2014年tct教案第三轮及知识点梳理1集合不等式函数

学员编号 级：高学员 辅导科目：数．一、梳请看以下部分p:|1x1|1，命题qx22x1m20(m0pq2则实数m的范围 举例：若函数f(x)x2xa，则使得“函数yf(x)在区间(1,1)内有零点”成立的一个必要非充分条件是 (A)1a2 (B)1a2 (C)0a2 (D)1a0 1、2、3；4、P66例3对于非奇非偶的证明，完成练习5和6P719（23）3个小题，第（1）4分，第（2）6分，第（3）8分.定义区间(cd，[cd)(cd]，[cd的长度均为dcdc．y2x1的定义域为ab，值域为01，写出区间ab长度的最大值与最小值 2 x的定义域为实数集D[2,2],满足 x xM(M是D的非 x,x fAB fAxfBx 定义函数f(x) 1，判断函数f(x)在区间(2,3)上是否有零点x x x xf(x08、P747574P7501…456………若精确到0.1，至少运算n次，则nx0的值 例：函数f(x)(m2m1)xm22m3是幂函数，且在x(0,)上是减函数，则实数m A.1或2或 B.1或2或 C.1或2或3或 D.0或1或2或2、P84P884 ，完成P12的练习3和例：函数y x22x24的单调递减区间

aA.

B.

C.

D.2例：已知函数f(x)log(x2ax3a)在区间[2,)上递增，则实数a的取值范围是 2

(,4)

y12x4xax,1y0恒成立，求a [1]Py|yx2xR},Qy|y2xxR}PQ分析：集合P、Q分别表示函数yx2y2x在定义域R上的值域，所以P0,Q0,)[举例2]函数f(x)

(x

，其中PM是实数集R的两个非空子集，又规定：x(xMF(P{y|yf(xxPF(M{y|yf(xxM}.（1）PM

F(M（2）PM

F(M)；（3）PMR

F(MR（4）PMR

F(M)R （A、1个 B、2个 C、3个 D、4个分析：这是一道比较难的题，涉及到函数的概念，集合的意义.F(Pyx(xPF(Myx(xM的值域.P0,M,0可知（1（3）不正确.任意一个值只能与一个函数值对应，所以若PM，只能是PM{0}，此时 F(M){0}（2）正确.对于命题（4）：设a M,则aP且aM，若a0，显然有0F(P)且0F(M)，所以

F(M)Ra0，由aPaF(P，由aM，则aF(M.若有aF(M，则aM所以aP，则aF(P，所以a

F(M

F(M)R.同理可证，若aF(Pa

F(M.（4）[举例]Ax|x2aBx|x2}ABa的取值范围分析：集合A有可能是空集.a0AABa0A(a,

aaAB， 2，有0a4.综上知，a4aABAAB等3ABxAxBABxA是xBABABABxAxB的充要条件.有时利用“原命题”与“逆否命的充分条件（甲乙”与“甲的充分条件是乙（乙甲，是两种不同形式的问题.［举例］Mxy|x2y22Nxy|yx2}PM的＿＿＿＿＿＿＿PNPMPN的＿＿＿＿＿＿＿条件分析Mx2y22外的所有点的集合，Nyx2上方的点的集合.NM.（充分不出命题的真假5y

f(xxaf(ax)

f(axf(2ax

f(x等，反之亦然.意：两个不同函数图像之间的对称问题不同于函数自身的对称问题.yf(xxay

f(2axy

f(x的图像关于点(aby2bf(2ax的图像[1]y

f(x1y

f(x的图像关于＿＿＿＿＿＿对称

f(x1f(x1)

f(x1

f(1x)

f(1xy

f(x像关于直线x1对称.或函数y

f(x1的图像是由函数y

f(x)的图像向右平移一个单位而得到的，yf(x1yyf(xx1对称[2]y

f(xxRf(2x)

f(2xx2f(x)x2xxf(x)分析

f(2x)

f(2xy

f(xx2f(x)

f(4x成立x24x2f(x)f(4x)(4x)24x).x2f(x)x29x20

f(xf(xa)

f(xa)(a0)则f(x)是以2a为周期的函数.注意：不要和对称性 若函数y

f(x满足：f(xaf(x)(a0

f(x)2a为周期的函数.（

f(x)满足f(xa)

f

f(x也是周期函数［举例］yf(xxRf(x1)f(xx[0,2f(x)2x1，f(1f(2f(3f(2006分析f(x1)f(xf(x2)

f[(x1)1]f(x1)

f(xy

f(x2的周期函数.f(2006)

f(2004)

f(2)

f(2003)

7、奇函数对定义域内的任意x满足f(x)f(x)0；偶函数对定义域内的任意x满足f(x)f(x)0.注意： 题时，得到的是关于变量x的恒等式而不是方程.奇函数的图像关于原点对称,偶函数图像yy

f(x域不关于原点对称，则该函数既非奇函数也非偶函数.yf(xf(0f(00；反之不然［1］f(x)

