高中数学选修2-2导学案

.z.--.--.考试资料.§1.1.1函数的平均变化率导学案【学习要求】1．理解并掌握平均变化率的概念．2．会求函数在指定区间上的平均变化率．3．能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．【学法指导】从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率，也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义.【知识要点】1．函数的平均变化率：函数y＝f(*)，*0，*1是其定义域内不同的两点，记Δ*＝，Δy＝y1－y0＝f(*1)－f(*0)＝，则当Δ*≠0时，商＝____叫做函数y＝f(*)在*0到*0＋Δ*之间的．2．函数y＝f(*)的平均变化率的几何意义：eq\f(Δy,Δ*)＝__________表示函数y＝f(*)图象上过两点(*1，f(*1))，(*2，f(*2))的割线的.【问题探究】在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究这个问题．探究点一函数的平均变化率问题1如何用数学反映曲线的"陡峭〞程度？问题2什么是平均变化率，平均变化率有何作用？例1*婴儿从出生到第12个月的体重变化如下列图，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．问题3平均变化率有什么几何意义？跟踪训练1如图是函数y＝f(*)的图象，则：〔1〕函数f(*)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；〔2〕函数f(*)在区间[0,2]上的平均变化率为________．探究点二求函数的平均变化率例2函数f(*)＝*2，分别计算f(*)在以下区间上的平均变化率：〔1〕[1,3]；〔2〕[1,2]；〔3〕[1,1.1]；〔4〕[1,1.001]．跟踪训练2分别求函数f(*)＝1－3*在自变量*从0变到1和从m变到n(m≠n)时的平均变化率．问题一次函数y＝k*＋b(k≠0)在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点？探究点三平均变化率的应用例3甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？跟踪训练3甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？【当堂检测】1．函数f(*)＝5－3*2在区间[1,2]上的平均变化率为__________2．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为________3．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如下列图，治污效果较好的是________．【课堂小结】1．函数的平均变化率可以表示函数值在*个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢．2．求函数f(*)的平均变化率的步骤：〔1〕求函数值的增量Δy＝f(*2)－f(*1)；〔2〕计算平均变化率eq\f(Δy,Δ*)＝.【拓展提高】1．设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为〔〕A．B．C．D．2．质点运动动规律，则在时间中，相应的平均速度为〔〕A．B．C．D．【教学反思】§瞬时速度与导数导学案【学习要求】1．掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的准确定义．2．会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在*一时刻的瞬时速度及瞬时变化率．3．理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法．4．理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数．【学法指导】导数是研究函数的有力工具，要认真理解平均变化率和瞬时变化率的关系，体会无限逼近的思想；可以从物理意义，几何意义多角度理解导数.【知识要点】1．瞬时速度：我们把物体在*一时刻的速度称为．设物体运动路程与时间的关系是s＝s(t)，物体在t0时刻的瞬时速度v就是运动物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均变化率，当Δt→0时的极限，即v＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝__________________2．瞬时变化率：一般地，函数y＝f(*)在*0处的瞬时变化率是eq\o(lim,\s\do8(Δ*→0))eq\f(Δy,Δ*)＝_________________.3．导数的概念：一般地，函数y＝f(*)在*0处的瞬时变化率是_________________，我们称它为函数y＝f(*)在*＝*0处的，记为，即f′(*0)＝eq\o(lim,\s\do8(Δ*→0))eq\f(Δy,Δ*)＝________________4．导函数：如果f(*)在开区间(a，b)内每一点*都是可导的，则称f(*)在区间(a，b)．这样，对开区间(a，b)内每个值*，都对应一个确定的导数，于是在区间(a，b)，构成一个新的函数，把这个函数称为函数y＝f(*)的．记为或y′(或y)．导函数通常简称为【问题探究】探究点一瞬时速度问题1在高台跳水运动中，运发动相对于水面的高度h(单位：)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.如何用运发动在*些时间段内的平均速度eq\*\to(v)粗略地描述其运动状态？问题2物体的平均速度能否准确反映它的运动状态？问题3如何描述物体在*一时刻的运动状态？例1火箭竖直向上发射．熄火时向上速度到达100.试问熄火后多长时间火箭向上速度为0"问题4火箭向上速度变为0，意味着什么？你能求出此火箭熄火后上升的最大高度吗？跟踪训练1质点M按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：，时间单位：)．假设质点M在t＝2时的瞬时速度为8，求常数a的值．探究点二导数问题1从平均速度当Δt→0时极限是瞬时速度，推广到一般的函数方面，我们可以得到什么结论？问题2导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？问题3导函数和函数在一点处的导数有什么关系？例2利用导数的定义求函数f(*)＝－*2＋3*在*＝2处的导数．跟踪训练2y＝f(*)＝eq\r(*＋2)，求f′(2)．探究点三导数的实际应用例3一正方形铁板在0℃时，边长为10，加热后铁板会膨胀．当温度为时，边长变为10(1＋at)，a为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率．跟踪训练3将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进展冷却和加热．如果在第*时，原油的温度(单位：)为y＝f(*)＝*2－7*＋15(0≤*≤8)．计算第2和第6时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．【当堂检测】1．函数y＝f(*)在*＝*0处的导数定义中，自变量*在*0处的增量Δ*()A．大于0B．小于0C．等于0D．不等于02．一物体的运动方程是s＝eq\f(1,2)at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是()A．at0B．－at0C．eq\f(1,2)at0D．2at03．f(*)＝－*2＋10，则f(*)在*＝eq\f(3,2)处的瞬时变化率是()A．3B．－3C．2D．－24．函数f(*)＝eq\f(1,\r(*))，则＝________【课堂小结】1．瞬时速度是平均速度当Δt→0时的极限值；瞬时变化率是平均变化率当Δ*→0时的极限值．2．利用导数定义求导数的步骤：〔1〕求函数的增量Δy＝f(*0＋Δ*)－f(*0)；〔2〕求平均变化率eq\f(Δy,Δ*)；〔2〕取极限得导数f′(*0)＝eq\o(lim,\s\do8(Δ*→0))eq\f(Δy,Δ*).【拓展提高】1．〔〕A．－１ B．－2C．－3D．12．