精算师课程精讲讲义金融数学第2章年

第2章年金【考试要求】2.1标准型年金

期末付年金期初付年金任意时刻的年金值永续年金年金的非标准期问题年金的未知时间问题年金的未知利率问题

2.2一般型年金

变利率年金付款频率与计息频率不同的年金连续年金基本变化年金更一般变化年金连续变化年金精算师考试网官方总站：圣才学习网

【要点详解】§2.1标准型年金

1．期末付年金

（1）年金：是指一系列按照相等时间间隔支付的款项。（2）期末付年金

①定义：在每个付款期末付款的年金

②年金现值：每期期末付款额为l，付款期限为n期，每期利率为i的付款在时间0时的现值：

③年金终值：每期期末付款额为l，付款期限为n期，每期利率为i的付款在时间n时的积累值之和：

（3）常用关系式：

注意：通常符号中不必标出计算所依据的利率，在一个问题中涉及多个利率时，为避免引起混淆，可写作：的形式，如等。精算师考试网官方总站：圣才学习网

【例题2.1】甲年金在36年内每年底支付4，乙年金在18年内每年底支付5，在某一年利率i下两个年金的现值相等，则要使某一以i为收益率的投资翻倍，需要的投资年限为（）。[2008年春季真题]A．8B．9C．10D．11E．12

【答案】B

【解析】由题意得：解得：v18=1/4，即(1+i)9=2。设投资年限为t，由题意得：(1+i)t=2，故t=9。

【例题2.2】年金A在前10年的年末每次支付1，在随后10年的年末每次支付2，在第三个10年的年末每次支付1；年金B在第一个10年的年末每次支付X，在第三个10年的年末每次支付X，中间的10年没有支付。假设年利率使得本金在10年末翻一倍，且两个年金的现值相等，则X的值等于（）。[2008年春季真题]A．1.4B．1.5C．1.6D．1.8E．1.9

【答案】D

【解析】设年利率为i，则（1+i）10=2，即v10=0.5，v20=0.25，由题意有：解得：X=1.8。

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【例题2.3】在年复利利率j下，已知：（1）每年末支付2，共2n年的年金的现值及每年末支付1，共n年的年金的现值之和为36；（2）延期n年每年末支付2，共n年的年金的现值为6。则j=（）。A．0.04B．0.05C．0.06D．0.07E．0.08

【答案】D

【解析】根据题意，有：

由③－②，得：代入②，解得：j=0.07。精算师考试网官方总站：圣才学习网

2．期初付年金

（1）定义：是指在每个付款期间开始时付款的年金。①期初付年金现值：表示每期期初付款额为1，每期利率为i的n期年金，各现值和：②期初付年金终值：表示每期期初付款额为1，每期利率为i的n期年金在第n期期末的积累值：（2）常用关系式：

（3）常用关系式：

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【例题2.4】某人用2000元一次性购买了15年确定年金，假定年利率为6%，第一次年金领取从购买时开始，计算每次可以领取的金额为（）元。[2008年春季真题]A．167.45B．177.45C．180.13D．194.27E．204.18

【答案】D

【解析】设每次领取的金额为P，则有：故P＝2000/10.295=194.27（元）。

【例题2.5】某年金分20年于每月月初支付30元。利息每月转换一次，年名义利率为12%，则该年金现值为（）元。[2008年春季真题]A．2652.52B．2751.84C．2755.42D．2814.27E．2842.33

【答案】B

【解析】月实际利率为：12%÷12＝0.01。该年金现值为：

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【例题2.6】若则下列表达式中与等价的是（）。

【答案】D

【解析】

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3．任意时刻的年金值

（1）延期年金①定义：指以当前时刻为0时刻，在0时刻以后若干时期后开始按期支付的年金。②三种一般的延期年金：a．首期付款前某时刻的年金现值；b．最后一期付款后某时刻的年金积累值；c．付款期间某时刻年金的当前值。图2.1为三种一般的延期年金的范例