2x

a是奇函数，则实数a1分析：f(0f(00，代入得a功倍

2[举例2]f(x)ax2b2)x3是定义在区间[2a1,2a上的偶函数，则此函数的值域是函数是偶函数，必有(2a12a)0a1yf(x)是偶函数，因而b2f(x)x23(x[3,3]，所以此函数的值域为8、奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致，偶函数在关于原点对称的区间内增减性相反.y

f(xxa对称，则它在对称轴的两侧的增减性相反；此时函数值的大小取决于变量离对称轴的远近.解［］若函数yf(x)是定义在区间[3,3上的偶函数，且在[3,0]上单调递增，若实数a满足：f(2a1)f(a2，求a的取值范围分析：y

f(xf(2a1)

f(a2f(|2a1|)

f(a2，又此函数在[3,0增，则在[0,3]递减.所以3|2a1|a2，解得1a 29、要掌握函数图像几种变换：对称变换、翻折变换、平移变换会根据函数y

f(x)的图像，作出函数yf(x),y

f(|x|),y|f(x)|,y

f(xa),y

f(xa的图像

的变换yf(|x|y|f(x|的图像［举例］f(x)|log2|2x1|1|的单调递增区间为11分析：函数f(x|log2|2x1|1|的图像是由函数ylog2x的图像经过下列变换得到的：先将函数ylog2x2（ylog2x的图像向上平移1个单位）得到函数ylog22xylog22x的图像作关于yylog2|2x|的图像，再将函数ylog2|2x|2ylog2|2x1|ylog2|2x1|111ylog2|2x1|1ylog2|2x1|1xxf(x)|log2|2x1|1|的图像.注意在变化过程中函数图像与坐标轴的交点的变化（

,)需要注意的是：函数图像变化过程：y

f(x)y

f(|x|)y

f(|xa

与变化过程：yf(x)y

f(xa)y

f(|xa|)不同.yxa对称10、研究方程根的个数、方程（不等式）的解（特别是含有参量的、二次方程根的分布、二次函数的值域、减的区间、最值等

2x1g(x)ax1f(x)g(xa是分析：f(x)g(xy

f(xyg(x)f(x)

的图像是x轴上方的 2x2xg(x)ax12(0,1)斜率为a的直线.当a 1时直线与抛物线相切22由图像知：a 1.（注意图中的虚线也满足题义2[举例2]若曲线y2|x|1与直线ykxb没有公共点，则k,b应当满足的条件 分析：y2|x|1y2x1(x0y2x1(x0y轴的交点为(0,1和(0,1，若直线ykxb曲线y2|x|1的图像没有公共点， 直线必与x轴平行，所以k0，1b -［举例］f(x)x22ax

一个交点又由二次函数f(x)x22ax1图像的对称轴为直线xaa0a4必存在反函数，0a1或3a4必不存在反函数.a[1,3时如何讨论？注意到函数在区间[0,1上递减，在[3,4f(4

f(0即可.2

a3或1a

3.综上知，实数a的取值范围是(,02[1,3)(5,3][4,) ［举例］f(x)log2x22x2),(x(,2的反函数为2y2ylog(x22x2)x22x22yx1)22y1.x2x12y22yx2y

，x

.又原函数的值域为

，所以原函数的反函数为f1x) 2x1(x1.（若是从反函数表达式得2x10x0就不是反函数的定义域yf(xACaA,bC,f(f1(b))b,f1(f(a))a.b

f(a)a

f1(b)需要特别注意一些复合函数的反函数问题yf(2xyf1(2x

f(xy

f1(xy2f1(3x4的反函数的表达式是分析：yxxy互换即得反函数的表达式.y2f1(3x可得f13x4)y3x4

f()x [f()

.

y2f1(3x

2y1[f(x)

x [2]f(x)log2(x),2x

(a)3，则a分析：f1(a)3af(3，所以a8于单调性的任何性质，用定义证明函数单调性的关键步骤往往是因式分解记住并会证明：函数byax

a,b0的单调性x[举例]f(x)ax1(a0x[1,上是单调增函数，求实数a的取值范围x分析：yax

ba,b0x0时，函数的最小值是x

abbax 时等号成立xba

a

a1a1用起来比较方便.函数f(x)ax (a0)在[1,)上递增，1a1x

1，得a1.任设x1

[1,),x1x2

f(x1)f

)

)(a

)，由函数

f(x)是单调增函数，则f(x1)f

)0

0a

0.a

x1

[1,x1

1

1，故a［举例］f(x)x22ax1在区间[1,3的最值分析：求开口向上的二次函数在闭区间上的最小值要根据二次函数的对称轴与区间的位置关系分三种情况进行讨论，但求开口向上的二次函数在闭区间上的最大值只要根据区间端点与对称轴之间的距离分两种情况进行讨论即可.2 (a f 2

(a，(a

f

(1a3)

(a[1]x的不等式|ax3|5的解集是[1,4]，则实数a的值为|a3|

a2或答案：解集端点值1,4是方程|ax3|5的根.则 得 1，知a2|4a3| ［2］xax22ax10(aR.与其对应的方程为ax22ax104a24a.当0a1或a0x1,2

；当0a1x1；当0，即0a1a a2a a2a a2

a a a2a

,；当a1不等式的解集为(,11,)0a1时，不等式的解集为Ra0时，不等式的解集为aa a2a

a a217、基本不等式ab

ababab)2要记住等号成立的条件与ab的取值范围.2基本不等式的应用［举例］已知正数ab满足a2b3a

1b1.111a2ba2b)1(32ba)1(3

a

a等号成立，此时ab

22 22

18||a||b|||ab||a||b|［1］x的不等式|x1||x2|aR，则实数a的取值范围是由不等式的解集为R，则a大于|x1||x2|的最大值.由绝对值不等式的性质知：|x1||x2||x1x2|1，所以a1.[2]x的不等式|x1||x2|a的解集不是空集，则实数a的取值范围是＿.|x1||x2||(x1x2|1，知a1.（（a(x［举例］x

x

1(a0)分析：(a1)xa2)0(x2)[(a1)xa2)]0.x量，故要讨论.（1）当a1时，不等式的解集为{x|x2（2）当0a1a

a

ax12x2

aa

1 2此时不等式的解集为 )（3当aa1 1 a时，同样可得不等式的解集为

a

)(2,