2022-2023学年河北省邯郸市鸡泽县高二年级下册学期第一次月考数学试题【含答案】

2022-2023学年河北省邯郸市鸡泽县高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．下列函数的求导正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据初等函数导数公式、导数的四则运算法则和复合函数求导法则依次判断各个选项即可.【详解】对于A，，A错误；对于B，，B错误；对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：D.2．函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（

）A．函数在处取得最小值 B．是函数的极值点C．在区间上单调递增 D．在处切线的斜率大于零【答案】B【分析】根据极值和最值的关系即可判断A；根据极值点的定义即可判断B；由导数的正负和函数的增减关系即可判断C；由导数的几何意义即可判断D．【详解】对于A，因为时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，所以在处取得最小值，故A正确；对于B，时，，当时，，所以不是函数的极值点，故B错误；对于C，当时，，在区间上单调，故C正确；对于D，因为，在处切线的斜率大于零，故D正确．故选：B．3．的展开式中x3y3的系数为（

）A．5 B．10C．15 D．20【答案】C【分析】求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解.【详解】展开式的通项公式为（且）所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：和在中，令，可得：，该项中的系数为，在中，令，可得：，该项中的系数为所以的系数为故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.4．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，且每人左右两边都有空位的坐法种数为（

）A．120 B．80 C．64 D．20【答案】A【分析】根据题意，先排好7个空座位，注意空座位是相同的，其中6个空位符合条件，将3人插入6个空位中，再对甲、乙、丙三个人进行排列，最后用分步计数原理进行求解即可.【详解】解：除甲、乙、丙三人的座位外，还有7个座位，它们之间共可形成六个空，三人从6个空中选三位置坐上去有种坐法，而甲、乙、丙三个人进行排列，有种坐法，所以每人左右两边都有空位的坐法种数为：.故选：A.5．设存在导数，且满足，则曲线在处的切线倾斜角为（

）A．30° B．135° C．45° D．120°【答案】B【分析】根据导数的定义和几何意义可知曲线在处的斜率，再结合斜率的定义即可求解．【详解】设曲线在处的切线倾斜角为，由，可得，则曲线在处的斜率为，则，，解得，故选：B．6．如图为并排的4块地，现对4种不同的农作物进行种植试验，要求每块地种植1种农作物，相邻地块不能种植同一种农作物且4块地全部种上农作物，则至少同时种植3种不同农作物的种植方法种数为（

）①②③④A．24 B．80 C．72 D．96【答案】D【分析】先分同时种植4种农作物和3种农作物两种情况，再按排列或组合及计数原理进行求解.【详解】至少同时种植3种不同农作物可分两种情况：第一种，种植4种农作物，有种不同的种植方法；第二种，种植3种农作物，则有2块不相邻的地种植同一种农作物，有①③、②④、①④这三种情况，每一种情况都有种不同的种植方法．则至少同时种植3种不同农作物的种植方法有种．故选：D.7．在20张百元纸币中混有4张假币，从中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两张都是假币的概率是A． B． C． D．以上都不正确【答案】A【详解】设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率即P(A|B).又，由公式.本题选择A选项.点睛：条件概率的求解方法：(1)利用定义，求P(A)和P(AB)，则.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得.8．函数的导函数为，满足，且，则的极值情况为A．有极大值无极小值 B．有极小值无极大值C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值【答案】D【详解】

将代入可得：

则

=令则，当时，，当时，，故当时，取最大值0，故恒成立，故恒成立，故既无极大值也无极小值，故选点睛：根据已知条件要先构造出的解析式的形式，再根据求出，当一阶导数不能判定时可以求二阶导数，利用二阶导数反应一阶导数的单调性，从而反应出原函数的性质．二、多选题9．已知事件A，B，且，，，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用概率的乘法公式求解即可判断A；利用条件概率的性质求解即可判断B；先求得，，再根据全概率公式求解即可C，D．【详解】对于A，由，故A正确；对于B，由，故B错误；对于C，D，由，，则，故C正确；D错误．故选：AC．10．下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则C．在的展开式中，含的项的系数是220D．的展开式中，第4项和第5项的二项式系数最大【答案】BC【分析】根据组合数的性质判断A，根据排列数公式，即可计算B，根据二项式系数和系数的公式，即可判断CD.【详解】若，则或，解得：或，故A错误；若，解得：，故B正确；在的展开式中，含的项的系数是，故C正确；的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，故D不正确.故选：BC11．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数，则（

）A．一定有两个极值点B．函数在R上单调递增C．过点可以作曲线的2条切线D．当时，【答案】BCD【分析】对求导，得出，没有极值点，可判断A，B；由导数的几何意义求过点的切线方程条数可判断C；求出三次函数的对称中心，由于函数的对称中心为，可得，由倒序相加法求出所给的式子的值，可判断D.【详解】由题意知，，恒成立，所以在R上单调递增，没有极值点，A错误，B正确；设切点为，则，切线方程为，代入点得，即，解得或，所以切线方程为或，C正确；易知，令，则．当时，，，所以点是的对称中心，所以有，即．令，又，所以，所以，D正确．故选：BCD.12．若，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由A、B选项结构特征，构造函数，利用单调性即可判断；由C选项结构特征，构造函数，利用单调性即可判断；由D选项结构特征，构造函数，利用单调性即可判断；【详解】解：构造函数，因为，所以在上单调递减，因为，所以，即，所以选项A正确，选项B错误.构造函数，，易知在上单调递增，而，时，，所以，使，所以在上单调递减，在上单调递增，所以无法判断C选项的正确性.构造函数，易知在上单调递增，因为，所以，即，所以选项D正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是根据各选项的结构特征，构造相对应的函数，然后利用单调性进行判断.三、填空题13．已知函数，则f（e）＝__.【答案】【分析】由导数得出，再求.【详解】∵，∴，，解得，，，故答案为：.14．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就．如图，这是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列的第n项，则___________．【答案】5050【分析】由结合累加法得出，再由求和公式得出.【详解】因为数列的递推公式为，所以，所以，故．故答案为：15．6个不同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，则每个盒子至少放一个小球放法共有__________种（用数字作答）．【答案】540【分析】先把6个不同的小球分成3组，有三种分法：1,1,4和1,2,3和2,2,2，然后将它们分别放入3个盒子中去即可．【详解】先把6个不同的小球分成3组，有三种分法：1,1,4和1,2,3和2,2,2，1,1,4模型有种分法；1,2,3模型有种分法；2,2,2模型有种分法，共有种分法．故答案为：540．四、双空题16．已知函数，若，则的零点个数为________；若有两个不同的零点，则的取值范围是________．【答案】