图2.1

付款次数为5，首次付款发生在时刻2，末次付款发生在时刻6。则时刻0时的年金现值就是延期年金现值，相当于a中的情况；时刻10时的年金积累值相当于ｂ中的情况；时刻4时的年金当前值相当于c中的情况。另外，这5次付款在时刻l时的年金现值是一个5期的期末付款额为l的年金现值即；在时刻2的年金现值是，在时刻6的年金积累值为，在时刻7的年金积累值为。精算师考试网官方总站：圣才学习网（2）在首期付款前某时刻的年金现值①第m期开始支付，每期期末付款1个单位，共付款n期的年金现值为：②第m期开始支付，每期期初付款1个单位，共付款n期的年金现值为：（3）在最后一期付款后某时刻的年金积累值①第1期开始支付，每期期末付款1个单位，共付款n期的年金在（m＋n）时刻的积累值为：②第1期开始支付，每期期初付款1个单位，共付款n期的年金在（m＋n）时刻的积累值为：（4）付款期间某时间的年金当前值①每期付款1个单位的n年期期末付年金在m（0＜m＜n）时刻的当前值为：②每期付款1个单位的n年期期初付年金在m（0＜m＜n）时刻的当前值为：

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【例题2.7】则i=（）。

A．8.09%B．8.29%C．8.49%D．8.69%E．8.89%

【答案】B

【解析】

4．永续年金

（1）永续年金：付款次数没有限制，永远持续的年金。（2）永续年金的现值：①期末付永续年金的现值：②期初付永续年金的现值：

注意，永续年金的最终值不存在，因为给付没有终点时刻，且无穷的均衡给付导致积累值变为无穷大。

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【例题2.8】甲、乙、丙、丁四人从一个等额的永久年金中获得支付，甲、乙、丙在前n年的年末获得相等的支付，n年后的支付全归丁所有，如果四个人获得支付的现值相等，则vn等于（）。[2008年春季真题]

A．1/4

B．1/5

C．1/6

D．1/7

E．1/8

【答案】A

【解析】设年金的支付额为P，则甲、乙、丙的现值为：，丁的现值为：，

【例题2.9】甲、乙、丙三人共同为某学校设立总额为10000元的奖学基金，该基金以永续年金的方式每年末支付一次。甲、乙、丙经协商，决定由甲为前8年的支付出资，乙为接下来的10年的支付出资，余下的支付由丙出资。假设基金采用的年实际利率为8%，则乙、丙两人的出资额之和为（）元。

A．2503

B．2900

C．4597

D．5403

E．4099

【答案】D

【解析】解法①：由题意可知学校每年可从该基金中取出的用做奖学金的金额为：

故乙、丙两人的出资额之和=2900.20.49=5402.69（元）。解法②：乙、丙两人的出资额之和即总出资额与甲的出资额之差。故乙、丙两人的出资额之和=10000－4597.31=5402.69（元）。精算师考试网官方总站：圣才学习网

5．年金的非标准期问题

假定整个付款期长度为n+k，0＜k＜1，前n期各期期末付款额为1，在时刻n+k时，有一个对应于k期间长度的年金式零头付款，则这种年金现值：显然，n+k时刻的零头付款额为。

6．年金的未知时间问题

（1）上浮式付款：当付款期限不是整数时，在最后一次规则付款的额度上外加一个根据等价计算出来的零头，最后的零头付款称为上浮式付款。（2）扣减式付款：当付款期限不是整数时，在最后一次规则付款的下一期支付一个根据等价计算出来的零头，最后的零头付款称为扣减式付款。精算师考试网官方总站：圣才学习网

【例题2.10】某人购房借款50000元，计划每年末还款10000元，直到还完。设利率为7%，借款人还款的整数次数为n。现有以下三种方式偿还最后的零头：

（1）在时刻n偿还；（2）按年金支付规律，在时刻n与时刻n+1之间偿还；（3）在时刻n+1偿还。则整数n以及三种方式最后还款零头的总额分别为（）元。A．5；3503.61B．5；3591.65C．5；3748.86D．6；10844.12E．6；10932.16

【答案】D

【解析】即前面6次还款额都是整数，故n=6。设f1，f2，f3分别为三种方式下最后还款的零头，则：

精算师考试网官方总站：圣才学习网（2）设n=6+k，其中0<k<1，所以，解得：k=0.367，（3）所以故三种方式还款的零头总额为：f1+f2+f3=10844.12（元）。精算师考试网官方总站：圣才学习网