一质点做直线运动,由始点起经过后的距离为,则速度为零的时刻是〔〕A．4末B．8末C．0与8末D．0,4,8末【教学反思】§1.1.3导数的几何意义导学案【学习要求】1．了解导函数的概念，理解导数的几何意义．2．会求导函数．3．根据导数的几何意义，会求曲线上*点处的切线方程．【学法指导】前面通过导数的定义已体会到其中蕴涵的逼近思想，本节再利用数形结合思想进一步直观感受这种思想，并进一步体会另一种重要思想——以直代曲.【知识要点】1．导数的几何意义〔1〕割线斜率与切线斜率设函数y＝f(*)的图象如下列图，AB是过点A(*0，f(*0))与点B(*0＋Δ*，f(*0＋Δ*))的一条割线，此割线的斜率是eq\f(Δy,Δ*)＝__________________.当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的．于是，当Δ*→0时，割线AB的斜率无限趋向于在点A的切线AD的斜率k，即k＝＝___________________.〔2〕导数的几何意义函数y＝f(*)在点*0处的导数的几何意义是曲线y＝f(*)在点P(*0，f(*0))处的切线的．也就是说，曲线y＝f(*)在点P(*0，f(*0))处的切线的斜率是．相应地，切线方程为_______________________．2．函数的导数当*＝*0时，f′(*0)是一个确定的数，则当*变化时，是*的一个函数，称是f(*)的导函数(简称导数)．也记作y′，即＝y′＝_______________【问题探究】探究点一导数的几何意义问题1如图，当点Pn(*n，f(*n))(n＝1,2,3,4)沿着曲线f(*)趋近于点P(*0，f(*0))时，割线PPn的变化趋势是什么？问题2曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？例1如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况．跟踪训练1〔1〕根据例1的图象，描述函数h(t)在t3和t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况．〔2〕假设函数y＝f(*)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(*)在区间[a，b]上的图象可能是()探究点二求切线的方程问题1怎样求曲线f(*)在点(*0，f(*0))处的切线方程？问题2曲线f(*)在点(*0，f(*0))处的切线与曲线过*点(*0，y0)的切线有何不同？例2曲线y＝*2，求：〔1〕曲线在点P(1,1)处的切线方程；〔2〕曲线过点P(3,5)的切线方程．跟踪训练2曲线y＝2*2－7，求：〔1〕曲线上哪一点的切线平行于直线4*－y－2＝0"〔2〕曲线过点P(3,9)的切线方程．【当堂检测】1．曲线f(*)＝2*2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为()A．4B．16C．8D．22．假设曲线y＝*2＋a*＋b在点(0，b)处的切线方程是*－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－13．曲线y＝2*2＋4*在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为_______【课堂小结】1．导数f′(*0)的几何意义是曲线y＝f(*)在点(*0，f(*0))处的切线的斜率，即k＝eq\o(lim,\s\do8(Δ*→0))eq\f(f*0＋Δ*－f*0,Δ*)＝f′(*0)，物理意义是运动物体在*一时刻的瞬时速度．2．"函数f(*)在点*0处的导数〞是一个数值，不是变数，"导函数〞是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(*0)是其导数y＝f′(*)在*＝*0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意点是否在曲线上．如果点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(*0)＝f′(*0)(*－*0)；假设点不在切线上，则设出切点(*0，f(*0))，表示出切线方程，然后求出切点.【拓展提高】1．函数的图象在点处的切线方程是，则2．设为曲线：上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为【教学反思】§1．2.1常数函数与幂函数的导数导学案§1．2.2导数公式表及数学软件的应用导学案【学习要求】1．能根据定义求函数y＝c，y＝*，y＝*2，y＝eq\f(1,*)的导数．2．能利用给出的根本初等函数的导数公式求简单函数的导数．【学法指导】1．利用导数的定义推导简单函数的导数公式，类推一般多项式函数的导数公式，体会由特殊到一般的思想．通过定义求导数的过程，培养归纳、探求规律的能力，提高学习兴趣．2．本节公式是下面几节课的根底，记准公式是学好本章内容的关键．记公式时，要注意观察公式之间的联系．【知识要点】1．几个常用函数的导数原函数导函数f(*)＝cf′(*)＝___f(*)＝*f′(*)＝___f(*)＝*2f′(*)＝___f(*)＝eq\f(1,*)f′(*)＝_____f(*)＝eq\r(*)f′(*)＝_______2．根本初等函数的导数公式原函数导函数y＝cy′＝____y＝*n(n∈N＋)y′＝______y＝*μ(*>0，μ≠0且μ∈Q)y′＝_______y＝sin*y′＝________y＝cos*y′＝________y＝a*(a>0，a≠1)y′＝________y＝e*y′＝_____y＝loga*(a>0，a≠1，*>0)y′＝______y＝ln*y′＝______【问题探究】探究点一求导函数问题1怎样利用定义求函数y＝f(*)的导数？问题2利用定义求以下常用函数的导数：y＝c；〔2〕y＝*；〔3〕y＝*2；〔4〕y＝eq\f(1,*)；〔5〕y＝eq\r(*).问题3利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？例1求以下函数的导数：〔1〕y＝sineq\f(π,3)；〔2〕y＝5*；〔3〕y＝eq\f(1,*3)；〔4〕y＝eq\r(4,*3)；〔5〕y＝log3*.跟踪训练1求以下函数的导数：〔1〕y＝*8；〔2〕y＝(eq\f(1,2))*；〔3〕y＝*eq\r(*)；〔4〕探究点二求*一点处的导数例2判断以下计算是否正确．求f(*)＝cos*在*＝eq\f(π,3)处的导数，过程如下：f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)))′＝－sineq\f(π,3)＝－eq\f(\r(3),2).跟踪训练2求函数f(*)＝eq\f(1,\r(3,*))在*＝1处的导数．探究点三导数公式的综合应用例3直线*－2y－4＝0与抛物线y2＝*相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧上求一点P，使△ABP的面积最大．跟踪训练3点P是曲线y＝e*上任意一点，求点P到直线y＝*的最小距离．【当堂检测】1．给出以下结论：①假设y＝eq\f(1,*3)，则y′＝－eq\f(3,*4)；②假设y＝eq\r(3,*)，则y′＝eq\f(1,3)eq\r(3,*)；③假设y＝eq\f(1,*2)，则y′＝－2*－3；④假设f(*)＝3*，则f′(1)＝3.其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．42．函数f(*)＝eq\r(*)，则f′(3)等于()A．eq\f(\r(3),6)B．0C．eq\f(1,2\r(*))D．eq\f(\r(3),2)3．设正弦曲线y＝sin*上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是()A．[0，eq\f(π,4)]∪[eq\f(3π,4)，π)B．[0，π)C．[eq\f(π,4)，eq\f(3π,4)]D．[0，eq\f(π,4)]∪[eq\f(π,2)，eq\f(3π,4)]4．曲线y＝e*在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________【课堂小结】1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的构造特征，积极地进展联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y＝1－2sin2eq\f(*,2)的导数．