2019年高考理科数学二轮复习练习压轴题增分练规范练限时标准练28份

2019年高考理科数学二轮复习精选练习

压轴题增分练+规范练+限时标准练

28份

雪2019高考数学（理）二轮精选练习：规通练1

省2019高考教学（理）二轮精选练习：规范练2

当2019高考教学（理）二轮精选练习：规范练3

力2019高考数学（理）二轮精选练习：规范练4

切2019高考数学（理）二轮精选练习：规范练5

电］2019高考数学（S）二轮精选练习：规而练6

空］2019高考数字（理）二轮精选练习：限时标准练1

嘴2019高考数学（理）二轮精选练习：限时标准练2

艺2019高考数学（理）二轮精选练习：限时标准练3

■2019高考数学（理）二轮精选练习：限时标准练4

■2019高考教学（理）二轮精选练习：限时标准薛5

力2019高考数字（理）二轮精选练习：限时标准练6

艺2019高考数学（理）二轮精选练习：限时标准练7

为2019高考数学（理）二轮精选练习：限时标准练8

包12019高考数学（理）二轮精选练习：压轴题增分练1

包2019高考数字（理）二轮精选练习：压轴题增分练2

理2019高考数学（理）二轮精选练习：压轴题增分练3

n2019高考数学（理）二轮精选练习：压轴题增分练4

（一）基础得分，天天练

“3+2选1”规范练（一）

（时间：45分钟满分：46分）

1.（12分）设函数f（JC）=sin12>z+等）+当sin21r—坐

\3/33

2

COS\z.

（1）求fCz）的最小正周期及其图象的对称轴方程；

（2）将函数/.（/）的图象向右平移等个单位长度，得到函数

g（Z）的图象，求g（7）在区间一强,看上的值域.

0O

［规范解答及评分标准］（1）/（1）=4sin2i+坐cos2i

_叵

TCOS2JT

卜会OS2L条in（2z+与

=：sin2i（2分）

乙

所以/（1）的最小正周期为T=—=7T.（4分）

令功+亲=妹十号（在Z）,得对称轴方程为尸竽+于

GGZ）.....................................（6分）

（2）将函数人x）的图象向右平移1个单位长度.

得到函数g（x）邛sin［2（V）+/一坐cos〃的图象，

即g（x）=—3cos2x»（8分）

当闻冷,知时，

「

2%eL-731，T27jr,l

可得cos2xw［—1,（10分）

所以一坐cos2xW—坐，*］，

即函数g（x）在区间［一去力上的值域是一坐，平.（12分）

2.（12分）如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面以。，平面ABCD,底面ABCD是

正方形，且B4=PO,ZAPD=90°.

(1)证明：平面以B_L平面PC£>；

(2)求二面角A—PB—C的余弦值.

［规范解答及评分标准］(1)证明：I.底面A8C。为正方形，，。。，力力.

•.•平面雨力，平面ABC。，平面以力ri平面ABCO=4D,CDU平面ABC。,

；.C£>_L平面PAD.(2分)

又：4PU平面以£),：.CDLAP.

•：PDLAP,CDHPD=D,.,.AP，平面PCD(4分)

：APU平面以8,二平面以BJ_平面PCD.(6分)

(2)如图，取A。的中点。，8c的中点Q,连接PO,0Q,则OQLAD

,：PA=PD,：.POLAD,，PO_L底面ABCD

以0为原点，分别以殖，OQ,舁的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐

标系，如图.

不妨设正方形的边长为2,则4(1,0,。)，5(1,2,0),C(-1,2,0),尸(0,0,1),

二丽=(1,0,-1),而=(1,2,-1),元=(一1,2,-1).

设平面AP8的法向量为"i=(xi，y”zi),

nPA=0,X\-Z]=0,

则|l即彳f八取的=1,则yi=0,zi=l,

Ai।2j|—Zj=O,

nvPB=0,

・•・平面APB的一个法向量为川=（1Q1）.（8分）

设平面8cp的法向量为〃2=（必，＞2，Z2）,

nrPC=O,一X2+2y2-Z2=0,

则<即彳\取"=1，则M=o,Z2=2,

丽人2+2”一Z2=0,

、〃2.=0,

・•・平面8cp的一个法向量为〃2=（0,1,2）.（10分）

鹿___________2____

/.COS〈〃”"2〉

~\n^\n2\~y[2Xy{5~5,

由图知所求二面角的平面角为钝角，故二面角A—PB—C的余弦值为一邛.（12分）

3.（12分）有一个类似计步数据库的公众账号，用户只需以运动手环或手机协处理器的

运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜

上得以体现.现随机选取某人朋友圈中的50人记录了他们某一天的走路步数，并将数据整

理如下表：

步数0-30003001—60006001—80008001—1000010000以上

男性人数127155

女性人数03791

规定：人一天行走的步数超过8000时被系统评定为“积极性”，否则被评定为“懈怠

性”.

