(压轴题)高中数学必修五第二章《解三角形》检测(答案解析)

一、选择题1．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是两底角为的等腰三角形（另一种是两底角为的等腰三角形），例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，．根据这些信息，可得（）．A． B． C． D．2．在中，内角的对边分别为，已知，，则的最大值为（）A． B．C． D．3．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为，那么用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值加可表示成（）A． B． C． D．4．在锐角中，内角，，所对的边分别为，，．若，则的取值范围是（）A． B． C． D．5．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10m（如图），则旗杆的高度为（）A．10m B．30m C．10m D．10m6．在中，内角所对应的边分别为，若，且，则的值为（）A． B． C． D．7．如图所示，在中，在线段上，，，，则边的长为（）A． B． C． D．8．中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，b，c成等差数列，且，若边上的中线，则△的周长为（）A．15 B．14 C．16 D．129．已知点为的外心，且，，则的形状是（）A．直角三角形B．等边三角形C．直角三角形或等边三角形D．钝角三角形10．在钝角中，角的对边分别是，若，则的面积为A． B． C． D．11．如图，在离地面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（）A． B．C． D．12．已知在中，内角、、所对的边分别为、、，若的面积为，且，则（）A． B． C． D．二、填空题13．设的内角，，的对边分别为，，，，且，则________.14．设角是的三个内角，已知向量，，且.则角的大小为_____________.15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且的面积为，则的最小值为__________．16．在中，内角，，的对边分别是，，，若，，则________.17．在中，，．当取最大值时，的外接圆半径为________．18．在中，角的对边分别为，且面积为，则面积的最大值为_____．19．已知中，角、、所对的边分别是、、，边上的高为，且，则的取值范围是___________.20．已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则________.三、解答题21．在中，，，分别为角，，的对边，且.（1）求；（2）若的面积，求的取值范围.22．已知中，．（1）求的值；（2）若的面积为，，求的值．23．在中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求角的值；（2）若，，求的面积.24．在中，它的内角，，的对边分别为，，，且，.（Ⅰ）若，求的面积；（Ⅱ）试问能否成立？若能成立，求此时的周长；若不能成立，请说明理由.25．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.问题：在中，角、、对应的边分别为、、，若，___________，求角的值和的最小值.26．在中，的对边分别为且.（1）求的值；（2）求的范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】在，由正弦定理可知可得，进而根据诱导公式得.【详解】在，由正弦定理可知：，，由诱导公式，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查了根据正弦定理和诱导公式求三角函数值，解题关键是掌握正弦定理公式和熟练使用诱导公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.2．B解析：B【分析】由正弦定理化边角，利用诱导公式两角和的正弦公式化简可得角，然后用余弦定理得，再利用基本不等式变形后解不等式得的最大值．【详解】因为，所以由正弦定理得，，因为，所以，所以，化简得，因为，所以，解得，因为，所以，因为，所以由余弦定理得，所以，所以，当且仅当时取等号，所以，的最大值为，故选：B．【点睛】方法点睛：本题考查主要正弦定理、余弦定理，在三角形问题中出现边角关系时可用正弦定理化边为角，然后由利用三角函数恒等变换公式如诱导公式，两角和与差的正弦公式等化简变形得出所要结论．3．C解析：C【分析】设圆的半径为，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，问题得解.【详解】设圆的半径为，将内接正边形分成个小三角形，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，整理得：，此时，即：同理，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，整理得：此时所以故选C【点睛】本题主要考查了圆的面积公式及三角形面积公式的应用，还考查了正弦的二倍角公式，考查计算能力，属于中档题．4．B解析：B【分析】根据题中条件，由三角形的余弦定理、正弦定理和两角和的正弦公式，化简可得，再由两角和的正切公式，以及锐角三角形的定义，可得，，解不等式可得所求范围．【详解】因为，由余弦定理可得，，则，可得，由正弦定理可得：，可得，化为，在锐角中，，，则，又，由，，可得，解得，故选：B．