因为y＝1－2sin2eq\f(*,2)＝cos*，所以y′＝(cos*)′＝－sin*.3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.【拓展提高】1．假设函数f(*)＝e*cos*，则此函数的图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为()A．0°B．锐角C．直角D．钝角2．曲线y＝*3＋3*2＋6*－10的切线中，斜率最小的切线方程为___________【教学反思】§1.2.3导数的四则运算法则(一)导学案【学习要求】1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．【学法指导】应用导数的四则运算法则和已学过的常用函数的导数公式可迅速解决一类简单函数的求导问题．要透彻理解函数求导法则的构造内涵，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，到达稳固知识、提升能力的目的.【知识要点】导数的运算法则设两个可导函数分别为f(*)和g(*)两个函数的和的导数[f(*)＋g(*)]′＝________________两个函数的差的导数[f(*)－g(*)]′＝_________________两个函数的积的导数＝____________________两个函数的商的导数＝___________________【问题探究】探究点一导数的运算法则问题1我们已经会求f(*)＝5和g(*)＝1.05*等根本初等函数的导数，则怎样求f(*)与g(*)的和、差、积、商的导数呢？问题2应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？例1求以下函数的导数：〔1〕y＝3*－lg*；〔2〕y＝(*2＋1)(*－1)；〔3〕y＝eq\f(\r(*5)＋\r(*7)＋\r(*9),\r(*)).跟踪训练1求以下函数的导数：〔1〕f(*)＝*·tan*；〔2〕f(*)＝2－2sin2eq\f(*,2)；〔3〕f(*)＝eq\f(*－1,*＋1)；〔4〕f(*)＝eq\f(sin*,1＋sin*).探究点二导数的应用例2〔1〕曲线y＝*e*＋2*＋1在点(0,1)处的切线方程为_______________〔2〕在平面直角坐标系*Oy中，点P在曲线C：y＝*3－10*＋3上，且在第二象限内，曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为________〔3〕*运动着的物体的运动方程为s(t)＝eq\f(t－1,t2)＋2t2(位移单位：，时间单位：s)，求t＝3s时物体的瞬时速度．跟踪训练2〔1〕曲线y＝eq\f(sin*,sin*＋cos*)－eq\f(1,2)在点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))处的切线的斜率为()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(2),2)D．eq\f(\r(2),2)〔2〕设函数f(*)＝eq\f(1,3)*3－eq\f(a,2)*2＋b*＋c，其中a>0，曲线y＝f(*)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，确定b、c的值．【当堂检测】1．设y＝－2e*sin*，则y′等于()A．－2e*cos*B．－2e*sin*C．2e*sin*D．－2e*(sin*＋cos*)2．曲线f(*)＝eq\f(*,*＋2)在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2*＋1B．y＝2*－1C．y＝－2*－3D．y＝－2*＋23．f(*)＝a*3＋3*2＋2，假设f′(－1)＝4，则a的值是()A．eq\f(19,3)B．eq\f(16,3)C．eq\f(13,3)D．eq\f(10,3)4．f(*)＝eq\f(1,3)*3＋3*f′(0)，则f′(1)＝_______5．抛物线y＝a*2＋b*＋c过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝*－3相切，求a、b、c的值．【课堂小结】求函数的导数要准确把函数分割为根本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的构造特征，根据导数运算法则，联系根本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则构造形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的构造形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.【教学反思】§1.2.3导数的四则运算法则(二)导学案【学习要求】1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进展一些复合函数的求导(仅限于形如f(a*＋b)的导数)．【学法指导】复合函数的求导将复杂的问题简单化，表达了转化思想；学习中要通过中间变量的引入理解函数的复合过程．【知识要点】复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(*)，如果通过变量u，y可以表示成，则称这个函数为y＝f(u)和u＝g(*)的复合函数，记作.复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(*))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(*)的导数间的关系为y*′＝.即y对*的导数等于___________________________________.【问题探究】探究点一复合函数的定义问题1观察函数y＝2*cos*及y＝ln(*＋2)的构造特点，说明它们分别是由哪些根本函数组成的？问题2对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？问题3在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？例1指出以下函数是怎样复合而成的：〔1〕y＝(3＋5*)2；〔2〕y＝log3(*2－2*＋5)；〔3〕y＝cos3*.跟踪训练1指出以下函数由哪些函数复合而成：〔1〕y＝lneq\r(*)；〔2〕y＝esin*；〔3〕y＝cos(eq\r(3)*＋1)．探究点二复合函数的导数问题如何求复合函数的导数？例2求以下函数的导数：〔1〕y＝(2*－1)4；〔2〕y＝eq\f(1,\r(1－2*))；〔3〕y＝sin(－2*＋eq\f(π,3))；〔4〕y＝102*＋3.跟踪训练2求以下函数的导数．〔1〕y＝lneq\f(1,*)；〔2〕y＝e3*；〔3〕y＝5log2(2*＋1)．探究点三导数的应用求曲线y＝e2*＋1在点(－eq\f(1,2)，1)处的切线方程．跟踪训练3曲线y＝e2*cos3*在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为eq\r(5)，求直线l的方程．【当堂检测】1．函数y＝(3*－2)2的导数为()A．2(3*－2)B．6*C．6*(3*－2)D．6(3*－2)2．假设函数y＝sin2*，则y′等于()A．sin2*B．2sin*C．sin*cos*D．cos2*3．假设y＝f(*2)，则y′等于()A．2*f′(*2)B．2*f′(*)C．4*2f(*)D．f′(*2)4．设曲线y＝ea*在点(0,1)处的切线与直线*＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.【课堂小结】1.求简单复合函数f(a*＋b)的导数2.求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y＝f(u)，u＝a*＋b的形式，然后再分别对y＝f(u)与u＝a*＋b分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y＝f(u)，u＝a*＋b的形式是关键.【拓展提高】AUTONUM\*Arabic．函数在区间内任取两个实数,且,不等式恒成立,则实数的取值范围为____________【教学反思】§1.3.1利用导数判断函数的单调性导学案【学习要求】1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．