（1）以这50人一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率，记X表示随

机抽取3人中被系统评定为“积极性”的人数，求P（XW2）和X的数学期望；

（2）为了调查评定系统的合理性，拟从这50人中先抽取10人（男性6人，女性4人）.其

中男性中被系统评定为“积极性'”的有4人，“懈怠性\”的有2人，从中任意选取3人，

记选到“积极性'”的人数为无；其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的均有2

人，从中任意选取2人，记选到“积极性”的人数为y.求的概率.

［规范解答及评分标准］⑴被系统评定为“积极性”的概率为瑞=|,X〜B（3,1）.

故P（XW2）=1—（|）3=言，（4分）

39

X的数学期望氏%）=3义5=亍（6分）

(2)“x>y”包含“x=3,y=2","x=3,y=l”,“x=3,y=0"，“x=2,y=l”,“x

=2,y=0”,“x=l,y=0”.

P(x=3,y=2)=fix|I=^,p(x=3,y=l)=|jx詈=1，

z~13c（）c2［c2clIir\

〜--、L4、/I__«、L4C2、/Z

P（x=3,产0）=&X背—P（zx=2,产1）=讨义官=5,

1「0「21-0「21

P（x=2,尸0）=言X宕=m,P（X=1,产0）=者义宣=而.

所以尸（9），）=++1+4+］+*++=1|.（12分）

选考题：共10分.请考生在第4、5题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一

题计分.

4.［选修4一4：坐标系与参数方程］（10分）

X=tCOSClt

在直角坐标系xOy中，倾斜角为a的直线/的参数方程为,。为参数），以

y=1+/sina

坐标原点。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为"sin?。一

2小cos0=0.

（1）写出直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）已知点P（0,l）,点0（小，0）,直线/过点Q与曲线C相交于A,B两点、,设线段AB

的中点为M，求的值.

［规范解答及评分标准］⑴由直线/的参数方程消去t,得I的普通方程为xsina-ycosa

+cos«=0.（3分）

由网/。一2小cos0=0,得22疝20-2小〃cos6=0,则曲线C的直角坐标方程为）?=2小

x.（5分）

（2）易得点P（0,l）在直线/上，所以tana=%pQ=*'=一乎，解得a=知.所以/的参数

f=_曷

I2f,

方程为j（7分）

尸十%

代入尸=2小x中，得上+16工+4=0.（8分）

设A,B,M所对应的参数分别为小缶t0,则力="互=一8,

所以|PM|=|fol=8.（lO分）

5.［选修4-5：不等式选讲］（10分）

已知函数/（尤）=卜一2|+仇+3|.

（1）解不等式段）＞6；

（2）若关于x的不等式or-1恒成立，求实数a的取值范围.

［规范解答及评分标准］（1）因为*x）=

—2x—1,x<—3,

,5,—3WxW2,（1分）

,2JV+1,x>2,

7

所以当x<一3时，由式》）>6,得一2x—1>6,解得x<一］；（2分）

当一3WxW2时，由凡x）>6,得5>6,无解；（3分）

当x>2时，由兀r）>6,得2r+l>6,解得x§.（4分）

综上所述，不等式犬x）>6的解集为

（2）令g（x）=or-l,则g（x）的图象是恒过点（0,-1）的直线.

当直线8。）=依一1过点（一3,5）时，得5=—3”一1,解得〃=一2；当直线g（x）=ax—l

与直线y=2x+l平行时，“=2.（7分）

因为关于x的不等式"一1勺（x）恒成立，

所以综合图象可得一2Wa<2.（9分）

所以实数a的取值范围为［-2,2］.（10分）”

3+2选1”规范练（二）

（时间：45分钟满分：46分）

1.（12分）设函数y（x）=sinA（小cosx+siar）一：

（1）求函数«r）的递增区间；

（2）在△ABC中，a,h,c分别为内角A,B,C的对边，若/8）=1,h=2,且〃（2—cosA）

="（cosB+l）,求△ABC的面积.

