课堂讲义人教B第二单元 函2.2.2 含答案VIP

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.2。2二次函数的性质与图象[学习目标]1.会用“描点法”作出y＝ax2＋bx＋c(a≠0）的图象。2。通过图象研究二次函数的性质。3.掌握研究二次函数常用的方法——配方法.4.会求二次函数在闭区间上的最值(值域）。［知识链接］函数y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，它的顶点坐标为（1，1)，对称轴为直线x＝1,单调递增区间为（1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)。[预习导引]1。二次函数(1)定义：函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）叫做二次函数。(2)解析式：①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0）。②顶点式：y＝a(x－h）2＋k，其中(h，k)为顶点。③两根式：y＝a（x－x1）（x－x2），其中x1,x2为方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根.2。二次函数的性质与图象函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0）图象a＞0a＜0性质抛物线开口向上抛物线开口向下对称轴是x＝－eq\f(b，2a)对称轴是x＝－eq\f（b,2a)在区间（－∞，－eq\f(b,2a）]上是减函数，在区间［－eq\f(b,2a),＋∞）上是增函数在区间(－∞，－eq\f（b,2a)]上是增函数,在区间[－eq\f(b，2a),＋∞）上是减函数当x＝－eq\f(b，2a)时，y有最小值，ymin＝eq\f（4ac－b2，4a)当x＝－eq\f(b,2a）时，y有最大值，ymax＝eq\f（4ac－b2，4a）b＝0时为偶函数,b≠0时为非奇非偶函数解决学生疑难点要点一二次函数的图象与应用例1画出函数f（x）＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：（1)比较f(0），f(1），f（3）的大小；（2）若x1＜x2＜1，比较f（x1)与f（x2）的大小;（3）由图象判断x为何值时，y＞0,y＝0，y＜0.解f(x）＝－x2＋2x＋3＝－(x－1）2＋4的图象如图所示.（1)由图可知,二次函数f（x）的图象对称轴为x＝1且开口向下,且|0－1｜＜｜3－1｜,故f（1）＞f（0)＞f（3)。（2)∵x1＜x2＜1，∴|x1－1|＞|x2－1|,∴f(x1）＜f(x2).（3)由图可知：当x＞3或x＜－1时，y＜0;当x＝－1或x＝3时,y＝0；当－1＜x＜3时，y＞0.规律方法观察图象主要是把握其本质特征：开口方向决定a的符号，在y轴上的交点决定c的符号（值)，对称轴的位置决定－eq\f（b,2a）的符号。另外，还要注意与x轴的交点，函数的单调性等，从而解决其他问题.跟踪演练1已知二次函数y＝2x2－4x－6.(1）画出该函数的图象，并指明此函数图象的开口方向，对称轴及顶点坐标;（2)由图象判断x为何值时，y＞0,y＝0，y＜0。解(1)由y＝2x2－4x－6＝2（x－1）2－8,图象如图由图象可知，函数图象开口向上,对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1,－8)。（2)由图象可知，x＞3,或x＜－1时，y＞0；x＝－1或x＝3时，y＝0；－1＜x＜3时，y＜0.要点二二次函数性质及应用例2已知函数f（x)＝x|x－2|。（1)画出函数y＝f（x)的图象;(2)写出f(x)的单调区间，并指出在各个区间上是增函数还是减函数?(不必证明）(3）已知f(x）＝eq\f(1,4)，求x的值。解(1）f(x）＝x｜x－2|＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x2－2xx≥2，，－x2＋2xx＜2.））作图如下：(2)单调递增区间（－∞，1］,［2，＋∞)；单调递减区间(1,2），（3）∵f（x）＝eq\f（1，4)，∴当x≥2时，x2－2x＝eq\f(1，4），∴x＝1＋eq\f(\r(5),2）或x＝1－eq\f（\r(5),2)(舍去），当x＜2时，－x2＋2x＝eq\f(1,4)，∴x＝1±eq\f(\r（3）,2)，∴x的值为1±eq\f（\r(3），2）,1＋eq\f（\r(5）,2）。