【学法指导】结合函数图象(几何直观)探讨归纳函数的单调性与导函数正负之间的关系，体会数形结合思想，以直代曲思想.【知识要点】一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(*)>0单调递___f′(*)<0单调递____f′(*)＝0常函数【问题探究】探究点一函数的单调性与导函数正负的关系问题1观察下面四个函数的图象，答复函数的单调性与其导函数的正负有何关系？问题2假设函数f(*)在区间(a，b)内单调递增，则f′(*)一定大于零吗？问题3〔1〕如果一个函数具有一样单调性的单调区间不止一个，则如何表示这些区间？试写出问题1中(4)的单调区间．〔2〕函数的单调区间与其定义域满足什么关系？例1导函数f′(*)的以下信息：当1<*<4时，f′(*)>0；当*>4或*<1时，f′(*)<0；当*＝4或*＝1时，f′(*)＝0.试画出函数f(*)图象的大致形状．跟踪训练1函数y＝f(*)的图象如下列图，试画出导函数f′(*)图象的大致形状．例2求以下函数的单调区间：〔1〕f(*)＝*3－4*2＋*－1；〔2〕f(*)＝2*(e*－1)－*2；〔3〕f(*)＝3*2－2ln*.跟踪训练2求以下函数的单调区间：〔1〕f(*)＝*2－ln*；〔2〕f(*)＝eq\f(e*,*－2)；〔3〕f(*)＝sin*(1＋cos*)(0≤*<2π)．探究点二函数的变化快慢与导数的关系问题我们知道导数的符号反映函数y＝f(*)的增减情况，怎样反映函数y＝f(*)增减的快慢呢？你能否从导数的角度解释变化的快慢呢？例3如图，设有圆C和定点O，当l从l0开场在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影局部的面积S是时间t的函数，它的图象大致是以下列图所示的四种情况中的哪一种？()跟踪训练3〔1〕如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积一样)注入下面四种底面积一样的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象．〔2〕f′(*)是f(*)的导函数，f′(*)的图象如下列图，则f(*)的图象只可能是()【当堂检测】1．函数f(*)＝*＋ln*在(0,6)上是()A．单调增函数B．单调减函数C．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))上是减函数，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，6))上是增函数D．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))上是增函数，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，6))上是减函数2．f′(*)是函数y＝f(*)的导函数，假设y＝f′(*)的图象如下列图，则函数y＝f(*)的图象可能是()3．函数f(*)＝ln*－a*(a>0)的单调增区间为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))C．(0，＋∞)D．(0，a)4．〔1〕函数y＝*2－4*＋a的增区间为_________，减区间为___________〔2〕函数y＝*3－*的增区间为_______________________，减区间为_____________【课堂小结】1．导数的符号反映了函数在*个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在*个区间或*点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f(*)的单调区间的一般步骤为〔1〕确定函数f(*)的定义域；〔2〕求导数f′(*)；〔3〕在函数f(*)的定义域内解不等式f′(*)>0和f′(*)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(*)的单调区间.【拓展提高】1．函数〔1〕假设函数的单调递减区间是，则的是.〔2〕假设函数在上是单调增函数，则的取值范围是2．函数f(*)的定义域为，且满足f(2)＝2，>1，则不等式f(*)－*>0的解集为_______3．函数f(*)＝e*－2*＋a有零点，则a的取值范围是_______4．设函数f(*)＝*－eq\f(1,*)－aln*.〔1〕假设曲线y＝f(*)在点(1，f(1))处的切线被圆*2＋y2＝1截得的弦长为eq\r(2)，求a的值；〔2〕假设函数f(*)在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围；【教学反思】§1.3.2利用导数研究函数的极值导学案【学习要求】1．了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2．掌握函数极值的判定及求法.3．掌握函数在*一点取得极值的条件．【学法指导】函数的极值反映的是函数在*点附近的性质，是局部性质．函数极值可以在函数图象上"眼见为实〞，通过研究极值初步体会函数的导数的作用.【知识要点】1．极值的概念函数y＝f(*)，设*0是定义域(a，b)内任一点，如果对*0附近的所有点*，都有，则称函数f(*)在点*0处取，记作y极大＝f(*0)，并把*0称为函数f(*)的一个．如果都有，则称函数f(*)在点*0处取，记作y极小＝f(*0)，并把*0称为函数f(*)的一个．极大值与极小值统称为．极大值点与极小值点统称为2．求可导函数f(*)的极值的方法〔1〕求导数f′(*)；〔2〕求方程的所有实数根；〔3〕对每个实数根进展检验，判断在每个根的左右侧，导函数f′(*)的符号如何变化．①如果f′(*)的符号由正变负，则f(*0)是极值．②如果f′(*)的符号由负变正，则f(*0)是极值．③如果在f′(*)＝0的根*＝*0的左右两侧符号不变，则f(*0)【问题探究】探究点一函数的极值与导数的关系问题1如图观察，函数y＝f(*)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(*)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(*)的导数的符号有什么规律？问题2函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？问题3假设*点处的导数值为零，则，此点一定是极值点吗？举例说明．例1求函数f(*)＝*3－3*2－9*＋5的极值．跟踪训练1求函数f(*)＝eq\f(3,*)＋3ln*的极值．探究点二利用函数极值确定参数的值问题函数的极值，如何确定函数解析式中的参数？例2f(*)＝*3＋3a*2＋b*＋a2在*＝－1时有极值0，求常数a，b的值．跟踪训练2设*＝1与*＝2是函数f(*)＝aln*＋b*2＋*的两个极值点．〔1〕试确定常数a和b的值；〔2〕判断*＝1，*＝2是函数f(*)的极大值点还是极小值点，并说明理由．探究点三函数极值的综合应用例3设函数f(*)＝*3－6*＋5，*.〔1〕求函数f(*)的单调区间和极值；〔2〕假设关于*的方程f(*)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．跟踪训练3假设函数f(*)＝2*3－6*＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．【当堂检测】1．"函数y＝f(*)在一点的导数值为0〞是"函数y＝f(*)在这点取得极值〞的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．以下函数存在极值的是()A．y＝eq\f(1,*)B．y＝*－e*C．y＝*3＋*2＋2*－3D．y＝*33．f(*)＝*3＋a*2＋(a＋6)*＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为()A．－1<a<2B．－3<a<6C．a<－1或a>2D．a<－3或a>64．设a∈，假设函数y＝e*＋a*，*∈有大于零的极值点，则a的取值范围为__________5．直线y＝a与函数y＝*3－3*的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是________【课堂小结】1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(*)在点*0处取得极值的充要条件是f′(*0)＝0且在*0两侧f′(*)符号相反．