,i31—COS2JV]

[规范解答及评分标准]⑴函数X%)=sinA(V3cosx+siar)—2=2s*n2x~*?~~2=

坐sin2x—Tcos2^=sin(2x—§.(3分)

由2E—]W2x—Z),得E—Z).

所以函数段)的递增区间为[e—^^+f]aez).(6分)

(2)因为y(B)=l,即sin(23一袭)=1,

所以2B—^=2E+](A£Z),所以8=E+界£Z).

因为B是三角形的内角，所以8=?(8分)

又因为伙2—cosA)=a(cosB+1),

所以由正弦定理，得sinB(2—cosA)=sinA(cosB+1),

所以2sinB=sinA+sinAcosB+cosAsinB=sinA+sin(A+B)=sinA+sinC,所以2b=a+c.

因为b=2,B=W，所以由余弦定理，得/=/+C2—ac,

所以b2=(a+c)2—3ac,所以a=层=4.(10分)

所以S=Jacsin8=Wx4Xsin：=2义坐=小.

故△A8C的面积为小.(12分)

2.(12分)某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东、西部各5

个城市，得到观看该节目的人数的统计数据(单位：千人)，并画出如下茎叶图，其中一个数

字被污损.

西部

988337

2109•9

(I)求东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节目的观众的平

均人数的概率；

(2)该节目的播出极大地激发了观众对成语知识学习积累的热情，现从观看节目的观众

中随机统计了4位观众学习成语知识的周均时间(单位：小时)与年龄(单位：岁)，并制作了

如下对照表：

年龄X20304050

周均学习成语知识时间y2.5344.5

AAA

根据表中数据，试求线性回归方程），=〃x+a,并预测年龄为50岁的观众周均学习成语

知识的时间.

n__

lAiy—nxy

/=1

AA—A一

参考公式：b=,a=y-bx,

力；一〃尸

X=1

［规范解答及评分标准I（1）设被污损的数字为“，则。有10种情况.

由88+89+90+91+92>83+83+87+90+a+99,得a<8,（2分）

,有8种情况使得东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节

目的观众的平均人数，

s4

所求概率为正=亍（4分）

（2）由表中数据，计算得提=35,7=3.5,（6分）

4__

SXyTxy

A2^____________________525-4X35X3.5__7_

b=-4Z-=5400—4义352=而

万24x2

i=l

A—A—721

a—y—bx=3.5—同X35=4.（8分）

.A721

••y=75^+而.（io分）

当x=50时，y=4.55.

即预测年龄为50岁的观众周均学习成语知识的时间为4.55小时.（12分）

3.（12分）在如图所示的多面体中，四边形4BCD是平行四边形，四边形BDE尸是矩形，

TT

力E_L平面ABC。，NABD=q,AB=2AD.

(1)求证：平面8OEF_L平面ADE；

(2)若EZ)=8。，求AF与平面AEC所成角的正弦值.

TT

I规范解答及评分标准I(1)证明：在△AB。中，NABD=q,AB=2AD,

ABADABsin6

由正弦定理得-7,nn=~/4r>n''.sinNAZ)8=TVJ-=1,

sinZADBsinZABDAL)

：.ZADB=^,即BD1AD.(2分)

：Z)E_L平面ABC。，8£>u平面ABC。，，。石！.〃。.。分)

又AQC£)£=£),平面AQE.

BOu平面BDEF,：.平面BDEFL平面ADE.(f)分)

(2)由(1)可知，在RtZ\AB£>中，ZBAD=^,BD=y[3AD.

设40=1,则BD=ED=小.

以。为坐标原点，DA,DB,OE所在直线分别为x轴、)，轴、z轴建立空间直角坐标系,

如图所示.

则A（l,0,0）,c（-l,50）,E（0,0,小）,F（0,小,小），.•.靠=（-1,0,小）,AC=

(-2,^3,0),#=(一1,小，虫).(8分)

设平面AEC的法向量为〃=(x,y9z).

n-AE=O,-x+*\/§z=O,

由＜,

=-2x+yj3y=0.

n-AC09

令z=l,则工=小，y=2.