规律方法二次函数的图象及性质是解决二次函数问题最基本的知识,注意数形结合寻找解题思路.跟踪演练2若函数f(x）＝（a－2）x2＋2x－4的图象恒在x轴下方，则a的取值范围是________。答案（－∞，eq\f(7，4)）解析由题意知,二次函数开口向下且与x轴无交点。即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a－2＜0,,Δ＝22＋4×4a－2＜0，)）解得a＜eq\f(7,4）。要点三二次函数最值问题例3(1）当－2≤x≤2时，求函数y＝x2－2x－3的最大值和最小值.（2)当1≤x≤2时，求函数y＝－x2－x＋1的最大值和最小值.(3）当x≥0时，求函数y＝－x（2－x）的取值范围.解（1)作出函数的图象，如图（1）.当x＝1时，ymin＝－4；当x＝－2时，ymax＝5.（2)作出函数的图象如图（2)。当x＝1时，ymax＝－1；当x＝2时，ymin＝－5。(3)作出函数y＝－x(2－x）＝x2－2x在x≥0时的图象，如图(3).可以看出：当x＝1时，ymin＝－1,无最大值.所以，当x≥0时，函数的取值范围是｛y|y≥－1｝。规律方法求二次函数f（x)＝ax2＋bx＋c(a＞0）在［m，n]上的最值的步骤：(1）配方，找对称轴；(2)判断对称轴与区间的关系；（3)求最值.若对称轴在区间外，则f（x）在[m，n]上单调,利用单调性求最值；若对称轴在区间内，则在对称轴处取得最小值,最大值在[m，n］端点处取得.跟踪演练3求函数y＝x2－2x＋3在区间[0,a］上的最值，并求此时x的值。解对称轴:x＝1，抛物线开口向上.(1）当0＜a≤1时,函数在［0,a]上单调递减，∴当x＝0时，ymax＝3；当x＝a时,ymin＝a2－2a＋3。(2)当1＜a＜2时，函数在［0，1］上单调递减，在[1，a]上单调递增，∴当x＝1时，ymin＝2；当x＝0时,ymax＝3。（3）当a≥2时，函数在[0，1］上单调递减，在[1，a］上单调递增，∴当x＝1时,ymin＝2,当x＝a时,ymax＝a2－2a＋3。1.函数y＝3＋2x－x2(0≤x≤3）的最小值为（)A。－1B.0C。3D.4答案B解析∵y＝3＋2x－x2＝－(x－1）2＋4，∴函数在［0，1］上单调递增，在[1，3］上单调递减,∴y＝3＋2x－x2(0≤x≤3）的最小值为y＝3＋2×3－32＝0。2.已知一元二次函数y＝－x2＋2x＋4，则函数()A.对称轴为x＝1，最大值为3B。对称轴为x＝－1，最大值为5C.对称轴为x＝1,最大值为5D.对称轴为x＝－1，最小值为3答案C解析由y＝－x2＋2x＋4＝－(x－1)2＋5，知对称轴为x＝1,最大值为5.3。二次函数f(x)＝a2x2－4x＋1的顶点在x轴上，则a的值为（)A。2 B.－2C.0 D.±2答案D解析由Δ＝0即16－4a2＝0得a2＝4，故a＝±2。4。下列区间中，使函数y＝－2x2＋x为增函数的是（）A。R B.［2，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,4)，＋∞)) D。eq\b\lc\(\rc\］(\a\vs4\al\co1（－∞,\f（1，4）））答案D解析函数y＝－2x2＋x＝－2eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f（1,4））)2＋eq\f（1，8）的图象的对称轴是直线x＝eq\f(1,4)，图象的开口向下，所以函数值在对称轴x＝eq\f(1，4)的左边是增加的.5.函数f(x）＝－x2＋2x＋3在区间［－2,3］上最大值与最小值的和为________.答案－1解析∵f（x)＝－（x－1)2＋4，∴f（x）在[－2，1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，∴f（x)max＝4,f(x)min＝f（－2)＝－5，∴－5＋4＝－1。1.画二次函数的图象，抓住抛物线的特征“三点一线一开口”.“三点”中有一个点是顶点,另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向。2.若求二次函数在某闭(或开）区间（非R）内的值域,则以对称轴是否在该区间内为依据分类讨论：①若对称轴不在所求区间内，则可根据单调性求值域；②若对称轴在所求区间内，则最大值和最小值可在区间的两个端点处或对称轴处取得，比较三个数所对应函数值的大小即可求出值域。一、基础达标1.函数y＝x2＋2x－2的图象的顶点坐标是(）A。（2,－2） B。(1,－2）C。(1，－3) D.（－1，－3）答案D解析由于y＝x2＋2x－2＝（x＋1）2－3，所以函数y＝x2＋2x－2的图象的顶点坐标是（－1，－3）.2.