【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及两角和的三角函数公式，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．5．B解析：B【分析】作图，分别求得∠ABC，∠ACB和∠BAC，然后利用正弦定理求得AC，最后在直角三角形ACD中求得AD．【详解】解：如图，依题意知∠ABC＝30°+15°＝45°，∠ACB＝180°﹣60°﹣15°＝105°，∴∠BAC＝180°﹣45°﹣105°＝30°，由正弦定理知，∴AC•sin∠ABC20（m），在Rt△ACD中，AD•AC2030（m）即旗杆的高度为30m．故选B．【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用．结合了正弦定理等基础知识，考查了学生分析和推理的能力．6．C解析：C【分析】利用正弦定理边化角，结合辅助角公式可求得，从而确定；利用余弦定理构造方程可求得，代入所求式子即可化简得到结果.【详解】，，，，，又，.，整理可得：，.故选：.【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角、余弦定理的应用等知识；解决此类问题的关键是能够通过正弦定理，将边的齐次式转化为角的关系，属于常考题型.7．D解析：D【分析】利用余弦定理求得，由此求得，进而求得，利用正弦定理求得.【详解】在三角形中，由余弦定理得，所以，由于，所以.在三角形中，由正弦定理得.故选：D【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题.8．A解析：A【分析】由已知结合等差数列的性质及二倍角公式，正弦定理及余弦定理进行化简，即可求得结果.【详解】由a，b，c成等差数列可知，，因为，所以，由正弦定理及余弦定理可得，，所以，所以，，若边上的中线，所以，解可得，，，故△的周长为15.故选：A.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，正弦定理，等差数列的条件，以及边角关系，属于简单题目.9．B解析：B【分析】取、的中点、，利用向量加法的平行四边形法则以及向量得减法的几何意义可得，再利用余弦定理得，由正弦定理得边角互化以及两角差得正弦公式求出，即证.【详解】取、的中点、，则，同理，所以，又，由余弦定理，得，即，所以，由正弦定理，得，即，所以，所以，所以，即，因为，，所以，解得，所以，所以是等边三角形.故选：B【点睛】本题考查了向量加法、减法的运算法则，正弦定理、余弦定理、三角恒等变换，综合性比较强，属于中档题.10．A解析：A【分析】根据已知求出b的值，再求三角形的面积.【详解】在中，，由余弦定理得：，即，解得：或.∵是钝角三角形，∴（此时为直角三角形舍去）.∴的面积为.故选A.【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.11．C解析：C【分析】可知为等腰直角三角形，可计算出的长度，在中，利用正弦定理求出的长度，然后在中，利用锐角三角函数求出，即可得出答案.【详解】根据题意，可得在中，，，所以，，因为在中，，，由正弦定理，得，在中，，故选C.【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，着重考查三角函数的定义、利用正弦定理解三角形等知识，在解题时，要结合三角形已知元素类型合理选择正弦定理和余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.12．A解析：A【分析】由三角形面积公式和余弦定理可得的等式，利用二倍角公式求得，从而求得．【详解】∵，即，∴，又，∴，即，则，∴，故选：A．【点睛】本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力．二、填空题13．【分析】根据正弦定理得到之间的关系再根据角对应的余弦定理结合已知条件即可求解出的值【详解】因为所以所以又因为所以解得故答案为：【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形其中涉及利用正弦定理完成角化边主要解析：【分析】根据正弦定理得到之间的关系，再根据角对应的余弦定理结合已知条件即可求解出的值.【详解】因为，所以，所以，又因为，，所以，解得，故答案为：.【点睛】本题考查利用正、余弦定理解三角形，其中涉及利用正弦定理完成角化边，主要考查学生对公式的熟练运用，难度一般.14．【分析】先利用得到三角正弦之间的关系再根据正余弦定理求出即得角【详解】因为且所以即根据正弦定理得故根据余弦定理知又因为得故答案为：【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算和正余弦定理的应用是常考的综合题解析：【分析】先利用得到三角正弦之间的关系，再根据正、余弦定理求出，即得角.【详解】因为，，且所以即根据正弦定理得故根据余弦定理知，又因为得故答案为：.【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算和正余弦定理的应用，是常考的综合题，属于中档题.15．80【分析】由已知结合正弦定理以及三角形内角和性质有根据面积公式有再应用余弦定理可得结合目标式有利用基本不等式即可求最小值；【详解】由及正弦定理可得∴即又故故因为的面积为所以即故由余弦定理可得∴当且解析：80【分析】由已知结合正弦定理，以及三角形内角和性质有，根据面积公式有，再应用余弦定理可得，结合目标式有，利用基本不等式即可求最小值；【详解】由及正弦定理可得，∴，即，又，故，故．因为的面积为，所以，即，故，由余弦定理可得，∴，当且仅当时等号成立，故的最小值为80．故答案为：80．【点睛】本题考查了正余弦定理，应用了三角形内角和性质、三角形面积公式以及基本不等式求最值；16．