・•・平面AEC的一个法向量为〃=（/，2/）.（9分）

../I^2.公、

..|cos〈〃，AF）\=_一］4411分）

\n\­\AF\

二直线AF与平面AEC所成角的正弦值为春.（12分）

选考题：共10分.请考生在第4、5题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一

题计分.

4.［选修4一4：坐标系与参数方程］（10分）

\x=t,

在平面直角坐标系中，直线/的参数方程是（f为参数）.以坐标原点为极点，X

ly=2r

轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.已知曲线C的极坐标方程为“+23布。-3=0.

（1）求直线/的极坐标方程；

（2）若直线/与曲线C相交于A,8两点，求|AB|的值.

［规范解答及评分标准］⑴由"消去f得y=2x.

ly=2t,

|x=pcos仇

把彳代入y=2x9得psin0=2/）cosa

［y=psin。

・•・直线/的极坐标方程为sin0=2cos0.（5分）

222

（2）V/?=x+y,y=psin09

二曲线C的方程可化为』+丁+2），-3=0,即d+（y+D2=4.

.•.圆c的圆心c（o,—1）到直线/的距离〃=乎.

\AB\-10分）

5.［选修4-5：不等式选讲］（10分）

已知函数fix）=\ax—\\—（a—2）x.

（1）当。=3时,求不等式段）＞0的解集；

（2）若函数/犬）的图象与x轴没有交点，求实数。的取值范围.

［规范解答及评分标准］（1）当。=3时，不等式可化为|3X一1|一心＞0,即|3x—l|＞x,

/.3x—1<-x或3x-l>xf

解得或X>|.（4分）

2x—1,

{2（1—a）x+l,x<~,

p-l>0,

要使函数人元）的图象与x轴没有交点，只需产即1W“<2.

12（1—）W0,

当a=0时，y（x）=2x+l,函数y（x）的图象与x轴有交点.

j2x—1,X母，

当〃<0时，式x）={

1^2（1—6Z）x+l,x>~.

P-KO,

要使函数火x）的图象与x轴没有交点，只需此时〃无解.

.2（1—a）W0,

综上所述，当lWa<2时，函数段）的图象与x轴没有交点.（10分）“

3+2选1”规范练(三)

(时间：45分钟满分：46分)

1.(12分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,6,c,且满足cc^A+cos2c-

=1+sinAsinC.

(1)求角B的大小；

(2)若a=3,点。在AC边上且BD_LAC,既坐，求c.

【规范解答及评分标准］(1)由cc^A+cos?。一cos^Bul+sinAsinC得1—sin?A+1—sin?C

—(1—sin2B)=1+sinAsinC.

即sin2A+sin2C-sin2B=-sinAsinC.(3分)

由正弦定理得a1+c1—b1=-ac,

22-2

,人r、、-口6F+CZ?1

由余弦定理仔cosB=---荻---=一亍

因为8£(0,兀)，所以因=笔(6分)

(2)由(1)及a=3知，b2=cr-\-c2-\~ac=zc2-\-3c~\~9.

因为BD±AC,

所以△ABC的面积S=］acsin/ABC=a-BD（9分）

所以^X3XcX坐=4X〃X耳/，解得b=*

所以停）2=f2+3c+9,解得c=5（负值已舍去）.（12分）

2.（12分）如图，四棱锥P—A8CD中，△B4D为等边三角形，ABHCD,AB^ICD,Z

540=90°,PAA.CD,E为棱PB的中点.

⑴求证：平面以平面CDE；

（2）若直线PC与平面PAD所成角为45°,求二面角A—DE—C的余弦值.

［规范解答及评分标准］（1）证明：如图，取AP的中点为凡连接E凡DF.

；E为尸8的中点，EF年号4B.

又；CD*AB,：.CDEF.

二四边形CDFE为平行四边形.DF〃CE.

•.•△以。为等边三角形，J.PAVDF,从而用_LCE.（3分）

又如_LCD,CDC\CE=C,，以1.平面COE

又出U平面B48,二平面巩B_L平面C£>£（6分）

⑵；AB〃C£>,PALCD,S.PAA.AB.

p

"：ZBAD=90°,：.AB±AD.

又•..fi4CAQ=A,：.A8_L平面3D

；.C£）J_平面mD,为PC与平面以。所成的角，即NCPO=45。，，CO=PD

：△物£）为等边三角形，：.PD=AD,：.CD=AD.