7．年金的未知利率问题

（1）n较小的年金未知利率问题直接利用解方程的方法求利率值。（2）n较大的年金未知利率问题①线性插值法②迭代法

【例题2.11】对于利率i，己知则i=（）。A．4.98%B．5.10%C．5.15%D．5.20%E．5.24%

【答案】E

【解析】从而有：12.8537=8.0336(1+v10)，即v10=0.6，故i＝0.0524。精算师考试网官方总站：圣才学习网§2.2一般型年金

1．变利率年金

（1）各付款期间段的利率不同的情况：各付款期间段的利率不同。如在第一个付款期利率为i1，第二个付款期利率为i2，…，这样：①所有付款的年金现值为：②所有付款的年金积累值为：

【例题2.12】某人在未来15年中每年年初向银行存入5000元，前五年的年利率为5.6%，中间五年的年利率下调为3.7%，后五年由于通货膨胀影响，年利率上调至8.9%，则第十五年年未时，这笔款项的积累额为（）。[2011年春季真题]

A．129509B．129907C．130601D．131037E．131736

【答案】A

【解析】

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（2）各次付款所依据的利率不同的情况：各次付款所依据的利率不同。如第一次付款的利率为i1，则一单位期末付款在零时刻现值为(1+i1)-1，n时积累值为(1+i1)n-1；第二次付款的利率为i2，则该期末付款在零时刻现值为(1+i2)-2，在n时刻积累值为(1+i2)n-2，…，这样：①所有付款的年金现值为：②所有付款的年金积累值为：

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【例题2.13】小李每年年末存入银行3000元钱，共存款8年，前4年的年利率为5%，后4年银行调低利率，将年利率降至4%，则第8年末的存款积累值为（）元。

A．12740

B．15127

C．16503

D．27866

E．29752

【答案】D

【解析】前4年存款在第8年末的积累值为：后4年的存款在第8年末的积累值为：故所有存款在第8年末的积累值为：

15126.71.39=27866.10（元）

【例题2.14】小王在10年内每年年末向一笔基金存入1000元钱，前4次存入的基金的年利率为5%，后6次存入的基金的年利率为4%，则第10年末这笔基金的积累值为（）元。

A．11776

B．16633

C．12087

D．12409

E．13632

【答案】D

【解析】前4次存入的基金在第10年末的积累值为：后6次存入的基金在第10年末的积累值为：故第10年末这笔基金的积累值为：

5775.98.98=12408.96（元）精算师考试网官方总站：圣才学习网

2．付款频率与计息频率不同的年金

（1）付款频率低于计息频率的年金设k为每个付款期间内的计息频率，n为整个付款期的计息次数，每个计息期利率为i，并假设n，k为整数，则付款次数为n/k，且n/k也为整数。①期末付年金

☞

每次付款额为1的年金现值为：

☞

每次付款额为1的年金积累值为：

说明：每次的付款额1可以看作是k期每期期末付款额为R的区间末的年金的积累值，即有：，这样在n个计息期，就有n次额度为R的付款，则所有R形成的年金现值为：；同样年金累计值为：。精算师考试网官方总站：圣才学习网

②期初付年金

☞

每次付款额为1的年金现值为：

☞

每次付款额为1的年金积累值为：③其他各种形式的付款频率小于计息频率的情况

☞

期末付永续年金现值为：

☞

期初付永续年金现值为：

精算师考试网官方总站：圣才学习网（2）付款频率高于计息频率的年金设m是每个计息期内的付款次数，n为计息期数，i为每个计息期的利率，m、n为正整数，则总的付款次数为mn。①期末付年金

☞

每次付款额为1/m的年金现值为：

☞

每次付款额为1/m的年金积累值为：

☞

常用关系式：

☞

n=1时有：

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②期初付年金

☞

每次付款额为1/m的年金现值为：

☞

每次付款额为1/m的年金积累值为：

☞

常用关系式：

☞

n=1时有：

☞

与及与的关系：

精算师考试网官方总站：圣才学习网③其他各种形式的付款频率大于计息频率的情况

☞

期末付永续年金现值为：

☞

期初付永续年金现值为：

【例2.15】则i=()。A．1.026%B．1.046%C．1.066%D．1.086%E．1.106%

【答案】A

【解析】因为v16=0.964，又i=v-1－1，故i=1.026%。精算师考试网官方总站：圣才学习网

【例题2.16】某人将收到一项年金支付，该年金一共有5次支付，每次支付100元，每3年支付一次，第一次支付发生在第10年末，假设年实际利率为5%，则该年金的现值为（）元。