【分析】①当时，写出函数解析式直接求导可知函数有一个最大值为，所以此时的零点个数为；②对函数直接求导，对参数范围进行分类讨论，根据有两个不同的零点列出不等式求解即可.【详解】①当时，定义域，，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减.所以当时，，所以当时零点个数为.②定义域，，当时，，单调递增不会出现两个零点；当时，令，得，单调递增；令，得，单调递减.所以当时，，若有两个不同的零点，则，解得.故答案为:;五、解答题17．班级迎接元旦晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单．(1)2个相声节目要排在一起，有多少种排法？(2)相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？【答案】(1)240(2)408【分析】（1）利用捆绑法可求解即可；（2）根据相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目等价于用6个节目的全排列减去相声节目排在第一个节目的排列数和魔术节目排在最后一个节目的排列数，再加上相声节目排在第一个节目并且魔术节目排在最后一个节目的排列数即可求解．【详解】（1）将2个相声节目捆绑在一起，看成1个节目，与其余4个节目一起排，则共有种不同排法．（2）若相声节目排在第一个节目，则有种不同排法，若魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法，若相声节目排在第一个节目，并且魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法，则相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目等价于用6个节目的全排列减去相声节目排在第一个节目的排列数和魔术节目排在最后一个节目的排列数，再加上相声节目排在第一个节目并且魔术节目排在最后一个节目的排列数，所以共有种不同排法．18．在的展开式中，前三项系数成等差数列，求：(1)展开式中所有项的系数之和；(2)展开式中的有理项；(3)展开式中系数最大的项．【答案】(1)(2)，，(3)最大的项为，【分析】（1）根据展开式的通项公式，再根据等差中项的性质即可求出的值，再令，即可求得展开式中所有项的系数之和；（2）根据展开式的通项公式，的指数为整数可得有理项；（3）设第项的系数最大，则有，从而求得的范围，再结合，即可求得展开式中系数最大的项．【详解】（1）展开式通项为，则前三项的系数分别为1，，，又展开项的前三项系数成等差数列，则有，即，解得或者（舍去）；故展开式的通项公式为，令，得展开式中所有项的系数之和为．（2）结合（1）有，当为整数时，为有理项，则，4，8，所以当时，；当时，；当时，，所以展开式中的有理项为，，．（3）设第项的系数最大，则，解得，因为，所以或，所以展开式中系数最大的项为，．19．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：，设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．【答案】(1)(2)当隔热层修建5cm厚时，总费用最小，最小值为70万元．【分析】（1）根据已给模型确定函数解析式；（2）利用导数求得最小值．【详解】（1）每年能源消耗费用为，建造费用为，．．（2），令得或（舍．当时，，当时，．在，上单调递减，在，上单调递增．当时，取得最小值（5）．当隔热层修建厚时，总费用最小，最小值为70万元．20．已知函数，其中，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间.【答案】（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）当时，，求出函数的导函数，再求出，，再利用点斜式求出切线方程；（2）首先求出函数的导函数，再对参数分类讨论，求出函数的单调区间；【详解】解：（1）当时，，所以，所以，，所以切线方程为：，即：（2）函数定义域为，，因为，①当时，在上恒成立，所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间；②当时，由得，由得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究含参函数的单调区间，属于基础题.21．设函数．（1）当时，求的极值；（2）如果≥在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）有极小值，没有极大值；（2）．【详解】试题分析：（1）当时，求导令导函数等于零，列表，通过表格找到函数极值即可；（2）求恒成立问题一般要分离参数，构造函数求其最小值，只需最小值大于零即可求出取值范围.试题解析：（1）由已知，当时，，∴，∴在上单调递增，且，，随变化如下表：1-0+↘极小值↗∴有极小值，没有极大值．（2）（方法一）由题可得恒成立，当时，上式恒成立；当时，，又，故令，则，令，∴当时，，时，，∴，∴，解得：，∴的取值范围是．（方法二）由题可得，设，则，∵，∴在上单调递增，，，∴使得，则，由知，且时，，时，，∴，∴，∴，∴，∴的取值范围是．（方法三）由题可得恒成立，令，则，∴时，，时，，∴，∴，解得：，∴的取值范围是．22．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.【分析】(1)首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调性.(2)方法二：将题中的等式进行恒等变换，令，命题转换为证明：，然后构造对称差函数，结合函数零点的特征和函数的单调性即可证得题中的结论.【详解】(1)的定义域为．由得，，当时，；当时；当时，．故在区间内