以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

设4£>=4,则A（0,0,0）,8（8,0,0）,P（0,2,2小），0（0,4,0）,E（4,l,小），

.•.矗=（4,1,小），布=（0,4,0）.（8分）

设平面AOE的法向量为"=（x,y,z）,

n-AE-0,（4x+y+小z=0,

L-Ab=0,14y=0.

令Z=-4,则］=小，y=0.「・〃=（小，0,—4）.（9分）

由（1）知，平面COE的一个法向量为赢=（0,2,25），（10分）

.,.cos（AP,n）=电泣=―嚼■人11分）

\AP\M

由图可知二面角A—Z）£—C的平面角为钝角，

二二面角A—£>E—C的余弦值为一需^.（12分）

3.（12分）某电商2018年计划与所在地区的樱桃果园合作进行樱桃的销售，为了了解该

地区果园的樱桃销售情况，现从中随机抽取60个樱桃果园，统计各果园2017年的销售量（单

位：万斤），得到下面的频率分布直方图.

(1)从样本中销售量不低于9万斤的果园中随机选取3个，求销售量不低于10万斤的果

园的个数X的分布列及其数学期望；

(2)该电商经过6天的试运营，得到销售量(单位：万斤)的情况统计表如下:

运营第〃天123456

第〃天电商的销售量为1.211.311.451.712.022.54

根据相关性分析，前“天累计总销量。与"之间具有较强的线性相关关系，由最小二

AA

乘法得回归直线方程为7=1.78〃+“，用样本估计总体的思想，预测该电商至少运营多少天

可使总销量不低于该地区各果园2017年的平均销量的2倍.

注：1.前八天累计总销售量7；=七以

2.在频率分布直方图中，同一组数据用该区间的中点值作为代表.

3.1斤=0.5千克.

I规范解答及评分标准I(1)由频率分布直方图可得样本中2017年销售量不低于9万斤

的果园有(0.10+0.05)X60=9(个)，销售量不低于10万斤的果园有0.05X60=3(个).(2分)

随机变量X的可能取值为0,1,2,3.

C

n6XC115

-U)一氐一2|>/(A-1)一Q?一28，

以xc：3以1

P(X=2)=bFP(X=3)=木荷

.•.随机变量X的分布列为

X0123

51531

P

21281484

（4分）

.•.E（_X）=0Xq+lX^+2x[+3X古=1.（6分）

（2）由运营期间销售量的情况统计表可得前〃天累计总销售量7；（单位：万斤）如下表:

运营第〃天123456

前〃天累计总

1.212.523.975.687.7010.24

销售量Tn

.—1+2+3+4+5+6

••n-7=3.5,

-1.21+2.52+3.97+5.68+7.70+10.24▼一八

T=--------------------------------------------------=5.22（万斤）（8分）

AAAA

将样本的中心点（3.5,5.22）代入回归直线方程T=1.78〃+。，得。=-1.01,二T=1.78"-

1.01.（9分）

用频率分布直方图中各区间的中点值作为代表，估计该地区2017年的平均销量为

4.5X0.05+5.5X0.15+6.5X0.20+7.5X0.30+8.5X0.15+9.5X0.10+10.5X0.05=7.35（万

斤）.

由题意，得1.78〃-1.01214.7,解得"与8.83（11分）

•••"WN*,...该电商至少运营9天可使总销量不低于该地区各果园2017年的平均销量的

2倍.（12分）

选考题：共10分.请考生在第4、5题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一

题计分.

4.［选修4一4：坐标系与参数方程］（10分）

（x=-1+rcosa,

己知直线/的参数方程为,Q为参数）.以。为极点，x轴的非负半轴

［y=1+fsmct

为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为夕=外。$。+2.

（1）写出直线/经过的定点的直角坐标，并求出曲线C的普通方程；

（2）若a=；,求直线/的极坐标方程，以及直线/与曲线C的交点的极坐标.

［规范解答及评分标准J⑴直线/经过定点（-1,1）.

由0=pcosO+2得p2=（pcose+2）2,

所以曲线C的普通方程为f+y2=a+2）2,

化简，得y2=4x+4.（4分）

所以直线/的普通方程为y=x+2,

所以直线/的极坐标方程为psin0=pcosJ+2.（6分）

，=〃cos9+2,

jsin8=〃cose+2,

因为〃#0,所以sin0=l.取夕=。得"=2.

所以直线/与曲线C的交点的极坐标为（2,?.（10分）

5.［选修4-5：不等式选讲］（10分）

已知函数yu）=lx—1|+仅一2|,记«x）的最小值为k.