3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.【拓展提高】1．三次函数在和时取极值，且．〔1〕求函数的表达式；〔2〕求函数的单调区间和极值2．假设函数，当时，函数极值，〔1〕求函数的解析式；〔2〕假设函数有3个解，求实数的取值范围【教学反思】§1.3.3利用导数研究函数的最值导学案【学习要求】1．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．2．会用导数求*定义域上函数的最值．【学法指导】弄清极值与最值的区别是学好本节的关键．函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较.【知识要点】1．函数f(*)在闭区间[a，b]上的最值函数f(*)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不连续的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在处或处取得．2．求函数y＝f(*)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：〔1〕求f(*)在开区间(a，b)内所有使的点；〔2〕计算函数f(*)在区间内和______【问题探究】探究点一求函数的最值问题1如图，观察区间[a，b]上函数y＝f(*)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？问题2观察问题1的函数y＝f(*)，你能找出函数f(*)在区间[a，b]上的最大值、最小值吗？假设将区间改为(a，b)，f(*)在(a，b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？问题3函数的极值和最值有什么区别和联系？问题4怎样求一个函数在闭区间上的最值？例1求以下函数的最值：〔1〕f(*)＝2*3－12*，*[－1,3]；〔2〕f(*)＝eq\f(1,2)*＋sin*，*[0,2π]跟踪训练1求以下函数的最值：〔1〕f(*)＝*3＋2*2－4*＋5，*[－3,1]；〔2〕f(*)＝e*(3－*2)，*[2,5]．探究点二含参数的函数的最值问题例2a是实数，函数f(*)＝*2(*－a)．〔1〕假设f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(*)在点(1，f(1))处的切线方程．〔2〕求f(*)在区间[0,2]上的最大值．跟踪训练2函数f(*)＝a*3－6a*2＋b，*∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．探究点三函数最值的应用问题函数最值和"恒成立〞问题有什么联系？函数f(*)＝(*＋1)ln*－*＋1.假设*f′(*)≤*2＋a*＋1恒成立，求a的取值范围．跟踪训练3设函数f(*)＝2*3－9*2＋12*＋8c，假设对任意的*∈[0,3]，都有f(*)<c2成立，求c的取值范围．【当堂检测】1．函数y＝f(*)在[a，b]上()A．极大值一定比极小值大B．极大值一定是最大值C．最大值一定是极大值D．最大值一定大于极小值2．函数f(*)＝*3－3*(|*|<1)()A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值3．函数y＝*－sin*，*∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))的最大值是()A．π－1B．eq\f(π,2)－1C．πD．π＋14．函数f(*)＝*3－3*2－9*＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为_______【课堂小结】1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．2．含参数的函数最值，可分类讨论求解．3．"恒成立〞问题可转化为函数最值问题.【拓展提高】1．a≤eq\f(1－*,*)＋ln*对任意*∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))恒成立，则a的最大值为()A．0B．1C．2D．32．函数,过曲线上的点的切线方程为〔1〕假设函数在处有极值，求的表达式；〔2〕在〔1〕的条件下，求函数在上的最大值；〔3〕假设函数在区间上单调递增，求实数的取值范围【教学反思】§1.3.4导数的实际应用导学案【学习要求】1．了解导数在解决实际问题中的作用．2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．【学法指导】1．在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想．2．感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力．【知识要点】1．在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的_____或．这些都是最优化问题．2．求实际问题的最大(小)值，导数是解决方法之一．要建立实际问题的．写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(*)，然后再利用导数研究函数的【问题探究】题型一面积、体积的最值问题例1如下列图，现有一块边长为a的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个一样的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？跟踪训练1矩形的两个顶点位于*轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－*2在*轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长．题型二强度最大、用料最省问题例2横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？跟踪训练2挖一条隧道，截面拟建成矩形上方加半圆，如果截面积为20m2，当宽为多少时，使截面周长最小，用料最省？题型三省时高效、费用最低问题例3如下列图，一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B的距离是150km.在岸边距点B300km的点A处有一军需品仓库．有一批军需品要尽快送达海岛．A与B之间有一铁路，现用海陆联运方式运送．火车时速为50km，船时速为30km，试在岸边选一点C，先将军需品用火车送到点C，再用轮船从点C运到海岛，问点C选在何处可使运输时间最短？跟踪训练3如下列图，设铁路AB＝50，BC＝10，现将货物从A运往C，单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB上何处修筑公路至C，可使运费由A至C最省？跟踪训练4*商场销售*种商品的经历说明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格*(单位：元/千克)满足关系式y＝eq\f(a,*－3)＋10(*－6)2，其中3<*<6，a为常数．销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．〔1〕求a的值；〔2〕假设该商品的本钱为3元/千克，试确定销售价格*的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【当堂检测】1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为()A．4B．6C．4.5D．82．*银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为*，*∈(0,0.0486)，假设使银行获得最大收益，则*的取值为多少？3．统计说明：*种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度*(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝eq\f(1,128000)*3－eq\f(3,80)*＋8(0<*≤120)．甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【课堂小结】1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤〔1〕找关系：分析实际问题中各量之间的关系；〔2〕列模型：列出实际问题的数学模型；〔3〕写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(*)；〔4〕求导：求函数的导数f′(*)，解方程f′(*)＝0；〔5〕比较：比较函数在区间端点和使f′(*)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；〔6〕结论：根据比较值写出答案．2．在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．例如，长度、宽度应大于零，销售价格应为正数，等等.习题课导学案【学习要求】1．理解用导数研究函数的逼近思想和以直代曲思想.2．会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值(多项式次数不超过三次)．【双基自测】1．函数f(*)＝2*－cos*在(－∞，＋∞)上()A．单调递增B．单调递减C．有最大值D．有最小值2．假设在区间(a，b)，f′(*)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有()A．f(*)>0B．f(*)<0C．f(*)＝0D．不能确定3．设函数g(*)＝*(*2－1)，则g(*)在区间[0,1]上的最小值为()A．－1B．0C．－eq\f(2\r(3),9)D．eq\f(\r(3),3)4．设函数f(*)在定义域内可导，y＝f(*)的图象如下列图，则导函数y＝f′(*)的图象可能为()5．假设f(*)在(a，b)内存在导数，则"f′(*)<0〞是"f(*)在(a，b)内单调递减〞的________________条件．【问题探究】题型一函数与其导函数之间的关系例1函数y＝*f′(*)的图象如下列图(其中f′(*)是函数f(*)的导函数)，则y＝f(*)的图象大致是()跟踪训练1上可导函数y＝f(*)的图象如下列图，则不等式(*2－2*－3)f′(*)>0的解集为()A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B．(－∞，－2)∪(1,2)C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)题型二利用导数研究函数的单调性、极值、最值例2设函数f(*)定义在(0，＋∞)上，f(1)＝0，导函数f′(*)＝eq\f(1,*)，g(*)＝f(*)＋f′(*)．〔1〕求g(*)的单调区间和最小值．〔2〕讨论g(*)与g(eq\f(1,*))的大小关系．跟踪训练2设a为实数，函数f(*)＝e*－2*＋2a，*.〔1〕求f(*)的单调区间与极值；〔2〕求证：当a>ln2－1且*>0时，e*>*2－2a*＋1.题型三导数的综合应用例3函数f(*)＝*3－a*－1.〔1〕假设f(*)在实数集上单调递增，求a的取值范围；〔2〕是否存在实数a，使f(*)在(－1,1)上单调递减，假设存在，求出a的取值范围，假设不存在，请说明理由．跟踪训练3〔1〕假设函数f(*)＝4*3－a*＋3的单调递减区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，则实数a的值是多少？〔2〕假设函数f(*)＝4*3－a*＋3在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上是单调函数，则实数a的取值范围为多少？【当堂检测】1．函数f(*)＝*2－2ln*的单调递减区间是()A．(0,1]B．[1，＋∞)C．(－∞，－1]，(0,1)D．[－1,0)，(0,1]2．假设函数y＝*3＋*2＋m*＋1是上的单调函数，则实数m的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))3．设f′(*)是函数f(*)的导函数，将y＝f(*)和y＝f′(*)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的选项是()4．设f(*)、g(*)是定义在上的恒大于0的可导函数，且f′(*)g(*)－f(*)g′(*)<0，则当a<*<b时有()A．f(*)g(*)>f(b)g(b)B．f(*)g(a)>f(a)g(*)C．f(*)g(b)>f(b)g(*)D．f(*)g(*)>f(a)g(a)5．函数f(*)＝*3－eq\f(1,2)*2－2*＋5，假设对于任意*∈[－1,2]，都有f(*)<m，则实数m的取值范围是__________【课堂小结】导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.【拓展提高】1．等差数列中的是函数的极值点，则〔〕A．B．C．D．2．函数在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是_____3．函数〔〕，假设函数在区间上是单调减函数，则的最小值是4．函数〔1〕求函数的单调区间；〔2〕如果关于*的方程有实数根，求实数的取值集合；〔3〕是否存在正数，使得关于*的方程有两个不相等的实数根？如果存在，求满足的条件；如果不存在，说明理由.【教学反思】§1.5.1曲边梯形面积与定积分(一)导学案【学习要求】1．了解"以直代曲〞、"以不变代变〞的思想方法．2．会求曲边梯形的面积及变力所做的功．【学法指导】曲边梯形的面积表达了"以直代曲〞的思想，将曲边梯形的面积转化为求"直边图形〞的面积.【知识要点】1．曲边梯形：曲线与和所围成的图形，通常叫做曲边梯形．2．曲边三角形或曲边梯形的面积：S＝____________抑制弹簧的拉力的变力所做的功：W＝____________.【问题探究】探究点一求曲边梯形的面积问题1如何计算以下两图形的面积？问题2如图，如何求由抛物线y＝*2与直线*＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S"思考1图中的图形与我们熟悉的"直边图形〞有什么区别？思考2能否将求曲边梯形面积的问题转化为求"直边图形〞的面积问题？(归纳主要步骤)思考3在"近似代替〞中，如果认为函数f(*)＝*2在区间[eq\f(i－1,n)，eq\f(i,n)](i＝1,2，…，n)上的值近似地等于右端点eq\f(i,n)处的函数值f(eq\f(i,n))，用这种方法能求出S的值吗？假设能求出，这个值也是eq\f(1,3)吗？取任意ξi∈[eq\f(i－1,n)，eq\f(i,n)]处的函数值f(ξi)作为近似值，情况又怎样？求由直线*＝0，*＝1，y＝0和曲线y＝eq\f(1,2)*2所围成的图形的面积．跟踪训练1求由抛物线y＝*2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积．探究点二求变力做功问题求变速运动的路程问题解法和曲边梯形的面积有什么联系？例2如图，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置em处，求抑制弹力所做的功．跟踪训练2有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)＝3t2＋2(单位：km/h)，则该汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程S(单位：km)是多少？【当堂检测】1．把区间[1,3]n等分，所得n个小区间的长度均为()A．eq\f(1,n)B．eq\f(2,n)C．eq\f(3,n)D．eq\f(1,2n)2．函数f(*)＝*2在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)，\f(i,n)))上()A．f(*)的值变化很小B．f(*)的值变化很大C．f(*)的值不变化D．当n很大时，f(*)的值变化很小3．求由曲线y＝eq\f(1,2)*2与直线*＝1，*＝2，y＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．4．弹簧在拉伸过程中力F(*)＝5*(*为伸长量)，则弹簧从平衡位置拉长2所做的功为________【课堂小结】求曲边梯形面积和变力做功的步骤〔1〕分割：n等分区间[a，b]；〔2〕近似代替：取点ξi∈[*i－1，*i]；〔3〕求和：eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)·eq\f(b－a,n)；〔4〕取极限：S＝eq\o(lim,\s\do8(n→＋∞))eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)·eq\f(b－a,n)."