2022-2023学年江苏省淮安市高中校协作体高一年级下册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省淮安市高中校协作体高一下学期期中数学试题一、单选题1．复数为虚数单位的模为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】应用复数除法化简复数，即可得模.【详解】，故模为.故选：C2．已知向量，且两向量夹角为，则（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】利用数量积的定义即可得到答案.【详解】，故选：A.3．（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用两角差的正弦公式即可求解.【详解】，故选：B.4．已知三角形的三边长分别为则最大的角为多少（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由边角关系知边长为对应角最大，应用余弦定理求其大小.【详解】由大边对大角知：边长为对应角最大，，所以.故选：C5．设复数，则（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根据复数的运算法则直接计算得到答案.【详解】，则.故选：A6．在中，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由正弦定理得，根据边角关系求目标式的值即可.【详解】由题设，所以.故选：D7．若，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解方程得到，根据二倍角公式得到，再次利用二倍角公式计算得到答案.【详解】，解得，或（舍），故，，解得或，，故，，故，同理，，解得或（舍）.故选：B8．在中，在上，且平分且.若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由角平分线性质知，应用余弦定理、勾股定理知、，结合已知有即可得结果.【详解】由题设，而，所以，则，，故，又平分，则，故.故选：C二、多选题9．下列选项中哪些是正确的（

）A．B．的最大值为1C．D．复数可能为纯虚数【答案】AC【分析】由向量加法法则判断A；辅助角公式化简，结合正弦型函数确定最值判断B；应用二倍角正弦公式化简求值判断C；由纯虚数定义列方程组求参数即可判断D.【详解】A：，正确；B：，故最大值为，错误；C：，正确；D：若为纯虚数，则，显然无解，错误.故选：AC10．下列选项中哪些是正确的（

）A．当时，向量的夹角为锐角B．C．在中，若，则此三角形为直角三角形D．（为虚数单位）【答案】ACD【分析】A应用向量夹角坐标表示列不等式求参数范围；B二倍角余弦公式求值即可；C应用正弦边角关系，三角形内角性质、三角恒等变换化简求得；D根据复数的乘方及求化简左侧并求值.【详解】A：由，若为锐角，则，即，正确；B：，错误；C：由，即，所以，而，故，且，即，正确；D：由，又，则，正确.故选：ACD11．下列选项中哪些是正确的（

）A．在任意三角形中恒成立B．在中，角所对的边长分别为，若，则，反之也成立.C．已知向量，则在上的投影向量为D．【答案】BC【分析】A应用三角恒等变换化简证恒成立，注意均不能为直角；B由判断；C根据投影向量的定义求在上的投影向量；D应用和角正弦公式化简分子即可.【详解】A：由，显然，均不能为直角，对斜三角形成立，错误；B：由正弦定理知，故，则，反之也成立，正确；C：在上的投影向量为，正确；D：由，所以，错误.故选：BC12．已知为坐标原点，点，，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据向量的运算法则结合和差公式计算得到ACD正确，举反例得到B错误，得到答案.【详解】对选项A：，，正确；对选项B：取，，则，，，，错误；对选项C：，，正确；对选项D：，，正确.故选：ACD三、填空题13．复数的共轭复数为__________.【答案】【分析】由共轭复数的定义确定已知复数的共轭复数.【详解】由共轭复数的定义知：的共轭复数为.故答案为：14．在中，若，则__________.【答案】【分析】直接利用余弦定理计算得到答案.【详解】，，故.故答案为：15．已知等腰中，底边长为2，腰长为为所在平面内一点，则的最小值是__________.【答案】【分析】若为的中点，构建如下直角坐标系，令，，由并应用数量积的坐标表示求最小值即可.【详解】若为的中点，构建如下直角坐标系，令，，如下图示，由，则，而，则，所以，当时，的最小值为.故答案为：四、双空题16．中，已知，则__________，若将前面的条件中的改为，则__________.【答案】/【分析】计算，，再利用和差公式计算得到答案；排除的情况，计算，再根据计算得到答案.【详解】，故，，；，则或，，，若，故，，故，此时，不成立，排除，故，；，故故答案为：；五、解答题17．已知复数(1)求；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）法1：设，利用复数乘法及复数相等列方程求参数即可；法2：应用复数除法求；（2）利用复数除法化简即可.【详解】（1）法1：设，，所以，则，故；法2：；（2）由（1）知：18．已知点求(1)的模；(2)的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，得到的坐标，进而得到的坐标求解；（2）利用夹角公式求得，进而得到，然后利用三角形面积公式求解.【详解】（1）解：因为，所以，所以.（2）因为，所以，，所以，.19．已知(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用两角和的正切公式求出，然后根据两角的取值范围即可求解；（2）利用同角三角函数的基本关系得到，然后结合（1）的结论和两角和的正弦公式即可求解.【详解】（1），，，.（2）由，求得，.20．在①，②三角形面积为2③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，__________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【分析】根据正弦定理和余弦定理化简得到，，若选择①②得到，若选择③，计算得到，矛盾，得到答案.【详解】由可得：，则，故，若选择条件①：，则三角形存在且；若选择条件②：为等腰直角三角形，，，所以，且此时三角形存在；若选择条件③：，则，由得，矛盾，所以三角形不存在.21．已知在锐角中，定义向量且(1)求角B；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量平行的充要条件和同角三角函数的基本关系可得，进而求解即可；（2）结合（1）知，然后利用三角函数的图象和性质即可求解.【详解】（1）由得，，，（2）由（1）知，，，，，22．现某公园内有一个半径为米扇形空地，且，公园管理部门为了优化公园功能，决定在此空地上建一个矩形的老年活动场所，如下图所示有两种情况可供选择.(1)若选择图一，设，请用表示矩形的面积，并求面积最大值(2)如果选择图二，求矩形的面积最大值，并说明选择哪种方案更优（面积最大）（参考数据，）【答案】(1)，矩形面积的最大值为(2)矩形面积的最大值为，第一种方案更优.【分析】（1）计算出、关于的表达式，利用三角恒等变换可得出矩形面积的表达式，利用正弦型函数的有界性可求得矩形面积的最大值；（2）取中点，连接，设，设，其中，计算出、关于的表达式，利用三角恒等变换可得出矩形面积的表达式，利用正弦型函数的有界性可求得矩形面积的最大值，与方案一中矩形的面积比较大小，可得出结论.【详解】（1）解：由题得，则，则，所以，，所以矩形面积为，因为，则，故当时，即当时，矩形的面积取最大值，且