（1）解不等式於）Wx+l；

（2）是否存在正数a,b同时满足2〃+A=h：+尹4?说明理由.

［规范解答及评分标准］（1）不等式段）<+1等价于|x—l|+|x—2|一L1W0.

2—3x,x<\,

—x,KW2,

%—4,x>2.

21

令yWO,解得

二原不等式的解集是［r］|wxW4卜4分）

（2）/（x）=k-l|+k-2|>k-l-x+2|=l,当且仅当（X-1）（X-2）WO,即1WXW2时取等

号，所以人工）的最小值为1,故&=i.（6分）

假设存在符合条件的正数a,b,则2a+b=l,

・日+/（评）（2。+力=4+£+半》4+2毡庠=8,当且仅当台当时取等号，XV

2a+h=1,・•・〃=",b=；.（8分）

1712

・。+的最小值为8,艮吟+众4.

1?

.二不存在正数db,使得2a+b=l,工+石=4同时成立.（10分）

“3+2选1”规范练（四）

（时间：45分钟满分：46分）

1.（12分）在△A8C中，内角A,B,。所对的边分别为a,b,c,且bcosA—〃cos8=2c.

（1）证明：tan5=_3tanA；

（2）若/+°2=〃2+小儿，且△ABC的面积为小，求。的值.

［规范解答及评分标准］（1）证明：根据正弦定理，

得sinBcosA-cosBsinA=2sinC=2sin(A+B),

/.sinBcosA—cosBsinA=2(sin8cosA+cosBsin>4),

整理，得sinBcosA=-3cosBsinA,/.tanB=-3tanA.(6分)

222

(2)由题意，得b+c—a=y［3hc9

.♦+♦一/小be小

..cosA=-赤—=2hc=2-

•0<71<兀，・・A=w，・・tariA=3，・・tanB=(^3.

2nn

••'OvBv兀,・・・B=~7，・・C=N，.\a=c.

3o

由S=3ncsin,=3X乎“2=小，得。=2(负值已舍去).(12分)

2.(12分)某高校通过自主招生方式在贵阳招收一名优秀的高三毕业生，经过层层筛选，

甲、乙两名学生进入最后测试.该校设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从6个问题

中随机抽3个问题.已知这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正

确回答每个问题的概率均为京甲、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响

的.

(1)求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率;

(2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大？

［规范解答及评分标准］(1)由题意可得，甲、乙两名学生共答对2个问题的概率为

(2)设学生甲答对的题数为X,则X的所有可能取值为1,2,3.

3

“XT)一三:一5,RX—2)—可5,

P(X=3)=等

131

二E(X)=1X§+2X针3义『2.

/.D(X)=(1-2)2X1+(2-2)2X1+(3-2)2X|=|.(8分)

设学生乙答对的题数为匕则y的所有可能取值为0』,2,3.

由题意，知丫〜B(3,D，

22I2

...E(y)=3Xg=2,£>(y)=3X§X§=].

：.E(X)=E(Y),D(X)<D(Y).(11分)

二甲被录取的可能性更大.(12分)

3.(12分)如图，ABCQ是边长为3的正方形，QE_L平面A8CC,AF//DE,且。E=6,

AF=2.

(1)试在线段BD上确定一点M的位置，使得AM〃平面BEF；

(2)求二面角A—BE—C的余弦值.

［规范解答及评分标准］

(1)如图，取BE的三等分点K(靠近点B),过点K作KM//ED,交8。于点M,连接KF,

AM,则有KM=*E=2.

"AF//DE,AF=2.：.FA//KM,且FA=KM.

二四边形E4MK为平行四边形，

：.AM//FK.(3分)

:.FKU平面BEF,AMQ平面BEF,

〃平面BEF人4分)

...4条=蜉5=：,二胡为8。的一■个三等分点(靠近点B).(6分)

DLyL-JL/J

(2)以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(3,0,0),8(330),E(0,0,6),

C(0,3,0),.,.西=(3,3,-6),油=(0,3,0),病=(-3,0,0).(7分)

设平面AE8的法向量为〃=（为，力，Z］）,

nEB=O,[3XI+3}JI—6Z]=0,

则J即彳

,n-AB=0,13yi=0.

令为=1,则力=0,xi=2.