近似代替〞也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点).【教学反思】§1.5.2定积分的概念导学案【学习要求】1．了解定积分的概念，会用定义求定积分.2．理解定积分的几何意义.3．掌握定积分的根本性质．【学法指导】通过求曲边梯形的面积、变力做功这两个背景和实际意义截然不同的问题，进一步体会定积分的作用及意义.【知识要点】1．定积分：设函数y＝f(*)定义在区间[a，b]上，用分点a＝*0<*1<*2<…*n－1<*n＝b，把区间[a，b]分为n个小区间，其长度依次为Δ*i＝*i＋1－*i，i＝0,1,2，…，n－1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0，在每个区间内任取一点ξi，作和式In＝eq\i\su(i＝0,n－1,f)(ξi)Δ*i.当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式In的极限叫做函数f(*)在区间[a，b]上的定积分，记作，即＝_________.2．在定积分中，叫做被积函数，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做被积式．3．如果函数f(*)在[a，b]的图象是，则f(*)在[a，b]一定是可积的．4．定积分的性质〔1〕＝(k为常数)；〔2〕＝±；〔3〕＝＋(其中a<c<b).【问题探究】探究点一定积分的概念问题1分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．问题2怎样正确认识定积分"利用定积分的定义，计算ʃeq\o\al(1,0)*3d*的值．跟踪训练1用定义计算ʃeq\o\al(2,1)(1＋*)d*.探究点二定积分的几何意义问题1从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(*)连续且恒有f(*)≥0，则表示什么？问题2当f(*)在区间[a，b]上连续且恒有f(*)≤0时，表示的含义是什么？假设f(*)有正有负呢？例2利用几何意义计算以下定积分：〔1〕ʃeq\o\al(3,－3)eq\r(9－*2)d*；〔2〕ʃeq\o\al(3,－1)(3*＋1)d*.跟踪训练2根据定积分的几何意义求以下定积分的值：〔1〕ʃeq\o\al(1,－1)*d*；〔2〕ʃeq\o\al(2π,0)cos*d*；〔3〕ʃeq\o\al(1,－1)|*|d*.探究点三定积分的性质问题1定积分的性质可作哪些推广？问题2如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？计算ʃeq\o\al(3,－3)(eq\r(9－*2)－*3)d*的值．跟踪训练3ʃeq\o\al(1,0)*3d*＝eq\f(1,4)，ʃeq\o\al(2,1)*3d*＝eq\f(15,4)，ʃeq\o\al(2,1)*2d*＝eq\f(7,3)，ʃeq\o\al(4,2)*2d*＝eq\f(56,3)，求：〔1〕ʃeq\o\al(2,0)3*3d*；〔2〕ʃeq\o\al(4,1)6*2d*；〔3〕ʃeq\o\al(2,1)(3*2－2*3)d*.【当堂检测】1．以下结论中成立的个数是()①ʃeq\o\al(1,0)*3d*＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(i3,n3)·eq\f(1,n)；②ʃeq\o\al(1,0)*3d*＝eq\o(lim,\s\do8(n→＋∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(i－13,n3)·eq\f(1,n)；③ʃeq\o\al(1,0)*3d*＝eq\o(lim,\s\do8(n→＋∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(i3,n3)·eq\f(1,n).A．0B．1C．2D．32．定积分的大小()A．与f(*)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关B．与f(*)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关C．与f(*)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关D．与f(*)、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关3．根据定积分的几何意义，用不等号连接以下式子：〔1〕ʃeq\o\al(1,0)*d*________ʃeq\o\al(1,0)*2d*；〔2〕ʃeq\o\al(2,0)eq\r(4－*2)d*________ʃeq\o\al(2,0)2d*.4．sin*d*＝sin*d*＝1，*2d*＝eq\f(π3,24)，求以下定积分：〔1〕ʃeq\o\al(π,0)sin*d*；〔2〕(sin*＋3*2)d*.【课堂小结】1．定积分是一个和式eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(b－a,n)f(ξi)的极限，是一个常数．2．可以利用"分割、近似代替、求和、取极限〞求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．【教学反思】§1.6微积分根本定理导学案【学习要求】1．直观了解并掌握微积分根本定理的含义．2．会利用微积分根本定理求函数的积分．【学法指导】微积分根本定理不仅提醒了导数和定积分之间的内在联系，而且还提供了计算定积分的一种有效方法.【知识要点】1．微积分根本定理：如果f(*)在区间[a，b]上可积，并且_________，则ʃeq\o\al(b,a)f(*)d*＝．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在*轴上方的面积为S上，*轴下方的面积为S下，则〔1〕当曲边梯形的面积在*轴上方时，如图(1)，则ʃeq\o\al(b,a)f(*)d*＝．〔2〕当曲边梯形的面积在*轴下方时，如图(2)，则ʃeq\o\al(b,a)f(*)d*＝_______．〔3〕当曲边梯形的面积在*轴上方、*轴下方均存在时，如图(3)，则ʃeq\o\al(b,a)f(*)d*＝，假设S上＝S下，则ʃeq\o\al(b,a)f(*)d*＝.【问题探究】探究点一微积分根本定理问题1如以下列图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段[a，b]内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？问题2对一个连续函数f(*)来说，是否存在唯一的F(*)，使F′(*)＝f(*)"例1计算以下定积分：〔1〕ʃeq\o\al(2,1)eq\f(1,*)d*；〔2〕ʃeq\o\al(3,1)(2*－eq\f(1,*2))d*；〔3〕ʃeq\o\al(0,－π)(cos*－e*)d*.跟踪训练1计算以下定积分：〔1〕ʃeq\o\al(10,2)5*4d*；〔2〕ʃeq\o\al(3,1)(eq\r(*)＋eq\f(1,\r(*)))26*d*.探究点二分段函数的定积分例2函数f(*)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin*，0≤*≤\f(π,2)，,1，\f(π,2)≤*≤2，,*－1，2≤*≤4.))先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分．跟踪训练2〔1〕设f(*)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*2，*≤0，,cos*－1，*>0，))求ʃeq\o\al(1,－1)f(*)d*；〔2〕求ʃeq\o\al(a,－a)eq\r(*2)d*(a>0)．探究点三定积分的应用例3计算以下定积分：ʃeq\o\al(π,0)sin*d*，ʃeq\o\al(2π,π)sin*d*，ʃeq\o\al(2π,0)sin*d*.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．