开平方的计算

在中学阶段，涉及开平方的计算，一是查数学用表，一是利用计算器。而在解题时用的最多的是利用分解质因数来解决。如化简山024，因为1024=2八10,所以。/024=2八5=32；又如山256K（2八3*157）=2*寸（2*157）=2鹏14.如果想用笔算求算术平方根，在初二代数中讲完平方根后，有一个附录，讲得很详细。以下的介绍不知能否讲清楚：比如求鹏7625.（如图）将37625从个位起，向左每两位分一节：3,76,25找一个最大的数，使它的平方不大于第一节的数字，本题中得1（1的平方为1,而2的平方为4,大于3,所以得1）.把1写在竖式中3的上方。将刚才所得的1平方写在竖式中3的下方，并相减，然后将76移写在本行（如图）将前面所得的1乘20,再加一个数a,写在竖式的左方（如图），并同时把a写在竖式的上方对准6。而这个所谓的a，是需要试验的，使它与（20+a）的积最大且不超过276.本题中所得的a为9用9乘29,再用276减去，所得的差写在下方继续反复运用步骤④和⑤。如果后面的数字不足，则补两个0,继续运算。如果最后的余数是0,则该数的算术平方根是有理数；如果被开方数是小数，小数部分在分节的时候是从十分位起，每两位小数分一节。（附图中的虚线方框为制图时所产生，又竖式中最后的余数应是2779）手算开平方和开立方的方法1）开平方ExtractingSquareRoot写出被开方数，从小数点起向左和向右每隔两位分段，并在段的上方打点作记号。左边加一竖线，右边加一个左括号。从左段起求最大平方数，将方根写在括号右边，同时也写在竖线左边。然后在第一段下边写平方数，减去此平方数。写出减的结果，并将被开数第二段移下来，两者合并作为新被除数。此时竖线左边第二行（对齐新被除数）写出刚刚得的根乘2后再乘10的积作为新的除数（预留出个位的空白），将它去试除新被除数，所得的商填到除数的个位空白处，最终一起去除被除数，此时落实的商写在括号后已得根的后面。除数与商的积写在被除数的下方，然后相减，继续此步骤直到所有的分段都移下，包括小数点后两位两位任下移。如果除不尽，余数后面可再补两个零，继续到所需位数。原理；（a+1｝）'=疽十2ab十炉=湛十｛2a十101月2 2例：（34）=（30+4）=3O2+f2X30+4）X4=1156^口航⑶

2）开立方ExtractingCubeRoot：原理：从小数点起每3位分段：-'厂二…m上上前根前根a的位数或用双根或多方法1、 数m开n次方，n位一节为一根，前根均作a,a后需求的根均作b；不断增长，后根b永远作一位根视；直至开尽或开至所需要的位数。2、 首位a根用1〜9内n方诀直接确定，【随后就无a根系列的事了；位根作a；即将约小于被开数的乘方数的幂底整数值作为a根，再求b=x】b根用“标准固律方程式”或“简易求b方程式”求。原理正向乘方式：m=(a+b)n=an+bn+s【s根据n的数字而定值，n为上标，文本网显示不出来，希理解。因没有设置“上下标功能”或没有安装“公式编辑器”所致，特说明。】逆向开方时：m—an=bn+s=xn+s；m—an—bn=s；如二次方的s=2ab；三次方的s=3abD【D=a+b】五次方的s=5abD(D2—ab)【D=a+b；前面的2为上标，特说明。】其它任意次方的固律参数照推【本文不介绍，望理解】。即：bn=m—an—s=c—s【c为可知数，s、bn为潜态可知数】正规解法与过程可看原正规文：《关于“连续统假设”的“算术公理的无矛盾性”证明》中的lan3《高方直开法与直开式的方程解》篇。例如：(a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab(a+b)=m=a3+b3+3abD【D=a+b】所以：(a+b)3=m=a3+b3+3abD【D=a+b】〖注：3为上标。特说明。〗其他任意高次方的转换方式理同最简单、用式最短的三次方原理实用式记法。但m开3次方时，这个原公式帮不上忙了，即必须进行转换。因此成：(a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab(a+b)=m=a3+b3+3abD【D=a+b】，而后面转换成为m=a3+b3+3abD【D=a+b】，则m开方时就有同二次方一样的公式[求根式]可用了，在任意高次方中理同二次方无异。也即在实际开高次方或无穷大指数〖上标数〗时，或高次方程的运算过程中【注意：求b=x根就是科学上的各种一元n次方的标准方程式】，《结构数学》都将现代数学式中的式子按照“结构原理”进行了处理与转换，使它都按照统一规律形式的规律型公式去表达，目的：便于快速简洁的进行运算，并符合“算术公里的无矛盾性标准”。注意m=(a+b)2=a2+b2+2ab=aa+bb+2ab；这个2ab就是二次方的S；所以二次方都会解！而：m=(a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2=aaa+bbb+3aab+3abb=a3+b3+3ab(a+b)=a3+b3+3abD【D=a+b】；这个3abD就是三次方的S；懂此者就如同二次方一样都会解！又如，m=(a+b)5=a5+b5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4=a5+b5+5abD(D2-ab)五次方的S=5abD(D2-ab)=5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4。而这些3ab(a+b)=3abD=S；5abD(D2-ab)=5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4=S,这个S就是高次方程解的奥秘。在无穷大次方中，你知道了、，那么高次方的解同二次低方解的S=2ab的方式、方法没有任何区别的简单的不值一文钱了，也没有任何解的障碍或称为难题的必要了。公式X_(n+1)={X_n+[A/(X"(k-1)-X_n]1/k}公式X_(n+1)={X_n+[A/(XA(k-1)-X_n]1/k}"_"表示下角标，“"表示上角标。例如，XA2,表示x的平方；X_1表示第一个X。例如，A=5，k=3.公式：X(n+1)=Xn+(A/XnA2-Xn)1/35介于1人3至2A3之间(1的3次方=1,2的3次方=8)X_0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0都可以。例如我们取2.0.按照公式：第一步：X_1={2.0+[5/(2.0人2-2.0]1/3=1.7.}。输入值大于输出值，负反馈；即5/2x2=1.25，1.25-2=-0.75,0.75x1/3=0.25，2-0.25=1.75，取2位数值，即1.7。第二步：X_2={1.7+[5/(1.7人2-1.7]1/3=1.71}.°输入值小于输出值，正反馈；即5/1.7x1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03,0.03x1/3=0.01,1.7+0.01=1.71。取3位数，比前面多取一位数。第三步：X_3={1.71+[5/(1.71人2-1.71]1/3=1.709}。输入值大于输出值，负反馈第四步：X_4={1.709+[5/(1.709A2-1.709]1/3=1.7099}.输入值小于输出值，正反馈；这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值偏小，输出值自动转大°X_4=1.7099.当然也可以取1.1，1.2，1.3，。。。1.8，1.9中的任何一个。开平方公式X(n+1)=Xn+(A/Xn?Xn)1/2.°(n，n+1与是下角标)例如，A=5：5介于2的平方至3的平方之间。我们取初始值2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,2.6,2.7,2.8,2.9都可以，我们最好取中间值2.5。第一步：2.5+(5/2.5-2.5)1/2=2.2；即5/2.5=2,2-2.5=-0.5，-0.5x1/2=-0.25,2.5+(-0.25)=2.25，取2位数2.2。第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23；即5/2.2=2.27272， 2.27272-2.2=-0.07272， -0.07272x1/2=-0.03636，2.2+0.03636=2.23。取3位数2.23