A．234B．256C．268D．298E．329

【答案】A【解析】每次支付100元，每3年支付一次，则等价的年金为每年支付元，则所有的年金在第7年末的价值为

故该年金的现值为：

【例题2.17】小李从他20岁参加工作开始每个月月末存入100元到一笔基金中，直到60岁退休为止共进行了40年480次的存款。假设该基金的年实际利率为13%，则小李退休时这笔基金的累积值为（）元。A．1087768B．1187768C．1287768D．1387768E．1487768

【答案】C【解析】由于i=13%，则：因每年存款12次，每次存款100元，所以每年存款1200元，故小李退休时这笔基金的累积值为：

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3．连续年金

（1）定义：连续年金是付款频率无限大的年金。（2）连续年金现值：（3）连续年金积累值：

【例题2.18】已知=5，=7，则δ=（）[2011年春季真题]A．0.0238B．0.0286C．0.0333D．0.0476E．0.0571

【答案】E

【解析】由于

于是精算师考试网官方总站：圣才学习网

【例题2.19】一个10年期的连续年金，每期支付额为30，年实际利率为8%，则该年金在第3年末的价值为（）。A．241B．264C．287D．300E．378

【答案】B【解析】由于i=0.08，则：该年金在第3年末的价值为：

【例题2.20】则利息强度δ=（）。A．1/36B．1/18C．1/12D．1/8E．1/3

【答案】B

【解析】将前两式相除，得：即(1+i)2n－4(1+i)n+3=0，解得：(1+i)n=3，或(1+i)n＝1（(1+i)n＞1，舍去）

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4．基本变化年金

（1）各年付款额为等差数列①一般形式：若某期末付年金首期付款额为P，从第二期开始，每期付款额比前一期增加Q，共有n个付款期，每个付款期利率为i。若只考虑付款额大于0的年金，须保证P＞0，且P+(n－1)Q＞0。

☞

该年金的现值为：

☞

该年金的积累值为：②当P＝1，Q＝1时：

☞

年金现值为：

☞

年金积累值为：

精算师考试网官方总站：圣才学习网③当P＝1，Q＝－1时：

☞

年金现值为：

☞

年金积累值为：④期末付虹式年金与平顶虹式年金

☞

对于各年末的付款额先由1到n递增，然后再由n－1到1递减的年金，这种期末付年金的最大付款额n只出现一次时，称为期末付虹式年金。期末付虹式年金的现值为：

☞

若最大付款额n连续出现2次，付款额也为n，而后逐年递减，至2n时，付款额减为1，这种年金称为平顶虹式年金。期末付平顶虹式年金的现值为：

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【例题2.21】某期未付年金每月支付一次，首次付款为500元，以后每次付款较前一次增加500元，共支付10年，若实际年利率为5%，则该年金在10年未累积值为（）[2011年春季真题]

A．4265972B．4272801C．4283263D．4294427E．4303612

【答案】D

【解析】设月实际利率为i，则。第10年末，也即第120次支付后，累计值为：

【例题2.22】有甲乙两个永久年金，甲每年末支付15，乙每年末的支付按照1、2、3、…的形式增长，如果两个年金的现值相等，则年利率为（）。[2008年春季真题]A．6.1%B．6.3%C．6.5%D．6.8%E．7.1%

【答案】E

【解析】由题意，得：

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【例题2.23】某永久年金在第一年末支付1，第二年末支付3，第三年末支付5，……，则该年金的现值为（）。[2008年春季真题]【答案】C

【解析】依题意，该年金的现值为：①×v，得：①－②，得：

精算师考试网官方总站：圣才学习网（2）各年付款额成等比数列关系若某期末付年金各项付款额成等比数列，即各项付款为：1，(1+k)，(1+k)2，…，(1+k)n-1，则该年金现值为：

【例题2.24】每年的年初向某一基金存款，前5年每年存入1000元，以后每年递增5%，如果10年末的终值为16607元，则基金的年利率为（）。[2008年春季真题]A．6%B．7%C．8%D．9%E．10%

【答案】C

【解析】设基金的年利率为i，则v=(1+i)-1，又，以第5年初为时间点，由题意，得：解得：i=8%。精算师考试网官方总站：圣才学习网

5．更一般变化年金

（1）付款频率小于计息频率的形式设某年金共有n=km个计息期，每k个计息期末付款1次，n个计息期共付款m次，每次付款比前一次增加1，则这种年金的现值为：（2）付款频率大于计息频率的等差递增型年金①每个计息期内的m次付款保持不变。若m次付款的每次付款额