二平面AEB的一个法向量为"=(2,0,1).(8分)

设平面8CE的法向量为》1=(X2,丫2，Z2),

n-EB=0,[3^2+3^2-6Z2=0,

则.即

1-3X2=0.

.n-BC=0,

令Z2=l,则乃=0，¥2=2.

・・・平面3CE的一个法向量为m=（0,2,l）.（9分）

〃m2X0+0X2+1X11

/.cos〈〃，m)

一|M〃|—^P+l-V?+T-5-(11

:二面角A—BE—C为钝二面角,

二二面角A—BE—C的余弦值为一点（12分）

选考题：共10分.请考生在第4、5题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一

题计分.

4.［选修4一4：坐标系与参数方程］（10分）

fx=2cos0,

己知曲线C的参数方程为《厂（。为参数）.以平面直角坐标系xOy的原点O为

（_y=y］2sin0

极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，设直线/的极坐标方程为

p（cos（）—y［2sin0）=6.

（1）求曲线C的普通方程和直线I的直角坐标方程；

(2)设尸为曲线C上任意一点，求点P到直线/的距离的最值.

x=2cos。，r

r得COS&C，sin6=

{y=\2sin0,乙

22

由cos20+sin%=1,得'+'=1.

fy2

故曲线C的普通方程为亍+5=1.（3分）

由p(cose—4^sinJ)=6及x=pcos3,y=psind得x—gy—6=0.

故直线/的直角坐标方程为x—也)，-6=0.(5分)

(2)由于尸为曲线C上任意一点，可设P(2cos仇&sin。).

由点到直线的距离公式，得点P到直线/的距离为

12cos0—&X娘sin。一6|21cosJ—sin。一3|

d=y[3=忑=

:・…2（3+也）6V3-2A/6673+2^6

:小’即34dW3

故点P到直线I的距离的最大值为述抖最小值为6于;2#([0分)

5.[选修4一5：不等式选讲](10分)

设函数«x)=|x—a|+|2x—a|(aeR)；

(1)当a=2时，求不等式_/(x)>2的解集.

(2)若不等式恒成立，求实数〃的取值范围.

3x—4,xN2,

［规范解答及评分标准］⑴当。=2时，,/（x）=|x-2|+|2x-2|=<x,la<2,（2分）

.4—3%,xWl.

当x22时，由/(x)=3x-4>2,得x>2；

当1令<2时，fl.x)=x>2,此时无解；

2

当xWl时，由式x)=-3x+4>2,得xq.

・•・不等式/U)>2的解集为卜卜<|或x>2卜5分)

(2)J(x)=\x-a\+x-+卜一32(%_〃)_(l划+卜/=亨+卜一?卜当且仅当

(x-a)(x—时，等号成立.(7分)

VT»0,・••於)2券，当且仅当尸制等号成立.(9分)

.二号>2,解得。<—4或〃>4.

故实数。的取值范围是(一8,—4)U(4,+8).(］0分)

“3+2选1”规范练(五)

(时间：45分钟满分：46分)

1.(12分)若数列｛斯｝的前w项和为S,”首项0>0且2S“=成+a“(〃eN*).

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)若%>0(〃GN*),令由=,1上6，求数列｛乩｝的前〃项和几

［规范解答及评分标准］(l)：*0,2S尸分+斯，・,•当九=1时,2sl=裙+〃”则。1=1.

当"12时,cinSfjSfj—［22，

即(〃〃+。〃-1)(〃”-%-1-1)一°，,,%——1或a”-即-i+1,

.•.a〃=(—1)1或an=n.(6分)

(2)'.'a„>0,：.a„-n,b”=”(〃+2)=赤-〃+2)

•••7.=a4)+(9力+…+G-圭］

=gl+A*-表)=1-2(3常+2严分)

2.(12分)如图，四边形ABC。与BOEF均为菱形，放=尸(7,且/D4B=/OBF=60。.

(1)求证：BDEF-,

(2)求直线AD与平面ABF所成角的正弦值.

［规范解答及评分标准］(1)证明：设AC与BQ相交于点O,连接FQ

•.,四边形4BCD为菱形，J.ACA.BD,且O为4c的中点.

'：FA=FC,J.ACLFO.

又FOCBD=O,.,.ACl.平面BDEF.(5分)

(2)

如图，设AC与8。相交于点。，连接F。，DF.

:四边形BOEF为菱形，且/。8尸=60。，

△Q