数学成绩情况，则下列结论正确的是（

）A．甲班数学成绩的中位数比乙班大B．甲班数学成绩的平均值比乙班小C．甲乙两班数学成绩的极差相等D．甲班数学成绩的方差比乙班大【答案】A【分析】A选项，根据中位数的定义计算出甲乙两班的中位数，比较大小；B选项，根据平均数的定义计算出甲乙两班的平均数，比较出大小；C选项，根据极差的定义计算出甲乙两班的极差，两者不相等；D选项，由茎叶图分析可得到甲班数学成绩更集中在平均数的周围，故方差小.【详解】甲班的数学成绩中位数为，乙班的数学成绩中位数为，甲班数学成绩的中位数比乙班大，A正确；甲班的数学成绩的平均数为，乙班的数学成绩的平均数为，故甲班数学成绩的平均值比乙班大，B错误；甲班的数学成绩的极差为，乙班的数学成绩的极差为，故甲乙两班数学成绩的极差不相等，C错误；从茎叶图中可以看出甲班的成绩更加的集中在平均数71.4的附近，而乙班的成绩更分散，没有集中到平均数70.6的附近，故甲班数学成绩的方差比乙班小，D错误.故选：A10．若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】，则，，则双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，因此，双曲线的方程为.故选：B11．曲线在点处的切线的斜率为（

）A．－ B． C．－ D．【答案】B【分析】对函数求导得，再将代入，即可得到答案；【详解】把代入得导数值为，即为所求切线的斜率．故选：B12．已知是定义域为的奇函数,满足.若，则A． B． C． D．【答案】C【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．二、填空题13．在5名学生（3名男生，2名女生）中安排2名学生值日，其中至少有1名女生的概率是__________．【答案】##【分析】分别求出在5名学生（3名男生，2名女生）中安排2名学生的方法总数和其中至少有1名女生的方法总数，再由古典概率公式代入即可得出答案.【详解】在5名学生（3名男生，2名女生）中安排2名学生值日，则有种，其中至少有1名女生的情况有中，所以至少有1名女生的概率为：.故答案为：14．直线与圆交于两点，则________．【答案】【分析】方法一：先将圆的方程化成标准方程，求出圆心，半径，再根据点到直线的距离公式以及弦长公式即可求出．【详解】［方法一］：【通性通法】【最优解】弦长公式的应用根据题意，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，且半径是，弦心距，所以．故答案为：.［方法二］：距离公式的应用由解得：或，不妨设，所以．故答案为：.［方法三］：参数方程的应用直线的参数方程为，将其代入，可得，化简得，从而，所以．故答案为：.【整体点评】方法一：利用圆的弦长公式直接求解，是本题的通性通法，也是最优解；方法二：直接求出弦的端点坐标，再根据两点间的距离公式求出，是求解一般弦长的通性通法，有时计算偏麻烦；方法三：直线参数方程中弦长公式的应用．15．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则函数解析式为___________．【答案】【分析】根据图象得，，再代入点，可求得函数的解析式.【详解】由图象得，又，，所以，点，代入解析式得：，∴，，因为，所以，所以，故答案为：.16．设函数，则的单调递增区间为_________．【答案】【分析】根据，则单调递增，求解的范围即为的单调递增区间．【详解】，则令，则∴的单调递增区间为故答案为：．三、解答题17．记的内角的对边分别为，已知．(1)证明：；(2)若，求的周长．【答案】(1)见解析(2)14【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.【详解】（1）证明：因为，所以，所以，即，所以；（2）解：因为，由（1）得，由余弦定理可得，则，所以，故，所以，所以的周长为.18．如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱，是延长线上一点，且（1）求证：直线平面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）证明四边形是平行四边形，得即可证明；（2）过作于，连结，得是二面角的平面角.在中，计算即可求解【详解】（1），又，∴四边形是平行四边形，∴又平面，平面，∴直线平面（2）过作于，连结，∵平面是二面角的平面角.∵是的中点，在中，∴即二面角的大小为【点睛】本题考查线面平行的判定，考查二面角的求法，考查空间想象能力，是基础题19．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：年份20102011201220132014时间代号12345储蓄存款（千亿元）567810（Ⅰ）求y关于t的回归方程（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（）的人民币储蓄存款.附：回归方程中【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）千亿元.【详解】试题分析：（Ⅰ）列表分别计算出，的值，然后代入求得，再代入求出值，从而就可得到回归方程，（Ⅱ）将代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款．试题解析：（1）列表计算如下i11515226412337921448163255102550153655120这里又从而.故所求回归方程为.（2）将代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为【解析】线性回归方程.20．已知椭圆：的一个顶点为，焦距为．(1)求椭圆E的方程；(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出椭圆方程；（2）首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线、的方程，表示出、，根据得到方程，解得即可；【详解】（1）解：依题意可得，，又，所以，所以椭圆方程为；（2）解：依题意过点的直线为，设、，不妨令，由，消去整理得，所以，解得，所以，，直线的方程为，令，解得，直线的方程为，令，解得，所以，所以，即即即整理得，解得21．设函数(1)讨论的单调性；(2)求在区间的最大值和最小值．【答案】(1)函数在上单调递增；在上单调递减；(2)在区间上的最大值为，最小值为.【分析】（1）先求函数的定义域，解不等式求出函数的单调递增区间，解不等式求出函数的单调递减区间；（2）根据函数的单调性求出函数的最值.【详解】（1）函数的定义域为，又.令，解得或；令，解得.所以函数在上单调递增；在上单调递减；（2）由（1）可得：函数在区间内单调递减，在内单调递增.所以当时，函数取得最小值，又，，而，所以当时，函数取得最大值为：.即在区间上的最大值为，最小值为.22．已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(为参数).（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数的取值范围.【答案】（1）；；（2）【分析】（1）利用所给参数方程消去参数即可求得普通方程；（2）首先求得圆心到直线的距离，据此得到关于实数的不等式，求解不等式即可求得最终结果．【详解】解：（1）直线的参数方程为，消去可得；圆的参数方程为，两式平方相加可得；（2）因为，所以圆心，半径．由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离．直线与圆有公共点，，即，解得，即．【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题．23．已知函数．（1）当时，求不等式的解集;（2）若，求a的取值范围．【答案】（1）.（2）.【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简，由此求得的取值范围.【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，所以的解集为.[方法二]【最优解】：零点分段求解法

当时，．当时，，解得；当时，，无解；当时，，解得．综上，的解集为．（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值依题意，即恒成立，，当且仅当时取等号，,故，所以或，解得.所以的取值范围是.[方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值由是数轴上数x表示的点到数a表示的点的距离，得，故，下同解法一.[方法三]：分类讨论+分段函数法当时，则，此时，无解．当时，则，此时，由得，．综上，a的取值范围为．[方法四]：函数图象法解不等式

由方法一求得后，构造两个函数和，即和，如图，两个函数的图像有且仅有一个交点，由图易知，则．【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．方法一采用