【分析】由根据正弦定理边化角可得根据余弦定理结合已知联立方程组即可求得角【详解】根据正弦定理：根据余弦定理：又故可联立方程：解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角解题关键是掌握由正解析：【分析】由，根据正弦定理“边化角”，可得，根据余弦定理，结合已知联立方程组，即可求得角.【详解】，根据正弦定理：，，根据余弦定理：，又，故可联立方程：，解得：.故答案为：.【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.17．2【分析】设与两边平方后相加可得即可知时最大可得角再利用正弦定理即可求解【详解】设则又因为所以所以所以当时此时的外接圆半径为故答案为：2【点睛】本题主要考查了正弦定理二倍角公式三角函数的性质同角三角解析：2【分析】设与两边平方后相加，可得，即，可知时，最大，可得角，再利用正弦定理即可求解.【详解】设，则，又因为，所以，所以，所以当时，，，此时的外接圆半径为．故答案为：2【点睛】本题主要考查了正弦定理、二倍角公式、三角函数的性质、同角三角函数基本关系，属于中档题.18．【分析】利用三角形面积构造方程可求得可知从而得到；根据余弦定理结合基本不等式可求得代入三角形面积公式可求得最大值【详解】由余弦定理得：（当且仅当时取等号）本题正确结果：【点睛】本题考查解三角形问题中解析：【分析】利用三角形面积构造方程可求得，可知，从而得到；根据余弦定理，结合基本不等式可求得，代入三角形面积公式可求得最大值.【详解】，由余弦定理得：（当且仅当时取等号）本题正确结果：【点睛】本题考查解三角形问题中的三角形面积的最值问题的求解；求解最值问题的关键是能够通过余弦定理构造等量关系，进而利用基本不等式求得边长之积的最值，属于常考题型.19．【分析】由余弦定理得出由三角形的面积公式得出进而可得出利用正弦函数的有界性和基本不等式即可求得的取值范围【详解】如下图所示：由余弦定理得由三角形的面积公式得得则当时即当时取得最大值由基本不等式可得当解析：【分析】由余弦定理得出，由三角形的面积公式得出，进而可得出，利用正弦函数的有界性和基本不等式即可求得的取值范围.【详解】如下图所示：由余弦定理得，，，由三角形的面积公式得，得，，则，，，当时，即当时，取得最大值.由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，因此，的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查三角形中代数式的取值范围的求解，考查了余弦定理、三角形的面积公式、基本不等式以及正弦函数有界性的应用，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦利用两角和公式化简求得的值进而求得【详解】由于为三角形内角可得故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理的应用解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为解析：【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得的值进而求得．【详解】，，，，由于为三角形内角，可得．故答案为：．【点睛】本题主要考查正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦．三、解答题21．（1）；（2）.【分析】（1）由条件和正弦定理化简得到，求得，即可求解；（2）由（1）和三角形的面积公式，求得，结合余弦定理和基本不等式，即可求解.【详解】（1）因为，由正弦定理得，又，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，.（2）由（1）知，所以，所以，由余弦定理得，当且仅当时取等号，所以，因为，所以的取值范围是.【点睛】对于解三角形问题的常见解题策略：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.22．（1）；（2）2.【分析】（1）首先利用两角差的正切公式求出，再根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式计算可得；（2）由（1）可知，，即可求出，，再利用余弦定理及面积公式计算可得；【详解】解：（1），解得，故．（2）由（1）可知，①，且②；联立①②，解得，．又，，可得．，则．即．23．（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理化边为角，化简后可得，即得，即可求出；（2）由余弦定理求出，得，计算出，再由正弦定理求出，即可求出面积.【详解】解：（1）因为，则由正弦定理得.由得，即.因为，故.又，所以.（2）由余弦定理及得.又，所以，则.由正弦定理得，所以.【点睛】关键点睛：本题正余弦定理的应用，解题的关键是正确利用正弦定理边角互化的作用对条件进行化简.24．（Ⅰ）；（Ⅱ）不能成立，理由见解析.【分析】（Ⅰ）由于，，得，结合正弦定理与面积公式可得结果；（Ⅱ）假设能成立，得，由余弦定理，可得，结合基本不等式判断即可.【详解】（Ⅰ）由，得，，即.又∵，∴.∵，∴，.∴.（Ⅱ）假设能成立，∴.由余弦定理，，∴.∴，∴，∴或-2（舍），此时.不满足，∴不成立.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”.25．条件选择见解析；，最小值为.【分析】选①，利用三角形的内角和定理、诱导公式以及两角和的余弦公式化简得出，结合可求得，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得的最小值；选②，利用三角形的内角和定理、诱导公式以及二倍角的余弦公式求出的值，结合可求得，再利用余弦