跟踪训练3求曲线y＝sin*与直线*＝－eq\f(π,2)，*＝eq\f(5,4)π，y＝0所围图形的面积(如下列图)．【当堂检测】1．(1＋cos*)d*等于()A．πB．2C．π－2D．π＋22．假设ʃeq\o\al(a,1)(2*＋eq\f(1,*))d*＝3＋ln2，则a的值是()A．5B．4C．3D．23．ʃeq\o\al(2,0)(*2－eq\f(2,3)*)d*＝_______4．f(*)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4*－2π，0≤*≤\f(π,2)，,cos*，\f(π,2)<*≤π))，计算ʃeq\o\al(π,0)f(*)d*.【课堂小结】1．求定积分的一些常用技巧〔1〕对被积函数，要先化简，再求积分．〔2〕假设被积函数是分段函数，依据定积分"对区间的可加性〞，分段积分再求和．〔3〕对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在*几个区间上的定积分之和，而是在*轴下方的图形面积要取定积分的相反数.【教学反思】§1.7定积分的简单应用导学案【学习要求】会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．【学法指导】本小节主要解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题．在这局部的学习中，应特别注意利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进展适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题.【知识要点】1．当*∈[a，b]时，假设f(*)>0，由直线*＝a，*＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(*)所围成的曲边梯形的面积S＝________.2．当*∈[a，b]时，假设f(*)<0，由直线*＝a，*＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(*)所围成的曲边梯形的面积S＝_________.3．当*∈[a，b]时，假设f(*)>g(*)>0时，由直线*＝a，*＝b(a≠b)和曲线y＝f(*)，y＝g(*)围成的平面图形的面积S＝______________.(如图) 【问题探究】探究点一求不分割型图形的面积问题怎样利用定积分求不分割型图形的面积？例1计算由曲线y2＝*，y＝*2所围图形的面积S.跟踪训练1求由抛物线y＝*2－4与直线y＝－*＋2所围成图形的面积．探究点二分割型图形面积的求解问题由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？计算由直线y＝*－4，曲线y＝eq\r(2*)以及*轴所围图形的面积S.跟踪训练2求由曲线y＝eq\r(*)，y＝2－*，y＝－eq\f(1,3)*所围成图形的面积．探究点三定积分的综合应用例3在曲线y＝*2(*≥0)上*一点A处作一切线使之与曲线以及*轴所围成的面积为eq\f(1,12)，试求：切点A的坐标以及在切点A的切线方程．跟踪训练3如下列图，直线y＝k*分抛物线y＝*－*2与*轴所围图形为面积相等的两局部，求k的值．【当堂检测】1．在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有()S＝ʃeq\o\al(a,b)[f(*)－g(*)]d*S＝ʃeq\o\al(8,0)(2eq\r(2*)－2*＋8)d*①②S＝ʃeq\o\al(4,1)f(*)d*－ʃeq\o\al(7,4)f(*)d*S＝ʃeq\o\al(a,0)[g*－f*]d*＋ʃeq\o\al(b,a)[f*－g*]d*③④A．①③B．②③C．①④D．③④2．曲线y＝cos*(0≤*≤eq\f(3,2)π)与坐标轴所围图形的面积是()A．2B．3C．eq\f(5,2)D．43．由曲线y＝*2与直线y＝2*所围成的平面图形的面积为_______4．由曲线y＝*2＋4与直线y＝5*，*＝0，*＝4所围成平面图形的面积是________【课堂小结】对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时〔1〕确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标．〔2〕确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分根本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的.【教学反思】章末复习课导学案【知识构造】【问题探究】题型一分类讨论思想在导数中的应用例1函数f(*)＝(*－k)2e.〔1〕求f(*)的单调区间；〔2〕假设对∀*∈(0，＋∞)，都有f(*)≤eq\f(1,e)，求k的取值范围．跟踪训练1求函数y＝eq\f(1,3)*3－eq\f(1,2)(a＋a2)*2＋a3*＋a2的单调减区间．题型二转化与化归思想的应用例2设f(*)＝eq\f(e*,1＋a*2)，其中a为正实数．〔1〕当a＝eq\f(4,3)时，求f(*)的极值点；〔2〕假设f(*)为上的单调函数，求a的取值范围．跟踪训练2假设函数f(*)＝a*3－*2＋*－5在上单调递增，求a的取值范围．题型三函数与方程思想例3请你设计一个包装盒，如下列图，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影局部所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝*cm.〔1〕假设广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，试问*应取何值？〔2〕假设广告商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问*应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．跟踪训练3*造船公司年造船量是20艘，造船*艘的产值函数为R(*)＝3700*＋45*2－10*3(单位：万元)；本钱函数为C(*)＝460*＋5000(单位：万元)．又在经济学中，函数f(*)的边际函数Mf(*)定义为Mf(*)＝f(*＋1)－f(*)．〔1〕求利润函数P(*)及边际利润函数MP(*)；(提示：利润＝产值－本钱)〔2〕问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？〔3〕求边际利润函数MP(*)的单调递减区间，并说明单调递减在此题中的实际意义是什么？题型四数形结合思想的应用例4求函数f(*)＝*3－3a*＋2的极值，并说明方程*3－3a*＋2＝0何时有三个不同的实根？何时有唯一的实根(其中a>0)"跟踪训练4f(*)＝a*3＋b*2＋*(a、b∈R且ab≠0)的图象如下列图，假设|*1|>|*2|，则a，b的正负为__________．【教学反思】§2.1.1合情推理【学习目标】1.结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2.能利用归纳进展简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.【课前准备】〔预习教材P70~P77，找出疑惑之处〕在日常生活中我们常常遇到这样的现象：〔1〕看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；〔2〕八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.以上例子可以得出推理是的思维过程.【问题探究】探究任务一：考察以下例如中的推理问题：因为三角形的内角和是，四边形的内角和是，五边形的内角和是……所以n边形的内角和是新知1：从以上事例可一发现：叫做合情推理。归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理。探究任务二：问题1：在学习等差数列时，我们是怎么样推导首项为，公差为d的等差数列{an}的通项公式的？新知2归纳推理就是根据一些事物的,推出该类事物的的推理归纳是的过程例子:哥德巴赫猜想：观察6=3+3,8=5+3,10=5+5,12=5+7,14=7+7,16=13+3,18=11+7,20=13+7,……,50=13+37,……,100=3+97，猜想：.归纳推理的一般步骤1。2。※典型例题例1用推理的形式表示等差数