若抛物线y＝x2－(m－2)x＋m＋3的顶点在y轴上，则m的值为(）A.－3B。3C.－2D.2答案D解析因为抛物线y＝x2－（m－2)x＋m＋3的顶点在y轴上，所以顶点横坐标－eq\f（－m－2,2×1)＝eq\f（m－2,2)＝0，故m＝2。3.若f（x)＝（m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间（－3,1）上()A。单调递增 B.单调递减C。先增后减 D。先减后增答案C解析当m＝0时,f(x）是偶函数，此时f(x)＝－x2＋3,所以f(x)的图象是张口向下的抛物线，所以函数f(x)在区间（－3，1）上先增后减。4。函数y＝x2－|x｜－12的图象与x轴两个交点间的距离为(）A.1B.6C。7D。8答案D解析由y＝x2－|x|－12＝0得|x｜＝4，∴x＝±4,∴两交点间的距离为8。5.若f(x)＝x2＋bx＋c的对称轴为x＝2，则(）A.f(4)＜f（1)＜f（2) B。f(2）＜f（1）＜f(4）C.f(2)＜f(4)＜f（1） D。f(4）＜f（2)＜f（1)答案B解析f(x)的对称轴为x＝2，所以f（2)最小。又x＝4比x＝1距对称轴远，故f(4）＞f(1)，即f(2)＜f（1)＜f(4）。6.已知函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在(－∞，4]上是减函数,则实数a的取值范围为________。答案(－∞，－3］解析∵f（x)＝x2－2（1－a）x＋2＝[x－（1－a)]2＋2－(1－a)2，∴f（x)的递减区间是（－∞,1－a］。又∵已知f（x）在（－∞，4]上是减函数,∴1－a≥4，即a≤－3。∴所求实数a的取值范围是(－∞,－3]。7.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈［－5，5]。（1)当a＝－1时，求函数f（x)的最大值和最小值;(2）求实数a的取值范围，使y＝f（x）在区间［－5,5］上是单调函数。解（1)当a＝－1时，f（x）＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，∵x∈［－5，5]，故当x＝1时,f(x)的最小值为1.当x＝－5时，f（x)的最大值为37.（2）函数f（x）＝(x＋a）2＋2－a2图象的对称轴为x＝－a。∵f（x)在[－5，5]上是单调的,故－a≤－5，或－a≥5。即实数a的取值范围是{a｜a≤－5,或a≥5}.二、能力提升8.已知函数y＝x2－2x＋3在区间［0,m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(）A.[1，＋∞） B。[0，2］C.(－∞，2] D。［1,2］答案D解析y＝(x－1)2＋2，∴x＝1时，ymin＝2，当x＝0或x＝2时，y＝3，由图象知，m∈［1,2]时，能保证y的最大值为3，最小值为2。9.已知f(x）＝ax2＋bx＋c(a≠0),对任意实数t都有f（2＋t）＝f(2－t）成立,在函数值f（－1），f(1），f(2)，f(5)中,最小的一个不可能是（）A.f（－1)B.f(1)C。f（2）D。f（5)答案B解析由f（2＋t)＝f(2－t)知，抛物线对称轴为x＝2,若a＞0，则f（2)最小；若a＜0，则f(－1）与f（5）最小。10.若函数f（x）＝（m－1）x2＋mx＋3(x∈R）是偶函数，则f(x)的单调减区间是________。答案［0，＋∞)解析∵f(x）是偶函数,∴f(－x)＝f（x）,∴m＝0，即f（x)＝－x2＋3在[0，＋∞）上单调递减。11.已知函数f（x)＝x2－2x＋2。（1）求f(x）在区间［eq\f(1，2)，3］上的最大值和最小值；(2)若g（x)＝f（x）－mx在[2，4］上是单调函数，求m的取值范围.解(1）∵f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1）2＋1，x∈[eq\f(1,2)，3］，∴f（x)的最小值是f(1）＝1，又f(eq\f(1,2）)＝eq\f(5,4),f（3）＝5，所以,f(x)的最大值是f(3）＝5,即f(x）在区间［eq\f（1，2),3]上的最大值是5,最小值是1。（2）∵g(x）＝f（x）－mx＝x2－（m＋2)x＋2，∴eq\f(m＋2，2)≤2或eq\f(m＋2，2)≥4，即m≤2或m≥6.故m的取值范围是(－∞,2]∪[6，＋∞)三、探究与创新12.求函数y＝x2－2ax－1在[0，2］上的值域.解函数y＝(x－a）2－1－a2，对称轴为x＝a。①当a＜0时，ymin＝f（0)＝－1，ymax＝f(2)＝4－4a－1＝3－4a，所以函数的值域为[